Forum Docentis

Sucesiones de números reales

Regino Criado^1,2

¹Departamento de Matemática Aplicada, CC. e Ingeniería de los Materiales y Tec. Electrónica, URJC

²Centro DCNC de la URJC

Introducción

El hecho de que ℝ sea el único cuerpo ordenado que satisface el axioma del supremo conlleva otra propiedad fundamental: ℝ es el único cuerpo ordenado y completo, lo que quiere decir que una sucesión de números reales es convergente (tiene límite) si y sólo si es una sucesión de Cauchy. Comprobar que una sucesión es de Cauchy no requiere conocer explítcitamente el límite para determinar si es una sucesión convergente o no, lo que facilita su estudio y la obtención de propiedades de gran utilidad. La afirmación ‘es el único cuerpo ordenado que satisface el axioma del supremo” quiere decir que cualquier otro cuerpo ordenado y completo es isomorfo a ℝ.

1. Sucesiones de números reales

Si A y B son dos conjuntos, se define el producto cartesiano A × B como el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) tales que a ∈ A y b ∈ B. Es decir, A × B = {(a, b)| a ∈ A ∧ b ∈ B}. Al ser pares ordenados, obviamente (a, b) = (c, d) si y solo si a = c y b = d. Por ello, por ejemplo, (1, 0) ≠ (0, 1).

Una función es un conjunto de pares ordenados f ⊂ A × B tal que si (a, b) ∈ f y (a, c) ∈ f, necesariamente b = c. Si ∀a ∈ A existe b ∈ B tal que (a, b) ∈ f, diremos que f es una función de A en B y escribiremos f : A → B. Finalmente, si f es una función y (a, b) ∈ f, es habitual indicar este hecho escribiendo f(a) = b, y afirmando que b es la imagen de a mediante la función f .

Una sucesión de números reales es una función x : ℕ → ℝ, de manera que a cada número natural n ∈ ℕ se le asocia un único número real x(n). En general a x(n) se le llama término n-ésimo de la sucesión y, tradicionalmente, se le representa por x_n. De la misma manera, la notación para representar la sucesión es ${\left(x_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, (x_n)_n∈ℕ, {x_n}_n∈ℕ o, incluso, {x_n}.

Para poder manejar cómodamente una sucesión se necesita conocer una manera para calcular su término general. Esta suele venir dada a partir de una fórmula o expresión explícita. Por ejemplo, se puede hablar de la sucesión ${\left(x_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ dada por $x_n=\frac{1}{n}$, o también, y más directamente de la sucesión (${\left(\frac{1}{n}\right)}_{n∊\mathbb{N}}$.

Es importante no confundir la sucesión con los valores que esta toma, es decir, con el conjunto

Im(x) = {a ∈ ℝ | ∃n ∈ ℝ .. x(n) = a}.

Por ejemplo, si consideramos la sucesión (−1)ⁿ, esta sucesión solo toma dos valores, 1 y −1. Podemos imaginar e interpretar esta y otras sucesiones de manera dinámica imaginando un punto moviéndose de un término al siguiente, en nuestro ejemplo saltando del 1 al −1, del −1 al 1 y así sucesivamente.

Ejemplo 1.1. Por ejemplo:

◾ En la sucesión $\left\{\frac{1}{n}\right\}n∊\mathbb{N}$ los primeros términos serían $\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3}$, . . .

◾ En la sucesión {(−1)ⁿ}n∈ℕ los primeros términos serían −1, 1, −1, 1, . . .

◾ En la sucesión {n}_n∈ℕ los primeros términos serían 1, 2, 3, . . .

Así pues, relajando en parte la notación, podríamos escribir ${\left\{\frac{1}{n}\right\}}_{n∊\mathbb{N}}=\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots \}$ o también, {(−2)ⁿ⁺¹}_n∈ℕ = {4, −8, 16, −32, . . . }. Por otra parte, si tenemos dos funciones f, g : A → B, dependiendo de la estructura algebraica y de las operaciones que tengamos definidas en B se pueden considerar las correspondientes operaciones para las funciones f y g. Por ejemplo, si hay una suma definida en el conjunto B, se podría definir la suma de las funciones f y g, f + g : A → B de manera que ∀x ∈ A, (f + g)(x) = f(x) + g(x). (Se deja como ejercicio extra el comprobar que si f y g son funciones, entonces f + g también es una función). Al igual que la suma, en el caso de ℝ hay varias operaciones que se pueden considerar. Así pues, si tenemos dos sucesiones (x_n)_n∈ℕ y (y_n)_n∈ℕ, podemos definir las siguientes operaciones entre ellas sin más que realizar dichas operaciones término a término de la siguiente manera:

◾ la suma sería la sucesión {x_n + y_n}_n∈ℕ.

◾ el producto por un número (escalar) α ∈ ℝ sería la sucesión {αx_n}_n∈ℕ.

◾ la resta (sumar el opuesto) sería la sucesión {x_n − y_n}_n∈ℕ.

◾ el producto sería la sucesión {x_ny_n}_n∈ℕ.

◾ el cociente no siempre se puede realizar. Primero hay que asegurarse que y_n ≠ 0 para cualquier natural n, definiéndose entonces como la sucesión $\left\{\frac{x_n}{y_n}\right\}n∊\mathbb{N}$

Ejemplo 1.2. Así por ejemplo, a partir de las sucesiones ${\left\{\frac{1}{n}\right\}}_{n∊\mathbb{N}}\mathrm{y}{\{(-2{)}^n\}}_{n∊\mathbb{N}}$ podemos considerar

◾ su suma $\left\{\frac{1}{n}\right\}+\{(-2{)}^n\}=\{\frac{1}{n}+(-2{)}^n\}$,

◾ su producto $\left\{\frac{(-2{)}^n}{n}\right\}$,

◾ su cociente $\left\{\frac{(-2{)}^n}{\left(\frac{1}{n}\right)}\right\}=\{(-2{)}^{n}n\}$,

◾ o, incluso, el resultado de multiplicarlas por un número $7\{(-2{)}^n\}=\{7(-2{)}^n\},\sqrt{\pi }\left\{\frac{1}{n}\right\}=\left\{\frac{\sqrt{\pi }}{n}\right\}$.

1.1 Sucesiones recurrentes

La posibilidad de definir sucesiones por recurrencia se debe al siguiente resultado, que se puede demostrar por inducción: Teorema de definición por recursión: Dados un conjunto, A ≠ ∅, una función H : ℕ × A → A y un elemento a ∈ A, existe una función f : N → A, que además es única, y que satisface las condiciones

1. f(1) = a

2. ∀n ∈ ℕ f(n + 1) = H(n, f(n)).

Debido a este resultado general, es posible definir sucesiones por recurrencia o recurrentes, es decir, aquellas en las que cada término se define a partir de una cantidad finita y determinada de términos anteriores. Por ejemplo, es posible definir las progresiones aritméticas de manera recursiva x₁ = a y x_n = x_n−1 + d para n ≥ 2 o, también, explicitando el término general de la sucesión: x_n = a + (n − 1)d, es decir, la sucesión quedaría {a + (n − 1)d}. Así por ejemplo, si a = 3 y d = 2, la sucesión sería {3, 5, 7, . . . }. De manera análoga se pueden definir las progresiones geométricas: x₁ = a y x_n = rx_n−1 y también explicitando el término general: {a · rn^-1}. Así por ejemplo, si a = 2 y r = 3 la sucesión (progresión geométrica) sería {2 · 3ⁿ⁻¹} = {2, 6, 18, . . . }.

Otro ejemplo de sucesión definida de forma recurrente sería:

$$x_n=\{\begin{array}{l}1\text{para }n=1\\ \sqrt{1+x_{n-1}}\mathrm{\forall }n\ge 2\end{array}$$

1.2 Subsucesiones

Una subsucesión de una sucesión {x_n} es una sucesión de la forma {x_nk }, donde{n_k},es una sucesión estrictamente creciente de números naturales. Por ejemplo,

$$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{6},\frac{1}{8}...$$

es una subsucesión de $\left\{\frac{1}{n}\right\}$, concretamente, la determinada por la sucesión de índices {n_k} = 2k. Una manera de definir formalmente de otro modo una subsucesión de una sucesión dada es la siguiente: Dada una sucesión x : ℕ → ℝ, se dice que y : ℕ → ℝ es una subsucesión de x : ℕ → ℝ si existe g : ℕ → ℕ función estrictamente creciente tal que ∀n ∈ ℕ y_n = x_g(_n) . Así por ejemplo, dada {x_n}, las funciones estrictamentemente crecientes g : ℕ → ℕ determinadas por g(n) = 2n, g(n) = (2n − 1) y g(n) = 6n dan lugar, respectivamente, a las subsucesiones de {x_n} correspondientes a los términos pares, impares y múltiplos de 6: {x_2n}_n∈ℕ, {x_2n−1}_n∈ℕy {x6_n}_n∈ℕ.

En general, si

x : ℕ → ℝ

     n → x(n)

es una sucesión de números reales, denotada habitualmente por {x_n }, y g : ℕ → ℕ es una función estrictamente creciente, x o g : ℕ → ℝ es una subsucesión de x : ℕ → ℝ que denotaremos habitualmente por {x_g(n) }.

Una notación bastante generalizada para indicar que {x_nk } es una subsucesión de {x_n} consiste en escribir {x_nk} ≺ {x_n}.

2. Sucesiones monótonas y acotadas

Definición 2.1. Una sucesión {x_n}_n∈ℕes:

◾ creciente si ∀n ∈ ℕ se verifica que x_n ≤ x_n + 1 (es decir, x₁ ≤ x₂ ≤ · · · ≤ x_n ≤ . . . ).

◾ estrictamente creciente si ∀n ∈ ℕ se verifica que x_n < x_n + 1 (es decir, x₁ < x₂ < . . . ).

◾ decreciente si ∀n ∈ ℕ se verifica que x_n ≥ x_n + 1 (es decir, x₁ ≥ x₂ ≥ · · · ≥ x_n ≥ . . . ).

◾ estrictamente decreciente si ∀n ∈ ℕ se verifica que x_n > x_n + 1 (es decir, x₁ > x₂ > . . .).

En cualquiera de estos casos se dice que la sucesión es monótona.

Ejemplo 2.2.

Otros ejemplos de sucesiones crecientes, además de las anteriores, son: {1}_n∈ℕ, {(n − 1)!}_n∈ℕ.

Ejemplos de sucesiones estrictamente decrecientes son: ${\left\{\frac{1}{n}\right\}}_{n∊\mathbb{N}}$, {−n}_n∈ℕ.

Otros ejemplos de sucesiones decrecientes, aparte de las anteriores, son: {1_n∈ℕ},{−(n−1)!}_n∈ℕ.

Definición 2.3. Una sucesión {x_n}_n∈ℕestá acotada superiormente si se puede encontrar un M ∈ ℝ de manera que ∀n ∈ ℕ x_n ≤ M, acotada inferiormente si se puede encontrar un M ∈ ℝ de manera que ∀n ∈ ℕ m ≤ x_n , y se dice que está acotada si lo está superior e inferiormente.

Ejemplo 2.4.

Sucesiones acotadas superiormente, pero no acotadas, son: {−n}, {−(n!)}.

Sucesiones acotadas inferiormente, pero no acotadas, son: {n}, {n²}.

Sucesiones acotadas son: $\{\{-1{\}}^n\},\left\{\frac{1}{n}\right\}$.

Un ejemplo de sucesión no acotada ni superior ni inferiormente es {(−n)⁽ⁿ⁻¹⁾}.

El siguiente teorema nos permitirá simplificar algunas demostraciones:

Teorema 2.5. Toda sucesión de números reales {x_n} contiene una subsucesión monótona (creciente o decreciente).

Demostración. Sea A = {x_n ∈ ℝ| n ∈ ℕ}. Caben dos posibilidades: que A sea finito o que A sea infinito. Veamos como completar la demostración:

◾ Si A es finito, A = {x₁, ..., x_k} necesariamente uno de los elementos de A es imagen de un conjunto infinito de números naturales. Si, por ejemplo, {n ∈ ℕ| x(n) = x₁} es infinito, la sucesión constante (y por tanto monótona) {x₁} es una subsucesión de {x_n}.

◾ Si A es infinito y todo subconjunto B ⊂ A, B ≠ ∅ tiene mínimo, vamos a comprobar que podemos encontrar un subconjunto infinito de A que no tiene máximo, pues a partir de la hipótesis establecida podemos construir el siguiente subconjunto de A: x_n0 = mín A, x_n1 = mín A − {x_n0 }, x_n2 = mín A − {x_n0 , x_n1 }, x_n3 = mín A − {x_n0 , x_n1 , x_n2},... de manera que x_n0 < x_n1 < x_n2 < ..., es decir, existe un subconjunto no vacío C ⊂ A, C = {x_n0 , x_n1 , x_n2 , ...} que no tiene máximo.

◾ Ahora, si A es infinito y existe un subconjunto C ⊂ A, C ≠ ∅ que no tiene máximo, entonces dado un elemento cualquiera x_n0 ∈ B, existen infinitos términos de la sucesión {x_n} estrictamente mayores que x_n0 y, puesto que {n ∈ ℕ|n < n₀} es finito, ∃n₁ ∈ ℕ tal que n₀ < n₁y x_n0 < x_n1. Repitiendo sucesívamente este proceso obtenemos una subsucesión x_n0 < x_n1 < x_n2 < monótona (estrictamente) creciente de la sucesión {x_n}.

◾ Si, finalmente, no se cumple el caso analizado en segundo lugar, es decir, si A es infinito y existe un subconjunto B ⊂ A, B ≠ ∅ que no tiene mínimo, entonces dado un elemento cualquiera x_n0 ∈ B, existen infinitos términos de la sucesión {x_n} estrictamente menores que x_n0 y, puesto que {n ∈ ℕ|n < n₀} es finito, ∃n₁ ∈ ℕ tal que n₀ < n₁y x_n1 < x_n0 . Repitiendo sucesívamente este proceso obtenemos una subsucesión x_n0 > x_n1 > x_n2 > …. monótona (estrictamente) decreciente de la sucesión {xn}.□

3. Convergencia de sucesiones

Si observamos el comportamiento de la sucesión $\left\{\frac{1}{n}\right\}$ resulta que, como n ∈ ℕ, sabemos que $\frac{1}{n}\ne 0$ y, sin embargo, a partir de la propiedad arquimediana de los números reales (vista en el tema anterior), resulta que dado un ϵ > 0 se puede encontrar un n₀ ∈ ℕ de manera que $\frac{1}{n_0}<ϵ$. Por otra parte, como la sucesión es decreciente, resulta que $\frac{1}{n}<\frac{1}{n_0}$ siempre que n ≥ n₀. Así pues, resulta que para cualquier ϵ > 0 hemos encontrado un n₀ ∈ ℕ de manera que si n ≥ n₀, resulta que $\frac{1}{n}∊(-ϵ,ϵ)$. En definitiva, aunque ningún término de la sucesión sea 0, la sucesión se acerca a cero tanto como se quiera. Utilizando, para cualquier número a ∈ ℝ, su entorno (a − ϵ, a + ϵ), podemos formalizar la idea de “proximidad” y dar una versión “provisional” del concepto de límite de una sucesión más allá de afirmar que un número a es el límite de una sucesión {x_n} si los términos de la sucesión se acercan a a tanto como se quiera. Formalicemos esta idea:

Definición 3.1. Una sucesión {x_n} converge al número a (o, lo que es lo mismo, el límite de {x_n} es a) si para cualquier entorno de a, (a − ϵ, a + ϵ) podemos encontrar un número natural n₀de manera que x_n0y todos los términos posteriores a él están en dicho entorno, i.e.,

lim{x_n} = a ⇔ ∀ϵ > 0 ∃n₀ ∈ ℕ tal que ∀_n > n₀xn ∈ (a − ϵ, a + ϵ).

Es evidente (representar la situación en la recta real) que, de forma equivalente a la anterior,

lim{x_n} = a ⇔ ∀ϵ > 0 ∃n₀ ∈ ℕ tal que ∀n > n₀ |x_n − a| < ϵ.

Si ∃a ∈ ℝ tal que lim{x_n} = a se dice que la sucesión {x_n} es convergente o, lo que es lo mismo, que {x_n}, tiene límite.

Observación: Aunque, en general, pondremos lim{x_n} = a para indicar que a es el límite de la sucesión {x_n}, en ocasiones, para facilitar la comprensión del texto, utilizaremos también la notación lím_n→∞ {x_n} = a.

Proposición 3.2. Dada una sucesión de números reales {x_n}, si lim{x_n} = a y lim{x_n} = b necesariamente a = b.

Demostración. Ejercicio. Indicación: Razonar por reducción al absurdo, suponiendo que a ≠ b. □

Proposición 3.3. Dadas una sucesión de números reales {x_n}, {x_nk} ≺ {x_n} y a ∈ ℝ, si lim{x_n} = a entonces lim{x_nk} = a.

Demostración. Dado ϵ > 0, como lim{x_n} = a necesariamente ∃n₀ ∈ ℕ tal que ∀n > n₀ |x_n − a| < ϵ. Por otra parte, como la sucesión {n_k} es estrictamente creciente, dado n₀ ∈ ℕ existe n_k0 ∈ ℕ tal que n_k0 > n₀. Por consiguiente, ∀n_k ≥ n_k0 tendremos que n_k ≥ n₀ por lo que |x_nk − a| < ϵ y, en consecuencia lim{x_nk } = a. □

A partir de la proposición anterior, queda claro que si lim{x_n} = a, entonces todas las subsucesiones {x_nk} ≺ {x_n} son convergentes a a. En particular, si {x_n} tiene dos subsucesiones con límites diferentes, dicha sucesión {x_n} no puede ser convergente.

3.1 Teorema de Bolzano-Weierstrass

Teorema 3.4. Toda sucesión acotada de números reales {x_n} contiene una subsucesión convergente.

Demostración. Sea {x_n} una sucesión acotada, y supongamos que ∀n ∈ ℕ m ≤ x_n ≤ M (m, M ∈ ℝ). Sea K = máx{|m|, |M|}. Obviamente, ∀n ∈ ℕ tendremos que −K ≤ x_n ≤ K. Teniendo presente el teorema 3.7, {x_n} tiene una subsucesión {x_nk} ≺ {x_n} que es monótona (creciente o decreciente). Supongamos que {x_nk} es monótona creciente (en el otro caso se razonaría de manera similar). Sea l = sup{x_nk | n_k ∈ ℕ}. Veamos que l = lim{x_nk}. En efecto, como l = sup{x_nk | n_k ∈ ℕ}, dado ϵ > 0 existe x_n0 tal que l – ϵ < x_n0 ≤ l; y, como por otra parte {xn_k} es creciente, resulta que si n_k ≥ n₀ tendremos que l − ϵ < x_nk ≤ l, es decir, ∀n_k ≥ n₀ , l − ϵ < x_nk ≤ l + ϵ o, lo que es lo mismo, |xn_k − l| < ϵ. □

A la vista de la demostración anterior, podemos obtener directamente la siguiente proposición, cuya demostración es similar a la que acabamos de ver y se deja como ejercicio:

Proposición 3.5. Si la sucesión {x_n} es creciente y acotada superiormente, entonces es convergente. Del mismo modo, si {x_n} es una sucesión decreciente y acotada inferiormente, entonces es convergente.

Ejemplo 3.6. Un ejemplo típico de sucesión creciente y acotada superiormente es la sucesión

$$\left\{{(1+\frac{1}{n})}^n\right\}$$

Veamos que esta sucesión es creciente. Desarrollando la expresión ${(1+\frac{1}{n})}^n$ utilizando la fórmula del binomio tendremos:

$${(1+\frac{1}{n})}^n=1+n\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2}+\dots +\frac{1}{n^n}.$$

Teniendo ahora en cuenta que, $\frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})$, que $\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\frac{1}{n^3}=\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})$, y expresiones similares para el resto de términos (verifíquese la validez de estas fórmulas razonando por inducción sobre n), resulta que

$${(1+\frac{1}{n})}^n=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})+\dots +\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})\dots (1-\frac{n-1}{n})$$

A partir de este punto, como todos los factores de cada término son menores que 1, se verifica que

$${(1+\frac{1}{n})}^n<2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots +\frac{1}{n!}<2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots +\frac{1}{2^{(n-1)}}=3-\frac{1}{2^{(n-1)}},$$

ya que

$$\frac{1}{2^{(n-1)}}+\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{2^k}=1.$$

Es decir la sucesión ${(1+\frac{1}{n})}^n$ es creciente y está acotada superiormente, por lo que, por la proposición anterior, es convergente. El límite de esta sucesión es un número irracional conocido como número de Euler (1707-1783) y se denota por e (e = 2,7182818284...).

Teorema 3.7. Si {x_n} es una sucesión acotada y lim{y_n} = 0, entonces la sucesión {x_ny_n} es convergente y lim{xnyn} = 0.

Demostración. Como {x_n} es una sucesión acotada, necesariamente ∃K ∈ ℝ tal que ∀n ∈ ℕ se verifica que −K < x_n < K o, lo que es lo mismo que ∀n ∈ ℕ |x_n | < K. Por otra parte, como lim{y_n} = 0, dado ϵ > 0, como lim{y_n} = 0 necesariamente ∃n₀ ∈ ℕ tal que $\mathrm{\forall }n>n_0|y_n-0|<\frac{ϵ}{K}$. Por consiguiente $\mathrm{\forall }n>n_0|x_n{y}_n-0|=\left|x_n{y}_n\right|=\left|x_n\right|\left|y_n\right|<K\frac{ϵ}{K}=ϵ$ y, por lo tanto, lim{x_ny_n} = 0. □

Proposición 3.8. Si {x_n}, es una sucesión de números reales convergente necesariamente {x_n} está acotada.

Demostración. Dado ϵ > 0, siendo lim{x_n} = a necesariamente ∃n₀ ∈ ℕ tal que ∀n > n₀ |x_n − a| < ϵ. Es decir, −ϵ < x_n − a < ϵ, o, lo que es lo mismo, a – ϵ < x_n < a + ϵ. Siendo K = 1 + max{|a − ϵ|, |a + ϵ|, |x₁|, ..., |x_n0 |}, se tiene que ∀n ∈ ℕ |x_n | < K.□

Proposición 3.9. Si {x_n}, es una sucesión de números reales convergente tal que lim{x_n} = a ≠ 0 necesariamente ∃n₀ ∈ ℕ tal que $\mathrm{\forall }n\ge n_0\left|x_n\right|>\frac{|a|}{2}$.

Demostración. Como lim{x_n} = a ≠ 0, considerando $ϵ=\frac{|a|}{2}>0$, necesariamente ∃n₀ ∈ ℕ tal que ∀n ≥ n₀ resulta que $|x_n-a|<\frac{|a|}{2}$. Y como, por otra parte, siendo n ≥ n₀ resulta que |a| = |a − x_n + x_n | ≤ |a − x_n | + |x_n |, es decir, ∀n ≥ n₀ se verifica que $\left|x_n\right|\ge |a|-|a-x_n|>|a|-\frac{|a|}{2}=\frac{|a|}{2}$. □

3.2 Propiedades de los límites

A la vista de los conceptos desarrollados hasta ahora, la demostración de alguno de los puntos de la siguiente proposición se deja como ejercicio:

Proposición 3.10. Supongamos que lim{x_n} = a y que lim{y_n} = b. Entonces:

1. lim{x_n + y_n} = a + b.

2. lim{x_n − y_n} = a − b.

3. Si α ∈ ℝ, lim{αx_n} = αa.

4. lim{x_ny_n} = ab.

5. Si yn ≠ 0 para cualquier n ∈ ℕ y además b ≠ 0, entonces $lim\left\{\frac{x_n}{y_n}\right\}=\frac{a}{b}$.

Demostración.

1. Dado ϵ > 0, consideramos $\frac{ϵ}{2}>0$. Como lim{x_n} = a y lim{y_n} = b necesariamente ∃n₁, n₂ ∈ ℕ tal que $\mathrm{\forall }n>n_1|x_n-a|<\frac{ϵ}{2}\mathrm{y}\mathrm{\forall }n>n_2|y_n-b|<\frac{ϵ}{2}$. Sea n₀ = max{n₁ , n₂}. En ese caso, ∀n > n₀ tendremos que $|x_n+y_n-(a+b)|=|x_n-a+y_n-b|\le |x_n-a|+|y_n-b|<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ$.

2. Razonando como en el apartado anterior, dado ϵ > 0, consideramos $\frac{ϵ}{2}>0$. Como lim{xn} = a y lim{yn} = b necesariamente ∃n₁, n₂ ∈ ℕ tal que $\mathrm{\forall }n>n_1|x_n-a|<\frac{ϵ}{2}$ y $\mathrm{\forall }n>n_2|y_n-b|<\frac{ϵ}{2}$. Sea n0 = max{n₁, n₂}. Ahora bien, ∀n > n₀ tendremos que $|x_n-y_n-(a-b)|=|(x_n-a)-(y_n-b)|\le |x_n-a|+|y_n-b|<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ$. Por consiguiente lim{x_n − y_n} = a − b.

3. Se deja como ejercicio

4. x_ny_n − ab = x_ny_n − x_nb + x_nb − ab = x_n(y_n − b) + b(x_n − a). Teniendo en cuenta que {x_n} está acotada, y suponiendo que ∀n ∈ ℕ |x_n | < k, sea K = max{k, |b|}. Dado ahora ϵ > 0, consideramos $\frac{ϵ}{2K}>0$. Como lim{x_n} = a y lim{y_n} = b necesariamente ∃n₁, n₂ ∈ ℕ tal que $\mathrm{\forall }n>n_1|x_n-a|<\frac{ϵ}{2K}$ y $\mathrm{\forall }n>n_2|y_n-b|<\frac{ϵ}{2K}$. Sea n₀ = max{n₁, n₂}. Así, ∀n > n₀ tendremos que $|x_n{y}_n-(ab)|\parallel x_n{y}_n-x_n+x_{n}b-ab|=|x_n(y_n-b)+b(x_n-a))|\le |x_n||(y_n-b)|+|b||(x_n-a))|<K\frac{ϵ}{2K}+K\frac{ϵ}{2K}=ϵ.$

5. Teniendo en cuenta la propiedad anterior, es suficiente con demostrar que $lim\left\{\frac{1}{y_n}\right\}=\frac{1}{b}$. Ahora bien, $|\frac{1}{y_n}-\frac{1}{b}|=\frac{|y_n-b|}{\left|y_n\right||b|}$, por la proposición 3.9 ∃n₁ ∈ ℕ tal que $\mathrm{\forall }n>n_1\left|y_n\right|>\frac{|b|}{2}$. Por otra parte, dado ϵ > 0, consideramos $\frac{b^2ϵ}{2}>0$. Como lim{y_n} = b ∃n₂ ∈ ℕ tal que $\mathrm{\forall }n>n_2|y_n-b|<\frac{b^2ϵ}{2}$. Tomando ahora n₀ = max{n₁ , n₂}, resulta que $\mathrm{\forall }n>n_0|\frac{1}{y_n}-\frac{1}{b}|=\frac{|y_n-b|}{\left|y_n\right||b|}<\frac{\frac{b^2ϵ}{2}}{\frac{|b}{2}|b|}=ϵ$.

□

Las propiedades anteriores permiten calcular “fácilmente” algunos límites:

Ejemplo 3.11. Vamos a ver cómo calcular el lim $\left(\frac{5n^2+7n-4}{n^3-2n+2}\right).$ Dividiendo en el numerador y en el denominador por la mayor potencia de n, el límite anterior se puede escribir como

$$\lim \frac{5n^2+7n-4}{n^3-2n+2}=\lim \frac{\frac{5n^2+7n-4}{n^3}}{\frac{n^3-2n+2}{n^3}}=\lim \frac{\frac{5}{n}+\frac{7}{n^2}-\frac{4}{n^3}}{1-\frac{2}{n^2}+\frac{2}{n^3}}=\frac{0+0+0}{1+0+0}=0.$$

3.3 Límites infinitos

Para describir la recta real ℝ de forma “compacta”, a los números reales se les añaden dos símbolos, +∞ y -∞ de manera que ∀x ∈ ℝ se verifica que −∞ ≤ x ≤ +∞. Al conjunto $\overline{\mathbb{R}}$ = ℝ ∪ {−∞} ∪ {+∞} se le suele denominar recta real ampliada.

A estos nuevos objetos se les añaden también ciertas propiedades algebraicas. Siendo a ∈ ℝ cualquier número real, la siguiente tabla resume dichas propiedades:

◾ a + ∞ = +∞

◾ +∞ + ∞ = +∞

◾ a − ∞ = −∞

◾ −∞ − ∞ = −∞

◾ a · (∞) = ±∞, dependiendo del signo de a y teniendo en cuenta la regla de los signos.

◾ $\frac{a}{\mathrm{\infty }}=0=\frac{a}{-\mathrm{\infty }}$

Hay que tener claro que estas “propiedades” no se refieren a una “operación” en $\overline{\mathbb{R}}$ y que para otros casos hay que aplicar el “sentido común”. Por ejemplo, $\sqrt[n]{+\mathrm{\infty }}=+\mathrm{\infty }$, puesto que la raíz de un número que crece indefinidamente también crece indefinidamente. En este punto hay que aclarar que esta notación sirve para trabajar adecuadamente con sucesiones. Por ejemplo, 1^∞ es una indeterminación, que puede representar el caso en el que una sucesión {xn} cuyo límite es 1 y, dependiendo de la situación de los términos de la sucesión (i.e, si son mayores que 1, menores que 1 o van alternándose) de manera que la base de la potencia no tiene porqué permanecer de manera constante igual a 1, sino que es un número muy próximo a éste, por lo que el resultado dependerá por completo de esta circunstancia, ya que una potencia positiva de un número mayor que 1 puede ser un número muy grande, mientras que si es menor que 1, dicha potencia positiva puede estar muy próxima a cero.

Definición 3.12. Se dice que

◾ Una sucesión {x_n} tiene límite +∞ si para cualquier M ∈ ℝ se puede encontrar un natural n₀de manera que x_n ≥ M para cualquier n ≥ n₀.

◾ Una sucesión {x_n} tiene límite −∞ si para cualquier M ∈ ℝ se puede encontrar un natural n₀de manera que x_n ≤ M para cualquier n ≥ n₀.

◾ Si lim{x_n} = +∞ o lim{x_n} = −∞ se dice que la sucesión es divergente.

Ejemplo 3.13. Para calcular $\lim (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$, multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador (para utilizar el conocido resultado de “suma por diferencia = diferencia de cuadrados”), obteniendo

$$\lim (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\lim \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{+\mathrm{\infty }}=0$$

ya que lim $\{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})\}=+\mathrm{\infty }$.

Observación: Si {x_n} es una sucesión de números reales, necesariamente {x_n} satisface una de las siguientes tres posibilidades:

◾ {x_n} es convergente (∃a ∈ ℝ tal que lim{x_n} = a).

◾ {x_n} es divergente (lim{xn} = +∞ o (lim{xn} = −∞).

◾ {x_n} es oscilante (si no es convergente ni divergente).

3.4 Regla del “sandwich”

En este apartado vamos a demostrar un resultado importante que nos permite garantizar la convergencia de una sucesión sin necesidad de conocer su límite a priori.

Proposición 3.14 (Criterio o regla del “sandwich”). Si {x_n} y {y_n} son dos sucesiones convergentes ambas al número a, y la sucesión {z_n} verifica que x_n ≤ z_n ≤ y_n, entonces la sucesión {z_n} también converge al número a.

Demostración. Ejercicio.

Ejemplo 3.15. Consideremos la sucesión $\left\{\frac{\mathrm{sen}n}{n}\right\}$. Según sabemos, ∀x ∈ ℝ se verifica que −1 ≤ sen x ≤ 1 por lo que

$$\frac{-1}{n}\le \frac{\mathrm{sen}n}{n}\le \frac{1}{n}$$

de manera que la sucesión está encerrada entre dos sucesiones que convergen ambas a cero, con lo que $\lim \left(\frac{\mathrm{sen}n}{n}\right)=0\mathrm{.}$

Ejemplo 3.16. Analicemos ahora la convergencia de la sucesión $\left\{\frac{\ln n}{n}\right\}$. Teniendo en cuenta que ln x ≤ x, válida para cualquier x ∈ ℝ⁺, y además que si n ≥ 1, resulta que ln n ≥ 0, con lo que

$$0\le \frac{\ln n}{n}\le \frac{n}{n}=1$$

Esta acotación parece que no sirve de mucho, pero teniendo en cuenta las propiedades de los logaritmos tenemos que ln $n=\ln (\sqrt{n}\sqrt{n})=\ln \sqrt{n}+\ln \sqrt{n}=2\ln \sqrt{n}$, tendremos que

$$0\le \frac{\ln n}{n}=\frac{2\ln \sqrt{n}}{n}\le \frac{2\sqrt{n}}{n}=\frac{2}{\sqrt{n}}$$

con lo que, teniendo en cuenta que que la sucesión de la derecha tiende a cero, con lo que el límite de la sucesión original es cero.

A la vista de la regla anterior, tener presente la siguiente cadena de desigualdades puede resultar útil. Si a ∈ (1, +∞) y r ∈ ℝ⁺ se verifica que : nⁿ > n! > aⁿ > n^r > ln n.

4. Sucesiones de Cauchy

Definición 4.1. Se dice que la sucesión {x_n} es una sucesión de Cauchy si para cualquier ϵ > 0 podemos encontrar un n₀ ∈ ℕ de manera que si m, n ≥ n₀, entonces |x_n − x_m | < ϵ.

Proposición 4.2. Si {x_n} es una sucesión convergente, entonces {x_n} también es una sucesión de Cauchy

Demostración. Ejercicio.

Proposición 4.3. Si la sucesión {x_n} es de Cauchy, entonces {x_n} está acotada.

Demostración. Sea ϵ = 1. Puesto que la sucesión es de Cauchy, ∃n₀ ∈ ℕ tal que ∀n, m ≥ n0 se verifica que |x_n − x_m| < 1. Sea M = sup{|x₁ |, |x₂ |, ...|x_n0−1 |, |x_n0 | + 1}. Obviamente ∀n ≤ n₀ se verifica que |x_n| ≤ M, y si n ≥ n₀ tenemos que |x_n − x_n0| < 1, con lo que |x_n| = |(x_n − x_n0) + x_n0| ≤ |x_n − x_n0| + |x_n0 | < 1 + |x_n0 | ≤ M. □

Proposición 4.4. Una sucesión de números reales {x_n} es convergente si y sólo si es de Cauchy

Demostración. La implicación hacia la derecha es la primera proposición de esta sección. Veamos el recíproco, es decir, que si {x_n} es de Cauchy, entonces es convergente. Por la proposición anterior, si {x_n} es de Cauchy entonces está acotada, y por el teorema de Bolzano-Weierstrass (teorema 3.7) ∃ {x_nk} ≺ {x_n} tal que {x_nk } es convergente. Supongamos que lim{x_nk } = a. Veamos que en ese caso también ocurre que lim{xn} = a. Dado ϵ > 0, tendremos que $\frac{ϵ}{2}>0$. Como lim{x_nk } = a, dado $\frac{ϵ}{2}>0$ necesariamente ∃_nk0 tal que ∀_nk ≥ n_k0 se verifica que $|x_{n_k}-a|<\frac{ϵ}{2}$. Por otra parte, como {x_n} es de Cauchy, dado $\frac{ϵ}{2}>0$ necesariamente ∃_nk0 tal que ∀n, m ≥ n₀ se verifica que $|x_n-x_m|<\frac{ϵ}{2}$. Definiendo ahora n1 = max{n_k0 , n₀} tendremos que ∀n ≥ n₁ se verifica que $|x_n-a|=|x_n-x_{n_{k_0}}+x_{n_{k_0}}-a|\le |x_n-x_{n_{k_0}}|+|x_{n_{k_0}}-a|<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ.$. □

Observación: A partir de la proposición anterior, para saber si una sucesión de números reales es convergente, es suficiente con analizar si es de Cauchy o no.

Ejemplo 4.5. La sucesión $\left\{\frac{1}{n}\right\}$, según sabemos converge a 0, y por consiguiente es de Cauchy. De todos modos, otra forma de razonar para llegar a esta conclusión sería la siguiente: dado ϵ > 0, como ℕ no está acotado, n₀ ∈ ℕ tal que $\frac{2}{ϵ}<n_0$. Por consiguiente si n, m ≥ n₀ tendremos que $|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}|\le \frac{1}{n}+\frac{1}{m}\le \frac{2}{n_0}<ϵ$.

Observación: La sucesión

$$\left\{\sum _{k=1}^n\frac{1}{i}\right\}=\frac{1}{1},\frac{1}{1}+\frac{1}{2},\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3},\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4},\dots$$

pese a que $|a_{n+1}-a_n|=\frac{1}{n+1}$ (por lo que el número que se añade a cada término en cada paso es cada vez más pequeño), NO es una sucesión de Cauchy, pues no satisface la condición que define este tipo de sucesiones. De hecho, la sucesión es divergente, ya que $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2},\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}>\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2},$ y así sucesivamente. En otras palabras, agrupando suficientes términos, es decir, para cualquier n tendremos que

$$\sum _{k=1}^{2^n}\frac{1}{k}>\frac{n}{2}\mathrm{,}$$

con lo que la sucesión se hace eventualmente mayor que cualquier número prefijado (basta sumar $\frac{1}{2}$ un número suficiente de veces y, por consiguiente, la sucesión $\left\{\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}\right\}$ (conocida como serie armónica) es divergente.

5. Otros criterios de convergencia

5.1 Criterio de Stoltz

Proposición 5.1. Sean a, b ∈ ℝ, a₁ , ..., an ∈ ℝ y b₁ , ..., bn ∈ ℝ⁺ de manera que ∀k ∈ {1, ..., n} se satisface que $a<\frac{a_k}{b_k}<b$. En estas condiciones se verifica que $a<\frac{a_1+\dots +a_n}{b_1+\dots +b_n}<b$.

Demostración. Como ∀k ∈ {1, ..., n} tenemos que $a<\frac{a_k}{b_k}<b$, sucede también que ∀k ∈ {1, ..., n} $a{b}_k<a_k<b{b}_k$, por lo que sumando todas estas desigualdades obtenemos que a(b₁ + ... + bn) < a₁ + ... + a_n < b(b₁ + ... + bn), con lo que

$$a<\frac{a_1+\dots +a_n}{b_1+\dots +b_n}<b.$$

□

Teorema 5.2. (Criterio de Stoltz) Si {x_n} e {y_n} son sucesiones de números reales tales que

◾ {y_n} es estrictamente creciente,

◾ lim{y_n} = +∞, y

◾ $\lim \left\{\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}\right\}=a∊\overline{\mathbb{R}}$,

entonces también sucede que $\lim \left\{\frac{x_n}{y_n}\right\}=a$

Demostración. Supongamos, en primer lugar, que a ∈ ℝ. En ese caso, como $\lim \left\{\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}\right\}=a$, dado ϵ > 0 y considerando $\frac{∊}{2}>0$, ∃n₁ ∈ ℕ tal que ∀n ≥ n₁ se verifica que $\left|\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}\right|<\frac{ϵ}{2}$ o, lo que es lo mismo, que ∀n ≥ n₁

$$a-\frac{ϵ}{2}<\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}<a+\frac{ϵ}{2}.$$

En particular ∀n ≥ n₁

$$a-\frac{ϵ}{2}<\frac{x_{n_1+1}-x_{n_1}}{y_{n_1+1}-y_{n_1}}<a+\frac{ϵ}{2},$$

$$a-\frac{ϵ}{2}<\frac{x_{n_1+2}-x_{n_1+1}}{y_{n_1+2}-y_{n_1+1}}<a+\frac{ϵ}{2},$$

$$...$$

$$a-\frac{ϵ}{2}<\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}<a+\frac{ϵ}{2},$$

por lo que, por la proposición 5.1, tendremos que

$$a-\frac{ϵ}{2}<\frac{x_n-x_{n-1}+x_{n-1}-\dots +x_{n_1+1}-x_{n_1}}{y_n-y_{n-1}+y_{n-1}-\dots +y_{n_1+1}-y_{n_1}}<a+\frac{ϵ}{2},$$

es decir, ∀n ≥ n₁

$$a-\frac{ϵ}{2}<\frac{x_n-x_{n_1}}{y_n-y_{n_1}}<a+\frac{ϵ}{2}.$$

Por otra parte, como lim{y_n} = +∞, dado $\left(\frac{2}{ϵ}|x_{n_1}-a{y}_{n_1}|\right)∊{\mathbb{R}}^{+}\mathrm{Ǝ}{n}_2∊\mathbb{N}$ tal que ∀n ≥ n₂ se verifica que $y_n>\frac{2}{ϵ}|x_{n_1}-a{y}_{n_1}|$ o, lo que es lo mismo, que $\frac{|x_{n_1}-a{y}_{n_1}|}{y_n}<\frac{ϵ}{2}$. Si llamamos n₀ = máx{n₁, n₂}, resulta que ∀n ≥ n₀ se verifica que:

$$|\frac{x_n}{y_n}-a|=\left|\frac{x_n-a{y}_n}{y_n}\right|=\left|\frac{x_n-x_{n_1}+x_{n_1}-a{y}_{n_1}+a{y}_{n_1}-a{y}_n}{y_n}\right|\le \left|\frac{x_{n_1}-a{y}_{n_1}}{y_n}\right|+\left|\frac{x_n-x_{n_1}-a(y_n-y_{n_1})}{y_n}\right|=$$

(recúerdese que {y_n} es estrictamente creciente, con lo que y_n − yn₁ > 0)

$$=\left|\frac{x_{n_1}-a{y}_{n_1}}{y_n}\right|+\frac{(y_n-y_{n_1})}{y_n}|\frac{(x_n-x_{n_1})}{(y_n-y_{n_1})}-a|<\left|\frac{x_{n_1}-a{y}_{n_1}}{y_n}\right|+|\frac{(x_n-x_{n_1})}{(y_n-y_{n_1})}-a|<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ.$$

Por otra parte, si a = +∞, es decir, si $\lim \left\{\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}\right\}=+\mathrm{\infty }$ entonces ∀M ∈ ℝ ∃n₃ ∈ ℕ tal que ∀n ≥ n₃ se verifica que $\left|\frac{x_n-x_{n_3}}{y_n-y_{n_3}}\right|>2M$. Además, como lim{y_n} = +∞, dado $\frac{2M{y}_{n_3}-x_{n_3}}{M}∊\mathbb{R}$ necesariamente ∃n₄ ∈ ℕ tal que ∀n ≥ n₄ se verifica que $y_n>\frac{2M{y}_{n_3}-x_{n_3}}{M}$ o, lo que es lo mismo, que $-y_n<\frac{x_{n_3}-2M{y}_{n_3}}{M}$, es decir, $-M<\frac{x_{n_3}-2M{y}_{n_3}}{y_n}$. Por consiguiente, Si llamamos $n_0^{\mathrm{´}}=\mathrm{m}\mathrm{á}\mathrm{x}\{n_3,n_4\}$, resulta que $\mathrm{\forall }n\ge n_0^{\mathrm{´}}$ se verifica que

$$\frac{x_n}{y_n}=\frac{x_{n_3}}{y_n}+\frac{x_n-x_{n_3}}{y_n}=\frac{x_{n_3}}{y_n}+\frac{y_n-y_{n_3}}{y_n-y_{n_3}}\frac{x_n-x_{n_3}}{y_n}>\frac{x_{n_3}}{y_n}+\frac{y_n-y_{n_3}}{y_n}2M>-M+2M=M.$$

Por consiguiente, $\lim \left\{\frac{x_n}{y_n}\right\}=+\mathrm{\infty }$. Finalmente, si a = -∞ razonaríamos de manera similar al caso que acabamos de ver, considerando las sucesiones {-xn} y {yn}. □

Ejemplo 5.3. Para estudiar el límite $\lim \left\{\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots \frac{1}{n}}{Ln}\right\}$ podemos utilizar el criterio anterior y tendremos que

$$\begin{array}{rl}& \lim \left\{\frac{(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots \frac{1}{n})-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots \frac{1}{(n-1)})}{Ln-Ln-1}\right\}=\lim \left\{\frac{\frac{1}{n}}{Ln-Ln-1}\right\}=\lim \left\{\frac{1}{n(Ln-Ln-1)}\right\}=\lim \left\{\frac{1}{nL\left(\frac{n}{n-1}\right)}\right\}=\lim \left\{\frac{1}{L{\left(\frac{n}{n-1}\right)}^n}\right\}=\\ & =\lim \left\{\frac{1}{L{(1+\frac{n}{n-1}-1)}^n}\right\}=\lim \left\{\frac{1}{L{(1+\frac{n-n+1}{n-1})}^n}\right\}=\lim \left\{\frac{1}{L{(1+\frac{1}{n-1})}^{n-1+1}}\right\}=\lim \left\{\frac{1}{L{(1+\frac{1}{n-1})}^{n-1}}\frac{1}{(1+\frac{1}{n-1})}\right\}\\ & =\lim \{\frac{1}{L{(1+\frac{1}{n-1})}^{n-1}}+L\left(\frac{1}{(1+\frac{1}{n-1})}\right)\}=\frac{1}{Le+0}=\frac{1}{1}=1.\end{array}$$

Observación: En el ejemplo anterior hemos utilizado varias propiedades ya vistas relativas al álgebra de límites, y una propiedad que se justificará al estudiar la continuidad de funciones, y que garantiza que si f es una función de variable real que toma valores reales, de manera que es continua, y tal que el lim{x_n} está en el dominio de f , entonces lim{f (x_n)} = f (lim{x_n}).

Proposición 5.4. (Criterio de la media aritmética) Si {x_n} es una sucesión de números reales tal que lim{x_n} = a ∈ $\overline{\mathbb{R}}$, entonces $\left\{\frac{x_1+\dots +x_n}{n}\right\}=a$.

Demostración. Basta aplicar el criterio de Stoltz a las sucesiones {z_n} = {x₁ + ... + x_n} y {x_n}. □

Ejemplo 5.5. Para estudiar el límite $\lim \left\{\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots \frac{1}{n}}{n}\right\}$ basta utilizar el resultado anterior para obtener $\lim \left\{\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots \frac{1}{n}}{n}\right\}=\lim \left\{\frac{1}{n}\right\}=0$ .

6. Ejercicios

1. Empleando la definición de límite de una sucesión, demostrar que $\text{lím}\left\{\frac{n-1}{n}\right\}=1$.

2. Demostrar que lím{x_n} = a si y sólo si lím{|x_n − a|} = 0.

3. Demostrar que lím{xn} = a entonces lím{|xn|} = |a|. ¿Es cierto el recíproco?.

4. Hallar el límite de la sucesión $\left\{\frac{\sum _{i=1}^{n}i}{n^2}\right\}.$

5. Demostrar que si {x_n} es una sucesión acotada, y lim{y_n} = 0, entonces {x_ny_n} es convergente y lim{x_ny_n} = 0.

6. Determinar si es convergente o no y , en su caso, hallar el límite de la sucesión {xn} definida recursivamente por

$$x_n=\{\begin{array}{l}\sqrt{2}\text{para }n=1\\ \sqrt{2+x_{n-1}}\mathrm{\forall }n\ge 2\end{array}$$

7. Dada la sucesión $\left\{\frac{1}{n^2}\mathrm{sen}(5e^n+n^3)\right\}$, determinar si es convergente o no y, en su caso, hallar su límite.

8. Demostrar que si {xn} es una sucesión acotada, y definimos ∀n ∈ ℕ, y_n = sup{x_m |m ≥ n}, se verifica que {x_ny_n} es convergente.

9. Determinar si la sucesión {x_n} definida a continuación es convergente o no y, en su caso, hallar su límite:

$$\left\{x_n\right\}=\left\{\sum _{i=1}^n\frac{n}{n^2+i}\right\}=\{\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}\dots +\frac{n}{n^2+n}\}\mathrm{.}$$

10. Hallar el límite de la sucesión

$$\left\{\sum _{i=1}^n\frac{1}{i(i+1)}\right\}$$

11. Hallar el límite de la sucesión

$$\{\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n}\}.$$

12. Hallar el límite de la sucesión

$$\left\{\frac{n!}{\sum _{i=1}^{n}i!}\right\}.$$

13. Hallar el límite de la sucesión {x_n} definida recursivamente por

$$x_n=\{\begin{array}{ll}\sqrt{2}\text{ para }& n=1\\ \sqrt{2x_{n-1}}& \mathrm{\forall }n\ge 2\end{array}$$

14. Demostrar con todo detalle, empleando la definición de límite de una sucesión, que $\lim \left\{\frac{n^3+5}{n+2}\right\}=+\mathrm{\infty }$.

15. Determinar si la sucesión {xn} definida a continuación es convergente o no y, en su caso, hallar su límite:

$$\left\{x_n\right\}=\left\{\frac{\sum _{i=1}^n{i}^2}{4n^3+9n}\right\}$$

16. Determinar cúales de las siguientes sucesiones de números reales son convergentes o no y, en su caso, calcular su límite. (Indicación: en algún caso, analícese la convergencia de sus subsucesiones).

a) $\left\{x_n\right\}=\{(1+\frac{1}{n})+(-1{)}^n(1-\frac{5}{n})\}.$

b) $\left\{y_n\right\}=\{(1-\frac{1}{n})+(-1{)}^n\left(\frac{1}{n}\right)\}.$

c) $\left\{z_n\right\}=\{\sqrt{(2+\frac{1}{n})}+(-2{)}^n\left(\sqrt{(2+\frac{1}{n})}\right\}.$

7. Referencias

1. Bartle, R.G. & Sherbert, D.R., Introducción al Análisis Matemático de una variable, Ed. Limusa-Noriega (1996).

2. Butúzov, V.F. et al, Análisis Matemático en preguntas y problemas, Ed. Mir (1989).

3. Fernández Novoa J., Análisis Matemático I, Ed. UNED, 1991.

4. Kudriávtsev, L.D., Curso de Análisis Matemático 1, Ed. MIR, 1994.

5. Protter, M.H. & Morrey, C.B., Análisis real, Ed. AC (1986).

6. Rudin, W., Principios de Análisis Matemático, Ed. McGraw Hill (1976).