Números complejos: propiedades y operaciones

Gonzalo Contreras-Aso^1,2*

¹ Grupo Interdisciplinar de Sistemas Complejos (GISC), Departamento de Matemáticas, Universidad Carlos III de Madrid
² Laboratorio de Computación Matemática en Redes Complejas y Aplicaciones, Universidad Rey Juan Carlos
^*Autor de correspondencia: gcontrer@math.uc3m.es

Resumen

Los números complejos desafiaron hace siglos la noción de “número”, desatando una revolución en las matemáticas que dio frutos más allá, en campos como la física (donde la mecánica cuántica está basada en ellos) o la ingeniería (donde el análisis de señales requiere técnicas con variables complejas), por poner algunos ejemplos. En este artículo realizamos una introducción didáctica a las ideas principales que sustentan los números complejos: desde su definición, formas de expresarlos y propiedades, hasta sus operaciones y representación geométrica de estas. Finalmente, se discute su rol en ecuaciones polinómicas, a través de resultados como el Teorema Fundamental del Álgebra.

Palabras clave
Números complejos, Álgebra.

2026 Los autores. Publicado por URJC. Distribuido en acceso abierto bajo los términos de la licencia CC BY 4.0.
Cómo citar este artículo: Contreras Aso, G. Números complejos: propiedades y operaciones. Forum Docentis – MD vol. 2026, (5), e32, 2026.

Índice

1. Introducción histórica

2. Definiciones básicas

2.1 Conjugación y división

2.2 Plano complejo

3. Formas trigonométrica y polar

3.1 Forma trigonométrica

3.1.1. Operaciones en forma trigonométrica

3.2 La forma polar

3.2.1. Operaciones en forma exponencial/polar

3.2.2. Algunas aplicaciones

3.3 Raíces

4. Polinomios en C

4.1 Teorema Fundamental del Álgebra

4.2 Polinomios con coeficientes reales

Agradecimientos

A Tres derivaciones de la Fórmula de Euler

A.1 A partir de la derivada del arcotangente

A.2 A partir de la ecuación diferencial de la exponencial

A.3 A partir de las correspondientes series de Taylor

B Funciones de variable compleja

Referencias

1. Introducción histórica

La noción de “número” ha ido cambiando a lo largo de la historia: el desarrollo de los seres humanos y las necesidades de cada época y avance científico ha ido empujando la definición, ampliándola. Esto va introduciendo dificultades conceptuales (por ejemplo, en secundaria no suele ser intuitivo para estudiantes el hecho de que negativo por negativo es positivo) y técnicas (por ejemplo, la suma de fracciones con distinto denominador es mucho más complicada que la suma de enteros). Sin embargo, nos posibilita el uso de nuevas herramientas, conceptos, y describe muchos más fenémenos.

Vamos a realizar aquí un repaso rápido de la historia de los sistemas de números hasta la introducción de los números complejos, para tener algo de contexto de cómo van surgiendo [1, 2]. Este resumen será deliberadamente simplificado y occidental, puesto que la intención es principalmente ilustrativa:

◼ Civilizaciones antiguas (Mesopotamia, Egipto, China) originalmente utilizan marcas en objetos, u objetos en sí, para indicar cantidades. Los números simplemente se usan para contar.

◼ La necesidad de hacer cuentas de forma sistemática, para el comercio, hace surgir los primeros sistemas numèricos, por ejemplo el romano. El hindú (en base 10) es el que acaba persistiendo.

◼ El número “cero” se introduce gradualmente en Europa a través del mundo árabe (se suele atribuir a al- Khwarizmi su invención) durante los siglos IX, X, XI, siendo una revolución en las matemáticas: hasta el momento los números solo se usaban para contar, pero el cero no cuenta nada por definición.

◼ Aunque ya habían sido estudiados en China siglos antes, alrededor del siglo XVI, los números negativos se aceptan finalmente en Europa, principalmente para representar deudas.

◼ Entre tanto, ya desde la antigua Grecia se estudiaban las fracciones (y con ellas los números racionales), así como algunos números irracionales. Con todo esto y la introducción de los números negativos, los números reales quedan establecidos (aunque tècnicamente se formalizan más tarde).

◼ Entre los siglos XVI y XVII hay mucha confusión con las ecuaciones polinómicas, dado que aparecen con frecuencia soluciones con raíces negativas, que inicialmente se desestiman. Es Girolamo Cardano el primero en usarlos sistemáticamente, aunque sin estar muy convencido, y Rafael Bombelli el primero en tomarlos en serio.

◼ Entre los siglos XVIII y XIX finalmente los números complejos se establecen con propiedad, a través de trabajos pioneros de matemáticos como Leonard Euler, Caspar Wessel, Carl Friedrich Gauss y Jean-Robert Argand. Posteriormente otros matemáticos como Bernhard Riemann o Augustin-Louis Cauchy llevan los números complejos a su máximo esplendor, con trabajos fundacionales sobre funciones de variable compleja.

Los números complejos han resultado fundamentales en álgebra, trigonometría, ecuaciones diferenciales, análisis de se˜nales, y muchos otros campos. Por poner ejemplos concretos:

◼ Cualquier fenómeno periódico (ondas, vibraciones, rotaciones) esconde por detrás números complejos.

◼ Las señales (acústicas, eléctricas, etc) tienen una descripción “en espacio real” (en la que se describe la onda en el tiempo) y una “en espacio de frecuencias” (en la que se describen las frecuencias que componen la onda), y el paso de una a otra requiere la famosa transformada de Fourier, que es compleja.

◼ La formulación matemática de la física cuántica (que describe el mundo microscópico) es intrínsecamente compleja (sin ir más lejos, la ecuación más representativa, la ecuación de Schrödinger, tiene un factor i).

2. Definiciones básicas

Desde un punto de vista formal, un “número complejo” $z \in C$ es una dupla $z \equiv (a, b)$ con $a, b \in R$ , con la suma y multiplicación de dos numeros complejos $z_{1} = (a_{1}, b_{1}) y z_{2} = (a_{2}, b_{2})$ satisfaciendo las siguientes propiedades

◼ Suma: $(a_{1}, b_{1}) + (a_{2}, b_{2}) \equiv (a_{1} + a_{2}, b_{1} + b_{2})$ .

◼ Producto: $(a_{1}, b_{1}) \cdot (a_{2}, b_{2}) \equiv (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}, a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1})$ .

Si bien la suma de números complejos, tal y como está definida aquí, es una operación muy natural, la multiplicación parece algo más arbitraria. Más adelante (cuando discutamos las formas trigonométrica y polar) entenderemos geométricamente y en más detalle esta operación, pero podemos ir avanzando que está está relacionada con “giros”: concretamente, esta operación se asemeja bastante a dos ya conocidas, las fórmulas del seno y coseno del ángulo suma,

$\cos (θ_{1} + θ_{2}) = \cos θ_{1} \cos θ_{2} - \sin θ_{1} \sin θ_{2}, \sin (θ_{1} + θ_{2}) = \sin θ_{1} \cos θ_{2} + \cos θ_{1} \sin θ_{2} . (1)$

En cualquier caso, esto es algo que se entenderá mejor una vez hayamos introducido el plano complejo y la representación en este de los numeros complejos.

Está claro que, gracias a las propiedades de la suma y multiplicación de números reales, la suma y el producto de números complejos adquieren también las propiedades conmutativa (tanto en suma como en multiplicación), asociativa (tanto en suma como en multiplicación) y distributiva de la suma con respecto a la multiplicación.

La resta y división de números complejos se derivan de la suma y el producto, puesto que no son operaciones “separadas”. El caso de la resta es trivial: podemos combinar la suma y la multiplicación de la siguiente manera para construirla:

$(a_{1}, b_{1}) - (a_{2}, b_{2}) \equiv (a_{1}, b_{1}) + (- 1, 0) \cdot (a_{2}, b_{2}) = (a_{1}, b_{1}) + (- a_{2}, - b_{2}) = (a_{1} - a_{2}, b_{1} - b_{2}) . (2)$

El caso de la división requiere un poco más de trabajo, así que lo posponemos por ahora.

En general, manejar los números complejos como dichas duplas es poco conveniente: es mejor expresarlos de formas más cómodas de manipular. La forma más sencilla que se suele utilizar es la conocida como “forma binómica”:

$z = a + i b, i^{2} = - 1, (3)$

donde i se conoce usualmente como la “unidad imaginaria”¹.

Para un número complejo z = a + ib podemos definir su “parte real” Re(z) = a y su “parte imaginaria” Im(z) = b. Un número complejo cuya parte imaginaria es cero es un número real (por tanto, $R \subset C$ ), mientras que si su parte real es cero se denomina “número imaginario puro”.

En la forma binómica, la suma y la multiplicación adquieren inmediatamente las siguientes formas

$z_{1} + z_{2} = a_{1} + a_{2} + i (b_{1} + b_{2}), z_{1} z_{2} = a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2} + i (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) . (4)$

Notemos que i en sí es un número complejo en toda regla: podemos asociarlo a la dupla (0,1) (ejercicio propuesto: comprobarlo).

Ejemplo: Consideramos los siguientes números complejos: $z_{1} = 2 + i, z_{2} = 3 + 4 i$ .

◼ Su suma es $z_{1} + z_{2} = 5 + 5 i$ .

◼ Su producto es $z_{1} z_{2} = 2 + 11 i$ .

◼ Su resta $z_{1} - z_{2} = - 1 - 3 i = - (z_{2} - z_{1})$ .

2.1 Conjugación y divisiúón

Una operación esencial cuando utilizamos números complejos, que no es relevante si trabajamos con números reales es la conjugación. Se dice que el complejo conjugado $\bar{z} \in C de z = a + i b es \bar{z} = a - i b$ . Claramente, este cambio de signo deja indiferentes a los números reales: esta es la primera operación que vemos que es exclusiva de los números complejos.

La conjugación satisface las siguientes propiedades (que son fáciles de demostrar).

◼ Aplicar dos veces consecutivas la conjugación devuelve el número original, $\overset{―}{\bar{z}} = z$ .

◼ La conjugación conmuta con la suma, $\overset{―}{z_{1} + z_{2}} = \overset{―}{z_{1}} + \overset{―}{z_{2}}$ .

◼ La conjugación conmuta con la multiplicación, $\overset{―}{z_{1} z_{2}} = \overset{―}{z_{1}} \overset{―}{z_{2}}$ .

◼ El producto de un número complejo por su conjugado es siempre real, $z \bar{z} = a^{2} + b^{2} \in R$ . Esto tiene una interpretación geométrica fundamental, como veremos pronto.

Si bien podríamos haber definido anteriormente la división, la conjugación permite calcularla de forma sencilla. Para ello, notamos que en una división de números complejos (cuyo divisor es distinto de cero) siempre podemos multiplicar y dividir por el conjugado del divisor, de forma que, llegamos a

$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{z_{1} {\bar{z}}_{2}}{z_{2} {\bar{z}}_{2}} = \frac{z_{1} {\bar{z}}_{2}}{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}} \forall z_{1}, \forall z_{2} \neq 0 . (5)$

Puesto que el denominador resultante es un número real (por la última de las propiedades anteriormente presentadas), hemos transformado la división de números complejos (que a priori desconocemos cómo definir) en tres multiplicación de números complejos: $z_{1}, {\bar{z}}_{2} y {(a_{2}^{2} - b_{2}^{2})}^{- 1}$ , y esto sí que sabemos calcularlo.

Ejemplo (continuación): Consideramos los números complejos anteriores, $z_{1} = 2 + i, z_{2} = 3 + 4 i$ .

◼ Su división es

$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{z_{1} {\bar{z}}_{2}}{z_{2} {\bar{z}}_{2}} = \frac{10 - 5 i}{25} = \frac{1}{5} (2 - i) . (6)$

Es importante ver la conexión entre lo que acabamos de definir (la división de números complejos) y la inversa de un número complejo: si nos fijamos únicamente en el divisor, llegamos a la conclusión de que el inverso de un número complejo es

$z^{- 1} = \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a - i b}{a^{2} + b^{2}} . (7)$

Una consecuencia llamativa de esto es la siguiente identidad:

$i^{- 1} = \frac{1}{i} = - i . (8)$

La conjugación también permite calcular de una manera alternativa las partes real e imaginaria que definimos anteriormente, como (ejercicio propuesto: comprobarlo)

$Re (z) = \frac{z + \bar{z}}{2}, Im (z) = \frac{z - \bar{z}}{2 i} (9)$

Es pertinente aquí preguntarse por qué introducir estas nuevas definiciones de la parte real e imaginaria de un número complejo: al fin y al cabo, si z = a + ib, identificar ambas partes es automático. La respuesta es que en muchos contextos es posible que desconozcamos la descomposición binaria de un número complejo, pero aun así podríamos conocer su valor y el de su complejo conjugado. Esto será más evidente cuando veamos otras formas más allá de la binaria.

2.2 Plano complejo

Podemos representar cada número como un punto en un plano, donde el eje de abscisas representa Re(z) y el eje de ordenadas Im(z). Estos ejes se suelen denominar, por tanto, el eje real y el eje imaginario, respectivamente, y el plano se denomina plano complejo (o, en ocasiones, plano de Argand).

El plano complejo desbloquea un entendimiento geométrico no solo de los números complejos, sino también de sus operaciones [3]. En concreto, trabajando en la forma binaria podemos observar que la suma (y la resta) de números complejos sigue precisamente las mismas reglas que la suma (y resta) de vectores, es decir, componente a componente (ejercicio propuesto: comprobarlo)

Para esta operación, la forma binómica es idónea, por su analogía vectorial. Pero como veremos, las siguientes formas de describir números complejos son más convenientes a la hora de calcular e interpretar el producto de estos.

3. Formas trigonométrica y polar

3.1 Forma trigonométrica

Sea un número complejo $z \in C$ . Existen $r \geq 0$ y $θ \in [0, 2 π)$ tales que podemos expresarlo como

$z = r (\cos θ + i \sin θ) . (10)$

Esta es la llamada “forma trigonométrica”. Desde el punto de vista del plano complejo, estaríamos describiendo los números en coordenadas polares (radio, ángulo) en lugar de en cartesianas (horizontal, vertical). Cabe destacar, de todas maneras, que esto sigue siendo una forma binómica “escondida”: seguimos pudiendo identificar claramente la parte real y la imaginaria, es solo que ahora hay dos números reales distintos que pueden caracterizar a un mismo números complejo.

El cambio entre una descripción y otra nos la proporcionan nociones básicas de trigonometría:

${\begin{cases} a = r c o s (θ), \\ b = r s i n (θ), \end{cases} ⟺ {\begin{cases} r = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \\ θ = \arctan (\frac{b}{a}) \end{cases} . (11)$

Al igual que a, b tienen nombres propios en la forma binaria (partes real e imaginaria), las magnitudes r, θ se denominan el módulo |z| = r y el argumento principal Arg(z) ≡ θ del número complejo.

El módulo² de un número complejo tiene una expresión que nos debería ser familiar, por varios motivos. El primero de ellos, es que el interior de la raíz lo hemos visto antes: efectivamente, una forma de calcular el módulo sin pasar por las partes real e imaginaria es mediante $| z | = \sqrt{z \bar{z}}$ . El segundo motivo, es aun más importante: la expresión del módulo no es más que Teorema de Pitágoras, con el modulo en sí constituyendo la hipotenusa mientras que las partes real e imaginaria serían los catetos.

Respecto al ángulo que describe el número complejo en esta forma, hemos de tener cuidado con dos puntos que son algo sutiles.

◼ Realmente existen infinitos ángulos que describen a un mismo número complejo: a este conjunto de infinitos ángulos se le llama el argumento del número complejo, arg(z). Es únicamente el argumento principal el que se encuentra en el rango [0, 2π). Por tanto, si calculamos el argumento de un número complejo mediante, por ejemplo, una calculadora, y nos da un ángulo fuera del rango [0, 2π), tendremos que convertirlo al equivalente en ese rango³.

Ejemplo: El numero -3 se puede escribir como $- 3 = 3 (\cos π + i \sin π) = 3 (\cos 3 π + i \sin 3 π) = 3 (\cos 5 π + i \sin 5 π) = \dots$ Por tanto, tanto n como 3π y 5π son posibles argumentos arg(−3). Sin embargo, queremos que la descripción (en cualquiera de las formas) de un número complejo sea única, por tanto, y por convención, se toma el rango $θ \in [0, 2 π)$ , lo que implica que en este caso el argumento principal es $Arg (z) = π$ .

◼ La función arcotangente toma los mismos valores para ángulos de cuadrantes opuestos: por tanto, una vez calculado un ángulo esa función debemos asegurarnos de que el ángulo obtenido es el correcto, visualizando la posición del número complejo en el plano.

Ejemplo: Aunque tan(π/4) y tan(5π/4) dan el mismo valor, corresponden a números complejos distintos. Esto es algo que tenemos que tener en mente:

$Arg (1 + i) = \arctan (1) = \frac{π}{4}, sin embargo Arg (- 1 - i) = \arctan (1) = \frac{5 π}{4} . (12)$

3.1.1 Operaciones en forma trigonométrica

En general, la suma de números complejos en forma trigonométrica es más laboriosa que en forma binómica: suele ser conveniente para ello pasar primero a forma binómica y en esa forma realizar la suma. Sin embargo, los productos, divisiones y potencias adquieren fórmulas nuevas, que permiten calcular estas operaciones de forma más rápida.

◼ Producto: $z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} (\cos (θ_{1} + θ_{2}) + i \sin (θ_{1} + θ_{2}))$ .

◼ División: $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos (θ_{1} - θ_{2}) + i \sin (θ_{1} - θ_{2}))$ .

◼ Potencias (Teorema de De Moivre): $z^{n} = r^{n} (\cos (n θ) + i \sin (n θ))$ .

Es posible demostrar las dos primeras fórmulas a partir de identidades trigonométricas (ejercicio propuesto: comprobarlo). Aun así, su derivación y la del Teorema de De Moivre, es mucho más sencilla a partir de la siguiente forma que veremos.

No solo tenemos la ventaja computacional de estas operaciones, también nos proporcionan una forma de interpretar la multiplicación (similarmente, la división) de números complejos:

${\begin{cases} r_{1} r_{2} & escalado de uno con el módulo del otro. \\ θ_{1} + θ_{2} & rotación de uno con el argumento del otro. \end{cases} \Rightarrow z_{1} z_{2} = \underset{escalado}{\underset{⏟}{r_{1} r_{2}}} (\cos \underset{rotacion}{\underset{⏟}{(θ_{1} + θ_{2})}} + i \sin \underset{rotacion}{\underset{⏟}{(θ_{1} + θ_{2})}}) . (13)$

Por ejemplo, si multiplicamos un número por otro de módulo 1, lo que hacemos es rotar el primer número alrededor del origen de coordenadas un ángulo dado por el segundo, manteniendo la distancia al origen.

Antes de ilustrar estas operaciones gráficamente, es conveniente introducir la última de las formas de expresar números complejos que vamos a ver.

3.2 La forma polar

Existe una conexión muy profunda entre las funciones trigonométricas y las exponenciales, mediada por la famosa Fórmula de Euler (a veces conocida como “la ecuación más bonita de las Matemáticas”):

$e^{i θ} = \cos (θ) + i \sin (θ) . (14)$

Está fuera del nivel de este texto demostrar esta igualdad, hay cientos de recursos bibliográficos u online [4-6] que lo muestran. Para aquellos y aquellas a quienes le interese, en el Apéndice A se pueden encontrar tres derivaciones diferentes de esta identidad.

Aun así, lo que podemos hacer a este nivel es motivarla: hemos visto en la forma trigonométrica que la multiplicación de números complejos afecta al ángulo en una rotación, es decir, en una suma de ángulos. Nos hacemos entonces la siguiente pregunta:

¿Que función cumple que transforma una multiplicación en una suma, es decir, $f (θ) f (θ^{'}) = f (θ + θ^{'}) ?$

La respuesta es, la exponencial $e^{θ} e^{θ^{'}} = e^{θ + θ^{'}}$ . Esta propiedad es precisamente la que traduce la multiplicación de números complejos en una rotación.

En el siguiente ejemplo vemos cómo pasar de unas formas a otras.

Ejemplo. Sean $z_{1} = - 3 + 4 i y z_{2} = 4 e^{7 π / 6 i}$ . Pasar el primero a forma polar, el segundo a forma binómica.

◼ Para pasar de binómica a polar, primero identificamos el módulo y el argumento principal (en el cuadrante adecuado) del número:

$r_{1} = | z_{1} | = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5, θ_{1} = \arctan (\frac{4}{- 3}) \approx 2.214 rad . (15)$

Por tanto, $z_{1} = r_{1} e^{i θ_{1}} \approx 5 e^{2.214 i}$ .

◼ Para pasar de polar a binómica, acudimos a la Fórmula de Euler, que nos relaciona las tres formas automáticamente:

$z_{2} = 4 e^{7 π / 6 i} = 4 [\cos (7 π / 6) + i \sin (7 π / 6)] = 4 (\frac{- \sqrt{3}}{2} - i \frac{1}{2}) = - 2 \sqrt{3} - 2 i . (16)$

Cabe destacar que, en algunos contextos (especialmente en ingenierías) se denomina fasor a un número complejo escrito en la forma polar, pero significa esencialmente lo mismo. En [7] hay una buena y breve descripción de sumas de señales, entendidas como operaciones con fasores.

3.2.1 Operaciones en forma exponencial/polar

Por lo general es mucho más cómodo trabajar con exponenciales que con senos y cosenos, y las operaciones (obviando la suma, que de nuevo es más aconsejable en forma binómica) son análogas en esta forma a las de la forma trigonométrica:

◼ Multiplicación: $z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} + θ_{2})}$ .

◼ División: $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} e^{i (θ_{1} - θ_{2})}$ .

◼ Potencias: $z^{n} = r^{n} e^{i n θ}$ .

Ahora sí, pasamos a mostrar la interpretación geométrica de estas operaciones, algo que habíamos dejado de lado en la forma trigonométrica pero que es análogo aquí.

Ejemplo. Sea $z = 2 + 2 i, w = - \sqrt{3} + i$

En forma trigonométrica/polar, tenemos

$\begin{aligned} z = 2 \sqrt{2} (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2} e^{i π / 4}, \\ w = 2 (\cos \frac{5 π}{6} + i \sin \frac{5 π}{6}) = 2 e^{i 5 π / 6} . \end{aligned} (17)$

Su multiplicación y división es

$\begin{aligned} z \cdot w & = 4 \sqrt{2} e^{i \frac{13 π}{12}} \\ \frac{z}{w} & = \sqrt{2} e^{- i \frac{7 π}{12}} = \sqrt{2} e^{i \frac{17 π}{12}} \end{aligned} . (18)$

donde hemos pasado $- \frac{7 π}{12}$ al ángulo equivalente en el rango correcto.

3.2.2 Algunas aplicaciones

A continuación vamos a presentar varias ideas o cálculos que se “desbloquean” una vez hemos presentado las operaciones anteriores en forma exponencial/polar. Hay muchas más, aquí nos limitamos a un subconjunto de ellas.

Rotaciones. Hemos mencionado anteriormente la relación entre las rotaciones y la multiplicación por números complejos. Esto va mucho más allá de ser una mera curiosidad matemática o un hecho fortuito: es uno de los componentes fundamentales de la naturaleza, puesto que la mecánica cuántica está basada en este hecho. También es una idea fundamental el programación de videojuegos o robótica: generalmente uno necesita rotar objetos/perspectivas (en el caso de un videojuego, para cambiar el punto de vista del jugador, en el caso de la robótica para maquinaria que ha de rotar respecto a ejes⁴), y realizar esto con números complejos simplifica mucho los cálculos.

Aquí no vamos a poder entrar en detalle en esta conexión, pero sí que vamos a ilustrar el carácter geométrico de la multiplicación con un ejemplo sencillo, en el que veremos cómo la unidad imaginaria juega un rol muy específico.

Ejemplo (multiplicaciún por i). En forma polar, la unidad imaginaria se escribe como

$i = \cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2} = e^{i π / 2} . (19)$

Por lo tanto, multiplicar por i equivale a rotar 90^o en sentido antihorario en el plano complejo, sin cambiar el radio (puesto que |i| = 1). Esto es algo que no es sorprendente: tenemos $1 \cdot i = i, i^{2} = - 1, i^{3} = - i, i^{4} = 1$ , y eso visualmente equivale a

Un último aspecto interesante de las rotaciones es la conexión entre los números complejos y las matrices. En concreto, acabamos de ver que la multiplicación por números complejos representa rotaciones en 2D, pero eso mismo es lo que representan las llamadas matrices de rotación de dimensión 2, que son matrices de la forma

$R (θ) = (\begin{array}{cc} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{array}), (20)$

donde θ es el ángulo de rotación en sentido antihorario. Si $\vec{v}$ es un vector de dos componentes, ${\vec{v}}^{'} = R (θ) \cdot \vec{v}$ es el resultado de rotarlo ese ángulo (ejercicio propuesto: comprobarlo para el caso del ejercicio anterior).

Esta conexión, más allá de algo anecdótico, es parte de un área de las matemáticas llamada la “Teoría de Grupos”, que relaciona transformaciones y simetrías, y que es fundamental para entender aspectos avanzados de biología (interacciones moleculares), geología (estructuras cristalinas) o física (el “Modelo Estándar” de física de partículas).

Identidades trigonométricas. Podemos utilizar la forma polar de forma astuta para calcular algunas de las identidades trigonométricas que conocemos (ángulo suma, ángulo doble o triple, etc) a través de la Fórmula de Euler.

Ejemplo. Usando la Fórmula de Euler, vamos a obtener las fórmulas de ángulo doble.

$z = \cos (2 θ) + i \sin (2 θ) = e^{2 i θ} = {(e^{i θ})}^{2} = (\cos θ + i \sin θ)^{2} . (21)$

Expandiendo:

$z = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ + i (2 \cos θ \sin θ) . (22)$

Por lo tanto:

$Re (z) = \cos (2 θ) = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ, Im (z) = \sin (2 θ) = 2 \sin θ \cos θ . (23)$

Integrales trigonométricas (si no se han visto integrales todavía en otros cursos, esto puede ser ignorado). A la hora de calcular integrales, cualquier ayuda es bienvenida. Y precisamente hay muchas técnicas que permiten, usando ideas de números complejos, simplificar cálculos.

Ejemplo. Calcular la siguiente integral:

$I = \int e^{3 x} \cos (2 x) d x . (24)$

Esta integral sale fácilmente con integración por partes, sin embargo sale también de forma sencilla sin recurrir a eso, de la siguiente manera:

$\begin{aligned} I & = \int e^{3 x} Re (e^{2 i x}) d x = Re \int e^{(3 + 2 i) x} d x = Re (\frac{1}{3 + 2 i} e^{(3 + 2 i) x}) + C \\ = \frac{e^{3 x}}{13} Re ((3 - 2 i) e^{2 i x}) + C = \frac{e^{3 x}}{13} (2 \sin (2 x) + 3 \cos (2 x)) + C \end{aligned} . (25)$

Expresiones previamente imposibles de calcular. Merece la pena mencionar que esta “desbloquea” el cálculo de expresiones que anteriormente no tendríamos manera de obtener o siquiera plantear. Ya hemos visto ejemplos trigonométricos $\cos (i) = (e^{- 1} + e) / 2$ ), pero hay mucho más aparte de estos

Ejemplo. Omitiendo el hecho de que no hemos definido el logaritmo de números complejos, algo que brevemente discutimos en el Apéndice B, la expresión $\sqrt[i]{i}$ se puede calcular, obteniendo un número real como resultado, de la siguiente manera:

$\sqrt[i]{i} = i^{1 / i} = \exp (\log i^{1 / i}) = \exp (\frac{1}{i} \log e^{i π / 2}) = \exp (\frac{1}{i} i π / 2) = e^{π / 2} \in R . (26)$

Análisis de Fourier. Esta aplicación se va del nivel aquí esperado, pero el análisis y la transformada de Fourier son herramientas imprescindibles en análisis de señales (acústicas, eléctricas, etc) y ondas, y se fundamentan en los conceptos aquí discutidos. Cualquier espectrograma (por ejemplo, aquellos que se muestran como visualizaciones en aplicaciones de reproducción de archivos .mp3) se obtiene a través de estas técnicas.

3.3 Raíces

Habiendo definido las potencias de números complejos, es totalmente natural pensar en raíces. Recordemos que una raíz no es más que un exponente fraccionario,

$\sqrt[n]{z} = z^{1 / n} . (27)$

Parece razonable acudir a la forma polar, y utilizar las propiedades de los exponentes:

$\sqrt[n]{z} = {(r e^{i θ})}^{1 / n} = r^{1 / n} e^{i θ / n}, θ \in \arg (z) . (28)$

Aquí se acaba de presentar la mayor dificultad conceptual del cálculo de raíces de números complejos: para calcularlas es necesario considerar, no solo el argumento principal Arg(z), sino todos los infinitos argumentos arg(z).

Cuidado: aunque usamos el argumento principal $θ \in [0, 2 π)$ para describir únivocamente a un número complejo, realmente hay infinitos ángulos

$θ \sim θ + 2 π k, k \in Z, (29)$

que representan el mismo z. Estos a la hora de representar o tratar con el número no son relevantes (son “giros de más” respecto al origen), pero a la hora de hacer las raíces se convierten en soluciones nuevas.

En general, para raíces debemos considerar

$\frac{θ}{n} + \frac{2 π k}{n}, k = 0, 1, \dots, n - 1, (30)$

que son n ángulos distintos, cada uno correspondiente a una raíz. El resto de los infinitos ángulos que surgen de otros valores de k están fuera del rango $[0, 2 π)$ , siendo equivalentes a alguno de los calculados.

Por tanto las n raíces de z son

$\sqrt[n]{z} = {\sqrt[n]{r} e^{i \frac{θ}{n}}, \sqrt[n]{r} e^{i \frac{θ + 2 π}{n}}, \sqrt[n]{r} e^{i \frac{θ + 4 π}{n}}, \dots} . (31)$

Ejemplos.

◼ Desde la escuela sabemos que $(\pm 2)^{2} = 4$ . Vamos a comprobarlo:

$z = 4 = 4 e^{i 0} ⟹ \sqrt{z} = \sqrt{4} {e^{i 0 / 2}, e^{i 2 π / 2}, e^{i 4 π / 2}, \dots} = {2, - 2} . (32)$

◼ Si z es tal que Arg(z) = π, entonces

$Arg (\sqrt{z}) \in {\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}} . (33)$

◼ Calculamos y graficamos las raíces cúbicas de -27, una de las cuales, ( —3)³ = -27 la conocemos desde la escuela.

$z = - 27 = 27 e^{i π}, (34)$

$\begin{aligned} \sqrt[3]{z} & = \sqrt[3]{27} {e^{i π / 3}, e^{i (π / 3 + 2 π / 3)}, e^{i (π / 3 + 4 π / 3)}, \dots} \\ = {3 e^{i π / 3}, 3 e^{i π}, 3 e^{i 5 π / 3}} \end{aligned} (35)$

Hecho interesante (y útil): las raíces de cualquier número complejo se sitúan en un círculo de radio $\sqrt[n]{r}$ , formando un polígono regular de n lados. Esto está íntimamente ligado al rol de la multiplicación de números complejos vista como rotaciones.

Antes de pasar al siguiente punto, está bien hacer un breve comentario acerca de la conveniencia de cada forma: binómica, trigonométrica, y polar. En general, si tenemos práctica podemos saber de primeras qué forma es más conveniente para resolver un problema. Si no lo tenemos claro, en general la forma binómica es conveniente para sumas y restas, y la forma polar es conveniente para cualquier otra operación. La forma trigonométrica es útil principalmente como conexión entre la binómica y la polar, pero no es especialmente interesante para operar con ella.

4. Polinomios en ℂ

4.1 Teorema Fundamental del Álgebra

Históricamente, y tal y como hemos resumido en la Introducción, el interés por los números complejos surgió de intentar obtener soluciones de ecuaciones polinómicas. Si bien con el tiempo se ha visto que los números complejos son fundamentales en cantidad de aplicaciones más allá de eso, sigue siendo un resultado de gran importancia la completitud de las ecuaciones algebraicas sobre el cuerpo de los numeros complejos.

Teorema 1 (Teorema Fundamental del Álgebra). Sea un polinomio

$p (z) = a_{0} + a_{1} z + \dots + a_{n} z^{n}, a_{i} \in C . (36)$

Este polinomio tiene exactamente n raíces (contando multiplicidades).

La demostración de este teorema no es para nada trivial, requiriendo de conocimiento bastante más avanzado de otras áreas de matemáticas (por ejemplo, análisis de variable compleja o topología).

Este teorema está íntimamente ligado al siguiente, también esencial, y cuya veracidad es en este caso evidente.

Teorema 2 (Teorema de la factorización). Sea un polinomio

$p (z) = a_{0} + a_{1} z + \dots + a_{n} z^{n}, a_{i} \in C . (37)$

Este polinomio se puede factorizar como

$p (z) = a_{n} {(z - z_{1})}^{m_{1}} {(z - z_{2})}^{m_{2}} \dots {(z - z_{k})}^{m_{k}}, (38)$

donde m_i es la multiplicidad de la raíz z_i, y

$n = \sum_{i = 1}^{k} m_{i} = m_{1} + m_{2} + \dots + m_{k} . (39)$

Ejemplo. Consideramos $p (z) = z^{3} - 2 z^{2} + z$ . Tenemos que este polinomio tiene tres raíces (contando multiplicidades) en ℂ: z = 0 raíz simple (multiplicidad 1), y z = 1 raíz doble (multiplicidad 2). Se puede escribir, por tanto, como $p (z) = z (z - 1)^{2}$ .

Este teorema no es cierto si trabajamos en ℝ: En los reales hay polinomios que tienen menos raíces (contando multiplicidades) que su grado. Es por esto que los complejos permiten resolver cualquier ecuación polinómica, obteniendo su máximo de soluciones.

4.2 Polinomios con coeficientes reales

Dentro de los muchos resultados que existen relacionados con el Teorema Fundamental del Álgebra, existen varios resultados que son de interés y que son fáciles de demostrar y sencillos de visualizar, reuniendo además ideas formuladas a lo largo de este tema. En particular, vamos a mostrar dos que conciernen a polinomios con coeficientes reales (que por tanto son muy comunes en aplicaciones).

El primero de estos teoremas muestra que las raíces de estos polinomios vienen “en parejas”.

Teorema 3 (Teorema de los pares conjugados). Sea p(z) un polinomio con coeficientes reales. Si z_i es una raíz de dicho polinomio, entonces $\overset{―}{z_{i}}$ también lo es.

La demostración de este teorema reside en, simplemente, notar que el conjugado del polinomio es el polinomio en sí, por tener coeficientes reales. Por tanto $p ({\bar{z}}_{i}) = \bar{p} ({\bar{z}}_{i}) = 0$ .

Ejemplo. Consideramos $p (z) = z^{3} + 3 z^{2} + z - 5$ . Tenemos que este polinomio tiene tres raíces (contando multiplicidades) en $C : z = 1, - 2 + i, - 2 - i$ todas raíces simples (multiplicidad 1).

Como podemos ver en el anterior ejemplo, dos de esas raíces son conjugadas la una de la otra $(z = - 2 \pm i)$ . La otra raíz (z = 1) no viola el teorema, puesto que es conjugada de sí misma, por ser real.

Teorema 4 (Teorema de la factorización real). Sea p(z) un polinomio con coeficientes reales. Entonces el polinomio puede factorizarse como un producto de factores lineales asociados a las raíces reales y un factor cuadrático que contiene las raíces complejas.

La demostración de este no es mías que aplicar el teorema anterior (de los pares conjugados) al teorema de la factorización, y agrupar todos los términos con raíces complejas, multiplicando los pares conjugados como

$(z - z_{i}) (z - {\bar{z}}_{i}) = (z - Re (z_{i}) - i Im (z_{i})) (z - Re (z_{i}) + i Im (z_{i})) = [{(z - Re (z_{i}))}^{2} + Im {(z_{i})}^{2}] . (40)$

Con lo que, simplificando, obtenemos el factor cuadrático correspondiente a las raíces $z_{i}, {\bar{z}}_{i}$ .

Ejemplo. Consideramos de nuevo el polinomio del ejemplo anterior, que por el teorema de la factorizacion podemos escribir como $p (z) = z^{3} + 3 z^{2} + z - 5 = (z - 1) (z + 2 - i) (z + 2 + i)$ . Si multiplicamos los dos factores lineales complejos obtenemos un factor cuadrático, por tanto el polinomio queda como $p (z) = (z - 1) (z^{2} + 4 z + 5)$ .

Este resultado es de especial interés para, por ejemplo, integración de funciones racionales: el procedimiento usual requiere factorizar el denominador y separar en fracciones simples, donde las raíces reales se podrán integrar como logaritmos y funciones racionales, mientras que las raíces complejas se mantienen como factores cuadráticos que se podrán integrar como arcotangentes.

Agradecimientos

Se agradece a Misael E. Marriaga la lectura preliminar de este texto.

1. Tres derivaciones de la Fórmula de Euler

En la Sección 3.2 hemos postulado la forma exponencial mediante la Fórmula de Euler. Si bien hemos motivado la razón de ser de esa fórmula, es interesante entender más concretamente de dónde viene, y por qué es efectivamente cierta [4], aunque eso se va ligeramente del nivel y contenido de este curso.

A continuación, presentamos tres derivaciones distintas de dicha Fórmula, que hacen uso de diferentes ideas y/o técnicas matemáticas (integrales, ecuaciones diferenciales o series de Taylor), que son entendibles para cualquiera que haya cursado asignaturas de cálculo/análisis de primero de cualquier grado de ciencias.

A.1 A partir de la derivada del arcotangente

La derivación parte de la integral cuya primitiva es la función arcotangente, es decir,

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \arctan (x) . (41)$

Para obtener una expresión compleja equivalente, se factoriza el denominador en ℂ:

$1 + x^{2} = (1 - i x) (1 + i x), (42)$

y (omitiendo los pasos rutinarios de fracciones parciales) se llega a

$\arctan (x) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{1 - i x} + \frac{1}{1 + i x}) d x = \frac{1}{2 i} \ln (\frac{1 + i x}{1 - i x}) . (43)$

Sustituyendo ahora x = tan θ = sin θ/ cos θ, tenemos

$θ = \frac{1}{2 i} \ln (\frac{1 + i \tan θ}{1 - i \tan θ}) = \frac{1}{2 i} \ln (\frac{\cos θ + i \sin θ}{\cos θ - i \sin θ}) . (44)$

Como el denominador es el conjugado del numerador, multiplicando y dividiendo por el numerador y aplicando propiedades básicas de los logaritmos obtenemos

$θ = \frac{1}{i} \ln (\cos θ + i \sin θ) . (45)$

Multiplicando por i y exponenciando obtenemos finalmente la Fórmula de Euler,

$i θ = \ln (\cos θ + i \sin θ) ⟹ e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ . (46)$

Cabe mencionar que aquí hemos tomado a la ligera el hecho de que los logaritmos presentes en la demostración tienen argumentos complejos. La discusión de las funciones complejas se va del nivel de este curso, por tanto aquí basta decir que los logaritmos se pueden generalizar así, al igual que la exponencial o las funciones trigonométricas.

A.2 A partir de la ecuación diferencial de la exponencial

Consideremos la función $f (x) = \cos (x) + i \sin (x)$ . Queremos mostrar, usando derivadas e integración, que coincide con e^ix. Primero derivamos, y factorizamos i para llegar a la siguiente expresión,

$f^{'} (x) = \frac{d}{d x} (\cos x + i \sin x) = - \sin x + i \cos x = i f (x) ⟹ \frac{f^{'} (x)}{f (x)} = i . (47)$

Integramos ambos lados, notando que la izquierda da un logaritmo y la derecha una función lineal,

$\int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x = \int i d x ⟹ \ln | f (x) | = i x + C . (48)$

Para determinar C, evaluamos en x = 0, y comparamos con lo que sabemos que debe dar f(x) según la definición inicial:

$\ln (f (0)) = C . (49)$

Como f(0) = 1, se tiene ln(1) = 0, luego C = 0.

Sustituyendo, llegamos a

$\ln (f (x)) = i x ⟹ f (x) = e^{i x} . (50)$

Con lo que queda claro que $f (x) = \cos (x) + i \sin (x) = e^{i x}$ .

A.3 A partir de las correspondientes series de Taylor

La demostración vía series de Taylor es quizá la más directa y elegante. Recordemos las series de Maclaurin (series de Taylor centradas en x = 0) de e^x, cos x y sin x,

$e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}, \cos x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n}}{(2 n)!}, \sin x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} . (51)$

Sustituimos x por ix en la serie de e^x, y usamos las propiedades cíclicas de las potencias de i (i, −1, −i, 1). La expansión queda

$e^{i x} = 1 + i x - \frac{x^{2}}{2!} - i \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + i \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{6}}{6!} - i \frac{x^{7}}{7!} + \dots . (52)$

Separamos parte real y parte imaginaria:

$e^{i x} = (1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \dots) + i (x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \dots) . (53)$

Reconocemos inmediatamente que ambas partes se corresponden con la serie del seno y la del coseno, y por tanto:

$e^{i x} = \cos (x) + i \sin (x) (54)$

2. Funciones de variable compleja

En matemáticas, es común abstraer las operaciones a objetos más generales: las funciones. Por ejemplo, la operación elevar al cuadrado la podemos abstraer como la función $f (z) = z^{2}$ . Esta abstracción abre la puerta a todo tipo de maquinaria avanzada (cálculo diferencial, cálculo integral, etc), que en el caso de las funciones con argumento complejo establece un área fundamental de las matemáticas llamada el análisis de variable compleja [8], de forma similar al análisis de variable real que se estudia en un primer curso de universidad (pero con una gran cantidad de peculiaridades que provee la estructura de los números complejos) [9].

Aquí no nos vamos a adentrar en el mundo del análisis de variable compleja, puesto que no tenemos las herramientas necesarias. Pero merece la pena mencionar algunas funciones que son muy relevantes, con argumentos complejos. Algunas de estas ya las hemos introducido de pasada:

◼ Los polinomios se calculan aplicando de manera usual las reglas de suma y multiplicación de números complejos, $f (z) = a_{0} + a_{1} z + \dots + a_{n} z^{n}$ .

◼ La exponencial de un número complejo se calcula como $f (z) = e^{z} = e^{a + b i} = e^{a} e^{b i}$ .

◼ Las funciones “parte real” y “parte imaginaria” son funciones válidas y novedosas cuando trabajamos con complejos, $f (z) = Re (z), f (z) = Im (z)$ .

Podemos definir otras funciones que ya conocemos del análisis real, manipulando expresiones que hemos ido introduciendo a lo largo de este texto:

◼ A través de la Fórmula de Euler podemos escribir el seno y el coseno como combinaciones de exponenciales, es decir,

${\begin{cases} e^{i z} = \cos z + i \sin z \\ e^{- i z} = \cos z - i \sin z \end{cases} ⟺ \cos z = \frac{e^{i z} + e^{- i z}}{2}, \sin z = \frac{e^{i z} - e^{- i z}}{2 i} . (55)$

◼ El “valor principal” del logaritmo complejo $Ln (z) con z \neq 0$ se define como la inversa de la exponencial,

$z = e^{w} ⟺ Ln (z) = w . (56)$

Operacionalmente, tenemos

$f (z) = Ln (z) = Ln (r e^{i θ}) = \underset{\in R}{\underset{⏟}{Ln (r)}} + Ln (e^{i θ}) = \ln (r) + i θ, θ \in [0, 2 π) . (57)$

Esta definición se basa en el argumento principal Arg(z) del número complejo: de ahí que se denomine valor principal del logaritmo complejo. Si consideramos el argumento arg(z), en su lugar tenemos el logaritmo complejo ln(z), pero esto no es una función, como comentamos a continuación.

Respecto a las raíces, estas no constituyen funciones “estándar”: una de las propiedades de las funciones es que han de ser univaluadas, es decir, que para cada argumento (elemento del dominio) han de devolver un único valor (imagen). Las raíces $\sqrt[n]{z}$ , al igual que el argumento arg(z) y el logaritmo ln(z) son en su lugar funciones “multivaluadas”, que es una generalización de las funciones que permite devolver más de un valor, a cambio de requerir una mayor sutileza y cuidado a la hora de calcular con ellas.

Referencias

¹ G. Ifrah, The Universal History of Numbers, Comprehensivo global history of counting, numerals, zero, negative numbers, fractions, and early algebraic ideas. (John Wiley & Sons, New York, 2000).

² T. Dantzig, Number: The Language of Science, Conceptual history of number, from counting and integers to irrationals and imaginary numbers. (Free Press, New York, 1954).

³ T. Andreescu y D. Andrica, Complex Numbers from A to ... Z (Birkhauser, Basel, 2006).

⁴ K. Thibault, The Complete Guide to Euler’s Formula, Math Vault, Disponible en https://mathvault.ca/wp-content/uploads/Euler-Formula-Complete-Guide.pdf, 2020.

⁵ 3Blue1Brown, Euler’s formula with introductory group theory, Youtube, (2017) https://youtu.be/mvmuCPvRoWQ?si=WRr8PJFq-CPVROE5.

⁶ 3BluelBrown, eⁱⁿ in 3.14 minutes, using dynamics, Youtube, (2019) https://youtu.be/v0YEaeIClKY?si=aINPmGbm8C-yM2SX.

⁷ S. Angenent, An Introduction to Complex Numbers and the Complex Exponential Function, Online PDF, Disponible en https://people.math.wisc.edu/~angenent/376.2005/complexnumbers.pdf, 2005.

⁸ M. Beck, G. Marchesi, D. Pixton y L. Sabalka, A First Course in Complex Analysis (Binghamton Univ. Press, 2025).

⁹ M. Spivak, Calculus, eng, 3rd ed. (Cambridge University Press, Cambridge, 1994).

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¹ Es por esto que en ocasiones se refiere a los números complejos como imaginarios. Sin embargo, el uso de este sobrenombre (con raíces históricas) es bastante nefasto, puesto que da a entender erróneamente el carácter verdadero de estos números y empaña su multitud de aplicaciones.

² Mucho cuidado: la notación del modulo de un número complejo |z|, z G C es idéntica a la de valor absoluto |x|, x ∈ ℝ Eso no es casualidad: para los números complejos sin parte imaginaria, el módulo es precisamente el valor absoluto. Pero para números complejos con parte imaginaria no tiene sentido hablar de valor absoluto.

³ La elección de este rango en concreto es por convención, siendo esta es una de las dos convenciones más utilizadas. La otra (equivalente a esta), es considerar Arg(z) z ∈ (−π, π].

⁴ Técnícamente esto son rotaciones en 3D, que requieren de unos numeros más allá de complejos, llamados los “cuaterniones” (que se van del nivel de este curso), pero la idea es fundamentalmente la misma.