Forum Docentis - Sección MD, Vol. 2026, Núm. 5 (2026)
ISSN: 2952-3052
https://doi.org/10.33732/FD.v2026.n5.33
Recepción: 20/01/2026, Aceptación: 19/02/2026

La integral de Riemann desde la perspectiva de Lebesgue

Alejandro Arceo^1*, José Antonio Villa²

¹ Faculadad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Universidad de Colima, México
² Instituto de Matemáticas, UNAM, México
^*Autor de correspondencia: gramirez47@ucol.mx

2026 Los autores. Publicado por URJC. Distribuido en acceso abierto bajo los términos de la licencia CC BY 4.0.
Cómo citar este artículo: Arceo, A., & Villa Morales, J. A. La integral de Riemann desde la perspectiva de Lebesgue.
Forum Docentis – MD vol. 2026, (5), e33, 2026.

Índice

Introducción

1. La integral de Riemann

1.1 Particiones de un intervalo y las sumas inferiores y superiores

1.2 Integral de Riemann

1.3 Interpretación geométrica

1.4 Funciones Riemann integrables

2. Integral de Lebesgue

2.1 Medida de Lebesgue y funciones medibles

2.2 Integración

2.2.1. Funciones simples

2.2.2. Integración de funciones positivas

2.3 Teorema de la convergencia dominada y aplicaciones

Referencias

Introducción

La integral de Riemann es una herramienta fundamental del análisis matemático y del cálculo clásico, adecuada para integrar amplias clases de funciones en intervalos compactos. No obstante, presenta limitaciones significativas al estudiar procesos de convergencia, particularmente cuando se desea justificar el intercambio entre límites e integrales, lo cual suele requerir hipótesis adicionales y demostraciones técnicas extensas.

La integral de Lebesgue proporciona un marco más general y flexible, basado en la teoría de la medida, que permite superar estas dificultades. En particular, el teorema de la convergencia dominada ofrece un criterio natural para el paso al límite bajo el signo integral. Por lo tanto, el objetivo de este manuscrito es mostrar que diversas propiedades fundamentales de la integral de Riemann se obtienen de manera más simple y unificada al reinterpretarlas como casos particulares de la integral de Lebesgue.

1. La integral de Riemann

La integral de Riemann asigna un número real al área comprendida entre la gráfica de una función real y el eje de abscisas en un intervalo compacto. Así, este concepto se construye a partir de una idea intuitiva de aproximación del área mediante sumas finitas [1].

1.1 Particiones de un intervalo y las sumas inferiores y superiores

Sea $[a,b]\subset \mathbb{R}$ un intervalo cerrado y acotado, con a < b. Una partición de [a, b] con n + 1 puntos es el conjunto finito $P_n=\{x_0,x_1,\dots ,x_n\}$ tal que $a=x_0<x_1<\dots <x_n=b$, y los n subintervalos inducidos por la partición son los intervalos $[x_{i-1},x_i],$ con $i=1,\dots ,n$.

Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función acotada. Dada una partición P_n de [a, b] con n + 1 puntos, se define para i = 1, . . . , n

■ la mínima altura la gráfica de f en cada subintervalo por $m_i=inf\{f(x)\mid x\in [x_{i-1},x_i]\}$

■ y la máxima altura de la gráfica de f en cada subintervalo por $M_i=sup\{f(x)\mid x\in [x_{i-1},x_i]\}$.

Nota que las cantidades m_i y M_i existen debido a que f es acotada. Así, la suma inferior y la suma superior asociadas a f y a la partición P_n en [a, b] son

$$L(f,P_n)=\sum _{i=1}^n{m}_i(x_i-x_{i-1}),\mathrm{y}U(f,P_n)=\sum _{i=1}^n{M}_i(x_i-x_{i-1}),$$

respectivamente.

Intuitivamente, L(f, P_n) aproxima el área por defecto y U(f,P) la aproxima por exceso dado que, para cada $n\in \mathbb{N}$ y $i=1,\dots ,n,m_i\le M_i$ Además, dado que f es acotada, para cualquier Pn de [a,b] existe M > 0 es tal que $|f(x)|\le M$. Entonces

$$-M(b-a)\le L(f,P_n)\le U(f,P_n)\le M\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})=M(b-a). (1)$$

1.2 Integral de Riemann

Se dice que la función f es integrable en el sentido de Riemann o Riemann integrable en el intervalo [a, b] si, para cada $n\in \mathbb{N}$,

sup $\{L(f,P_n)\mid P_n$ es particion de [a, b]} = ínf{U(f, P_n) | P_n es particion de [a, b]}

y, en ese caso, a este valor común se denomina integral de Riemann de f en [a, b] y se denota por

$${\int }_a^{b}f(x)dx$$

Los siguientes enunciados son equivalentes a la definición anterior [2].

■ Para cada $ϵ>0$, existe una partición $P_n$ de $[a,b]$ talque

$$U(f,P_n)-L(f,P_n)<ϵ. (2)$$

■ Existe $I\in \mathbb{R}$ tal que para cada $ϵ>0$ existe δ > 0 tal que para cualquier partición P_n de [a, b] con máx $\{x_i-x_{i-1}\mid i=1,\dots ,n\}<\delta$

$$|\sum _{i=1}^{n}f\left(t_i\right)(x_i-x_{i-1})-I|<ϵ, (3)$$

donde $t_i\in [x_{i-1},x_i]$. Aqúi $I={\int }_a^{b}f(x)dx$

1.3 Interpretación geométrica

Cuando f es Riemann integrable en $[a,b]\text{y}f(x)\ge 0$ para todo $x\in [a,b]$, la integral de Riemann coincide con el área de la región del plano limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas verticales $x=a\text{y}x=b$. Además, si la función toma valores negativos, la integral representa un área orientada.

1.4 Funciones Riemann integrables

Algunas clases importantes de funciones Riemann integrables son:

■ las funciones continuas en [a, b],

■ las funciones monótonas en [a, b]

■ y las funciones acotadas con un número finito de discontinuidades.

Además, el teorema fundamental del cálculo permite calcular la integral de una función mediante su función antiderivada (cuando esta exista), el cual es presentado a continuación.

Teorema 1 (Teorema fundamental del cálculo). Si f es una función definida y diferenciable en $[a,b]\subset \mathbb{R}$, entonces

$${\int }_a^b{f}^{\prime }(x)dx=f(b)-f(a). (4)$$

Finalmente, ejemplos de dos casos de funciones que no son Riemann integrables son presentados.

Ejemplo 1. La función de Dirichlet definida por

$$f(x)=\{\begin{array}{l}1,x\in [0,1]\cap \mathbb{Q},\\ 0,x\in [0,1]\mathrm{\setminus }\mathbb{Q},\end{array}, (5)$$

no es Riemann integrable. Dado que en cualquier partición $P_n=\{x_0,\dots ,x_n\}$de [0, 1] se tiene que $[x_{i-1},x_i]$contiene números racionales e irracionales, y entonces $m_i=0$y $M_i=1$para $i=1,\dots ,n$. Así, para cada $x\in [0,1]$,

$$L(f,P_n)=0yU(f,P_n)=\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})=1. (6)$$

Como P_n es arbitraria, se concluye que

$$sup\{L(f,P_n)\mid P_n\text{es particion de}[a,b]\}=0yinf\{U(f,P_n)\mid P_n\text{es particion de}[a,b]\}=1. (7)$$

Por lo tanto, f no es Riemann integrable.

Ejemplo 2. Una sucesión de funciones Rieman integrables puede converger a una función que no es Riemann integrable. Considera una enumeración de los racionales en [0, 1]. Para $n\in \mathbb{N}$, considera el conjunto de racionales $\{q_1,\dots ,q_n\}$. Define la sucesión de funciones por

$$f_n(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in \{q_1,\dots ,q_n\}\\ 1/n,& x\in [0,1]\mathrm{\setminus }\{q_1,\dots ,q_n\}\end{array}. (8)$$

Nota que cada f_n es Riemann integrable debido a que es una función acotada con un número finito de discontinuidades. Además,

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^1{f}_n(x)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}1/n=0. (9)$$

Sin embargo, $f_n(x)\to f(x)$ para todo $x\in [0,1]$, donde f es la función de Dirichlet definida en (5). Elijamos $x\in [0,1]$. Si x es racional, existe un N₁suficientemente grande tal que $x\in \{q_1,\dots ,q_{N_1}\}.$ Dado $ϵ>0$, existe N₂tal que $1/N_2<ϵ.SiN=\mathrm{má}\mathrm{x}\{N_1,N_2\}$, entonces al tomar $n\ge N$ se tiene que

$$ϵ>|f_n(x)-f(x)|=\{\begin{array}{ll}0,& x\in \{q_1,\dots ,q_n\}\\ 1/n,& x\in [0,1]\mathrm{\setminus }\{q_1,\dots ,q_n\}\end{array}. (10)$$

Por lo tanto, f _n converge punto a punto a f, la cual no es Riemann integrable.

Los Ejemplos 1 y 2 brindan un contra ejemplo para el intercambio entre el límite y la integral de Riemann, es decir, existe una sucesión ${\left\{f_n\right\}}_{n\ge 1}$ de funciones Riemann integrables tal que

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^1{f}_n(x)dx\ne {\int }_0^1\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)dx. (11)$$

2. Integral de Lebesgue

2.1 Medida de Lebesgue y funciones medibles

La noción de medida de Lebesgue y conjunto medible proviene de la construcción intuitiva de área aproximada mediante geometrías con área fácil de calcular, como los cubos, o los rectángulos o las esferas; todas ellas bien definidas para el ojo humano. En nuestro caso, solo requerimos de intervalos pues solo nos enfocaremos en conjuntos de R. La construcción de la medida de Lebesgue puede entenderse intuitivamente como un proceso con las siguientes etapas fundamentales.

1. Se introduce el concepto de espacio de pre-medida µ₀ : parte del principio de poder calcular longitudes, áreas o volúmenes de conjuntos simples (intervalos, rectángulos, cuadrados, triángulos) y µ₀ presenta una fórmula bien conocida.

2. Se define la medida exterior µ* sobre todos los conjuntos: sigue la idea intuitiva de calcular un área mediante la suma de las áreas µ₀ de los elementos en el espacio de pre-medida que conforman una cubierta, siendo esta última una aproximación a la forma del conjunto que se quiere medir.

3. Construir los espacios Lebesgue medibles: una vez que tenemos una noción de área (medida exterior) para cualquier conjunto, se deben clasificar los que se comportan de buena forma con la medida.

Es necesario formalizar las ideas anteriores. La noción de cubierta para un conjunto en la recta real es la siguiente. Dado $E\subset \mathbb{R}$, una cubierta es una sucesión de intervalos ${\left\{(a_i,b_i)\right\}}_{i\ge 1}$ tales que $a_i,b_i\in \mathbb{R},a_i<b_i$ y

$$E\subset \bigcup _{i\ge 1}(a_i,b_i). (12)$$

Luego, se define la pre-medida µ₀ de los intervalos como ${\mu }_0\left((a_i,b_i)\right)=b_i-a_i$. Así, la medida exterior µ* es definida por

$${\mu }^{\ast }(E)=inf\{\sum _{i\ge 1}(b_i-a_i)\mid {\left\{(a_i,b_i)\right\}}_{i\ge 1}\text{es una cubierta de}E\}. (13)$$

Ejemplo 3. Para calcular la medida exterior de los racionales $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$, considera una enumeración de los racionales $q_1,q_2,\dots ,q_n,\dots$ Centra un intervalo en cada q_i dado por $(q_i-ϵ/2^{i+1},q_i+ϵ/2^{i+1})$, donde $ϵ>0$. Observemos que

$$\mathbb{Q}\subset \bigcup _{i\ge 1}(q_i-ϵ/2^{i+1},q_i+ϵ/2^{i+1}),{\mu }^{\ast }\left((q_i-ϵ/2^{i+1},q_i+ϵ/2^{i+1})\right)=\frac{ϵ}{2^i}. (14)$$

Entonces,

$${\mu }^{\ast }(E)=inf\{\sum _{i\ge 1}{\mu }^{\ast }(b_i-a_i)\mid {\left\{(a_i,b_i)\right\}}_{i\ge 1}\text{es una cubierta de}E\}\le \underset{ϵ>0}{inf}\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{ϵ}{2^i}=0. (15)$$

Por lo tanto, ${\mu }^{\ast }(\mathbb{Q})=0$.

El argumento del Ejemplo 3 permite concluir que los conjuntos numerables siempre tiene medida cero.

Naturalmente se tiene las siguientes propiedades de aditividad, las cuales no serán probadas aquí.

Proposición 1. Sean µ* una medida exterior en $\mathbb{R}yA,B\subset \mathbb{R}$.

1. Para una sucesión ${\left\{E_i\right\}}_{i\ge 1}$ de subconjuntos de ℝ se tiene que

$${\mu }^{\ast }\left(\bigcup _{i\ge 1}{E}_i\right)\le \sum _{i\ge 1}{\mu }^{\ast }\left(E_i\right). (1)$$

2. Si $A\subset B$, entonces ${\mu }^{\ast }(A)\le {\mu }^{\ast }(B)$.

3. Sea dist $(A,b)=inf\{|x-y|:x\in A,y\in B\}$. Si dist $(A,B)>0$, entonces

$${\mu }^{\ast }(A\cup B)={\mu }^{\ast }(A)+{\mu }^{\ast }(B). (17)$$

Definción 1.Un conjunto $E\subset \mathbb{R}$es medible en el sentido de Lebesgue si para todo $ϵ>0$, existe un intervalo (a, b) tal que $E\subset (a,b)$ y que ${\mu }^{\ast }((a,b)/E)<ϵ$. En este caso denotamos $\mu (E)={\mu }^{\ast }(E)$.

En general, los libros de texto definen que un conjunto es Lebesgue medible si cumple con la condición de Caratheodory: E es medible si para todo $A\subset \mathbb{R}$, se tiene que ${\mu }^{\ast }={\mu }^{\ast }(A)={\mu }^{\ast }(A\cap E)+{\mu }^{\ast }(A\cap E^c).$. Ambas definiciones son equivalentes, pero la definición introducida por Lebesgue es mas intuitiva y natural.

Definción 2. Sea M la σ -álgebra de conjuntos de Lebesgue medible con la medida µ. Se define el espacio de medida de Lebesgue como $(\mathbb{R},\mathcal{M},\mu )$. Dicho espacio tiene la siguientes propiedades:

1. Para el conjunto vacío se cumple $\mu (\mathrm{\varnothing })=0$.

2. Si ${\left\{E_i\right\}}_{i\ge 1}$es una sucesión de conjuntos medibles disjuntos, entonces

$$\mu \left(\bigcup _{i\ge 1}{E}_i\right)=\sum _{i\ge 1}\mu \left(E_i\right). (18)$$

3. Si $A\subset B$, entonces $\mu (A)\le \mu (B)$¹, siempre y cuando $A,B\in \mathcal{M}$.

Definción 3. Sea $(\mathbb{R},\mathcal{M},\mu )$ un espacio de medida de Lebesgue. Una función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es medible si para todo conjunto Lebesgue medible $E\in \mathcal{M}$, se tiene que $f^{-1}(E)\in \mathcal{M}$, es decir, $f^{-1}(E)$ es medible.

Las funciones continuas son medibles.

2.2 Integración

2.2.1 Funciones simples

Sea $(\mathbb{R},\mathcal{M},\mu )$ un espacio de medida. Sean ${\left\{E_i\right\}}_{i=1}^N\subset \mathcal{M}$ una sucesión de conjuntos N medibles con medida $\mu \left(E_i\right)<\mathrm{\infty }\text{y}{\left\{a_i\right\}}_{i=1}^N$ un conjunto de N números reales. Una función simple ψ es una función medible de la forma

$$\psi (x)=\sum _{i=1}^N{a}_i{\mathbf{1}}_{E_i}(x), (19)$$

donde 1_Ei es la función característica de E_i. En [3] se generaliza a funciones simples que no tienen soporte compacto.² Observa que toda función simple se puede escribir de forma que los conjuntos medibles sean disjuntos. Simplemente toma los conjuntos medibles disjuntos $F_i=\{x\in \mathcal{M}:f(x)=a_i\}$, donde $f:\mathcal{M}\to \mathbb{R}$, y define el representante

$$\tilde{\psi }(x)=\sum _{i=1}^N{a}_i{\mathbf{1}}_{F_i}(x), (20)$$

con $\psi (x)=\tilde{\psi }(x)$. Por facilidad, se traba ja con este tipo de funciones.

Definción 4. Sea ψ una función simple de la forma (19). La integral está dada por

$${\int }_{\mathbb{R}}\psi d\mu =\sum _{i=1}^N{a}_i\mu \left(E_i\right). (21)$$

Nota: Es importante dejar claro que las funciones simples no necesariamente deben de tener una forma de bloques, como las particiones en la integral de Riemann.

2.2.2 Integración de funciones positivas

Recuerda que la integral de Riemann se define para funciones acotadas en intervalos compactos [a, b]. Por el contrario, la integral de Lebesgue permite definir la noción de área sin la necesidad de restringirse a un conjunto acotado (medida finita), además de omitir la restricción de que la función sea acotada.

Definción 5. Sea f una función medible con valores positivos o ∞. Se define la integral de Lebesgue de f por

$${\int }_{\mathbb{R}}fd\mu =sup\{{\int }_{\mathbb{R}}gd\mu :0\le g\le f,g\text{simple}\}. (22)$$

Es esencial hacer notar que la definición anterior es equivalente a definir la integral como el ínfimo sobre funciones simples superiores a f. Es Decir

$${\int }_{\mathbb{R}}fd\mu =\underset{0\le g\le f}{sup}{\int }_{\mathbb{R}}gd\mu =\underset{h\ge f}{inf}{\int }_{\mathbb{R}}hd\mu . (23)$$

Esto contrasta con la definición de integral de Riemann, donde el supremo y el ínfimo debían de coincidir por definición. La prueba de esta equivalencia se deja como ejercicio para el lector.

Para $E\in \mathcal{M}$ y f medible, se define

$${\int }_{E}fd\mu ={\int }_{\mathbb{R}}f(x){\mathbf{1}}_E(x)d\mu . (24)$$

Proposición 2 ([4]). Consideremos un espacio de medida $(\mathbb{R},\mathcal{M},\mu )$. Para $f,g:\mathbb{R}\to [0,\mathrm{\infty }]$funciones medibles se cumplen las siguientes propiedades.

1. f + g es medible y

$${\int }_{\mathbb{R}}(f+g)d\mu ={\int }_{\mathbb{R}}fd\mu +{\int }_{\mathbb{R}}gd\mu . (25)$$

2. Si $f\le g$, entonces

$${\int }_{\mathbb{R}}fd\mu \le {\int }_{\mathbb{R}}gd\mu . (26)$$

3. Si E, $F\in \mathcal{M}$y son disjuntos, entonces

$${\int }_{E\cup F}fd\mu ={\int }_{E}fd\mu +{\int }_{F}fd\mu . (27)$$

4. Se cumple la desigualdad del triángulo

$$|{\int }_{\mathbb{R}}(f+g)d\mu |\le {\int }_{\mathbb{R}}|f|d\mu +{\int }_{\mathbb{R}}|g|d\mu . (28)$$

Los siguientes ejemplos presentan algunas estrategias para cálculo de integrales de Lebesgue por medio de la Definición 5.

Ejemplo 4. Considera la función

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in \mathbb{Q},\\ 0,& x\notin \mathbb{Q}.\end{array} (29)$$

Para calcular la integral de Lebesgue de f, sea g una función simple con la forma

$$g(x)=\sum _{i=1}^N{a}_i{\mathbf{1}}_{E_i}(x). (30)$$

Observa que $0\le g\le f$ nos permite concluir que $g(x)=0$ en $E_k\cap \mathbb{Q}y0\le a_i\le f(x)$ para $x\in E_k\cap \mathbb{Q}$. Usando que $\mu (E_k\cap \mathbb{Q})=0$, se obtiene

$${\int }_{[0,1]}gd\mu =\sum _{i=1}{a}_i\mu (E_k\cap \mathbb{Q})=0. (31)$$

Entonces, tenemos que f es Lebesgue integrable y además

$${\int }_{[0,1]}fd\mu =sup{\int }_{[0,1]}gd\mu =0. (32)$$

La estrategia aqúı fue usar el hecho que la función vale 1 en conjuntos de medida cero y 0 en conjuntos con medida positiva deducida por la condición $0\le g\le f$.

Ejemplo 5. Para calcular la integral de Lebesgue

$${\int }_{(0,1)}{x}^{2}d\mu , (33)$$

toma $n\in \mathbb{N}$. Define los conjuntos $E_k=\{x\in (0,1):k/n\le x^2<(k+1)/n\}$, lo cuales forman una cubierta disjunta de (0, 1) y, además, $\mu \left(E_k\right)=1/n$. Define la función escalonada

$${\varphi }_n(x)=\sum _{k=1}^n\frac{k^2}{n^2}{\mathbf{1}}_{E_k}(x). (34)$$

Nota que la sucesión de funciones ${\left\{{\varphi }_n\right\}}_{n\in \mathbb{N}}$es creciente y converge a x² uniformemente. Entonces, para toda $g\le f$, existe una función φ_n tal que $g\le {\varphi }_n\le f$en casi todas partes (c.t.p.). Además,

$${\int }_{(0,1)}gd\mu \le {\int }_{(0,1)}{\varphi }_{n}d\mu . (35)$$

Del razonamiento anterior,

$$\begin{array}{rl}{\int }_{(0,1)}{x}^{2}d\mu & =\underset{n\in \mathbb{N}}{sup}{\int }_{(0,1)}{\varphi }_{n}d\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{k^2}{n^2}\mu \left(E_k\right)\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{k^2}{n^2}\mu \left(E_k\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{k^2}{n^3}=\frac{1}{3}\end{array}. (36)$$

Del ejemplo anterior es posible deducir una estrategia para calcula la integral de Lebesgue de una función acotada f : construir una sucesión creciente φ_n de funciones simples que converge a f y calcular la integral empleando el límite, es decir,

$${\int }_{\mathbb{R}}fd\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{\mathbb{R}}{\varphi }_{n}d\mu . (37)$$

Resta por definir la integral de Lebesgue para no positivas. Sea $f:X\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$una función medible. Si

$$f^{+}(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& \text{si}f(x)\ge 0,\\ 0,& \text{si}f(x)<0,\end{array}\text{y}{f}^{-}(x)=\{\begin{array}{ll}0,& \text{si}f(x)\ge 0,\\ -f(x),& \text{si}f(x)<0,\end{array}, (38)$$

entonces $f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x)$. Así, se define que la integral de Lebesgue de f como

$${\int }_{\mathbb{R}}fd\mu ={\int }_{\mathbb{R}}{f}^{+}d\mu -{\int }_{\mathbb{R}}{f}^{-}d\mu . (39)$$

Proposición 3. Sea f una función Riemann integrable en un compacto [a, b]. Entonces f es Lebesgue integrable y

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{[a,b]}fd\mu . (40)$$

2.3 Teorema de la convergencia dominada y aplicaciones

El teorema de la convergencia dominada de Lebesgue es el resultado principal de la teoría de la integral de Lebesgue y permite manipular límites dentro y fuera de la integral para sucesiones acotadas, lo cual es ´util en situaciones como la de (37).

Proposición 4 (Teorema de la convergencia dominada). Sea f_n una sucesión de funciones medibles tales que $|f_n(x)|<|g(x)|$en c.t.p., donde g es Lebesgue integrable. Si la sucesión aproxima f_n $f_n(x)\to f(x)$en c.t.p., entonces f es Lebesgue integrable y además

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{\mathbb{R}}{f}_{n}d\mu ={\int }_{\mathbb{R}}fd\mu . (41)$$

El lector puede consultar en [5] los teoremas de convergencia de la integral de Riemann enunciados en los Teoremas 9.8 (p. 276), 9.11 (p. 276) y 9.12 (p. 277), este último conocido como el Teorema de Arzela`. Al considerar la integral de Riemann como un caso particular de la integral de Lebesgue, se observa que dichos resultados se deducen naturalmente como consecuencias del teorema de la convergencia dominada de Lebesgue. En consecuencia, este teorema proporciona una herramienta fundamental para manipular límites de funciones Riemann integrables en conjuntos compactos [a, b]. Finalmente, se presentan a continuación ejemplos que ilustran esta relación.

Ejemplo 6. Al calcular

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^n\frac{n}{n+x^2}dx, (42)$$

observa que la sucesión $f_n(x)=\frac{n}{n+x^2}$es Riemann integrable en [0, 1] y por lo tanto Lebesgue integrable. Además, $|f_n(x)|<1$. La Proposición 4 implica que

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{[0,1]}\frac{n}{n+x^2}d\mu ={\int }_{[0,1]}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{n+x^2}d\mu ={\int }_{[0,1]}1d\mu =1. (43)$$

Así se concluye que

$${\int }_{[0,1]}1d\mu ={\int }_0^{1}1dx (44)$$

y, por lo tanto,

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^1\frac{n}{1+n{x}^2}dx=1. (45)$$

Ejemplo 7 ([5]). Sea $f:[0,1]\times [a,b]\to \mathbb{R}$una función diferenciable en t y, para cada $t\in [0,1],f(t,\cdot )$es Riemann integrable en [a, b]. Entonces, en el sentido de Riemann integrable, se tiene que

$$\frac{d}{dt}{\int }_a^{b}f(t,x)dx={\int }_a^b\frac{df}{dt}(t,x)dx. (46)$$

Para h > 0, define la sucesión de funciones

$${\varphi }_h(t,x)=\frac{f(t+h,x)-f(t,x)}{h}. (47)$$

Como f es diferenciable en t 0, aseguramos la convergencia puntual, es decir,

$$\underset{h\to 0}{lim}{\varphi }_h(t_0,x)={\frac{df}{dt}|}_{t=t_0}(t,x),\mathrm{\forall }x\in [a,b]. (48)$$

El siguiente paso es buscar una función integrable que acote a la sucesión φ_h. Por el teorema del valor medio, existe un ξ_t0 tal que t₀ < ξ_t0 < t₀ + h tal que

$${\varphi }_h(t_0,x)=\frac{df}{dt}({\xi }_{t_0},x). (49)$$

Como la derivada es continua en un compacto, existe M > 0 tal que $\left|{\varphi }_h(t_0,x)\right|\le M\text{para}x\in [a,b]\text{y}h>0$. Así, todas las hipótesis de la Proposición 4 son satisfactorias. Tomando en cuenta la Proposición 3, se obtiene que

$${\frac{d}{dt}|}_{t=t_0}{\int }_a^{b}f(t,x)dx=\underset{h\to 0}{lim}{\int }_{[a,b]}{\varphi }_h(t_0,x)d\mu ={\int }_{[a,b]}\underset{h\to 0}{lim}{\varphi }_h(t_0,x)d\mu ={{\int }_a^b\frac{df}{dt}|}_{t=t_0}(t,x)dx. (50)$$

Referencias

¹ R. Bartle y D. Sherbert, Introducción al análisis matemático de una variable, 3.^a ed. (Ed. Limusa Wiley, México D.F., México, 2010).

² E. D. Gaughan, Introduction to analisys, 4.^a ed. (Books/Cole Publishing Co., Pacific Grove, CA, USA, 1992).

³ G. B. Folland, Real analysis: modern techniques and their applications (John Wiley & Sons, 1999).

⁴ E. M. Stein y R. Shakarchi, Real analysis: measure theory, integration, and Hilbert spaces (Princeton University Press, 2009).

⁵ T. M. Apostol, Análisis matemático (Reverté, 2020).

_______________________________

¹ Esta propiedad es consecuencia de la propiedad 2.

² Eso quiere decir que N puede ser infinito en (19).