Métodos básicos de demostración y el principio de inducción matemática

Miguel Romance del Río^1,2*

¹Departmento de Matemática Aplicada, Ciencia e Ingeniería de Materiales y Tecnología Electrónica, Universidad Rey Juan Carlos, 28933 Móstoles (Madrid), España

²Laboratorio de Computación Matemática en Redes Complejas y sus Aplicaciones, Universidad Rey Juan Carlos, 28933 Móstoles (Madrid), España

^*Autor de correspondencia: miguel.romance@urjc.es

Resumen
Se presentan las técnicas básicas de demostración matemática empleadas en la práctica. Se presta especial atención al método de demostración basada en el Principio de inducción matemática, dando el método de inducción y el método de inducción completa. Se completa la presentación con varios ejemplos y una lista de ejercicios sobre cómo usar el Principio de inducción.

Palabras clave
principio de inducción matemática, técnicas de demostración matemática, método deductivo

Introducción

Una de las principales características de las Matemáticas es el rigor y la solidez de sus afirmaciones. En el lenguaje común la matemática es sinónimo de exactitud y absoluta precisión, de forma que los teoremas matemáticos son verdades absolutas y eternas cuya validez esta fuera de la menor duda. Esta universalidad inquebrantable se debe al hecho de que el protocolo de trabajo de las matemáticas exige que cada afirmación que se haga debe ser rigurosamente demostrada, de forma que se verifique la validez de cada resultado, de forma que la tarea fundamental de los matemáticos consiste en encontrar la demostración irrefutable de cada uno de los teoremas que se planteen.

Desde el milenario Teorema de Pitágoras hasta el último resultado publicado hoy mismo en cualquier revista de investigación matemática, cada uno de los muchos teoremas existentes han sido demostrados con detalle y rigor por generaciones de matemáticos empleando una amplia lista de técnicas deductivas combinadas de forma creativa y sutil. En este trabajo presentaremos el método de trabajo empleado en Matemáticas que la convierte en una ciencia única entre todos los campos del conocimiento humano y revisaremos las principales técnicas de demostración empleadas en los últimos 2500 años. Los objetivos didácticos de este artículo son los siguientes:

◾ Conocer cómo se construyen las matemáticas, entendiendo las diferencias entre el método inductivo y el método deductivo.

◾ Conocer algunas técnicas básicas de demostración en matemáticas.

◾ Saber realizar demostraciones empleando el principio de inducción matemática.

Para llevar a cabo estos objetivos, el presente trabajo se compone de seis secciones diferentes. En la primera parte se presentará el método deductivo como modelo de trabajo en las ciencias matemáticas, frente al método inductivo empleado por las ciencias experimentales. Después, en la Sección 2 se repasarán las principales técnicas básicas de demostración conocidas desde la Grecia clásica, mientras que en la Sección 3 se desarrollará en profundidad el potente método de inducción matemática que permite demostrar de forma sistemática multitud de resultados relacionados con conjuntos numerables. A continuación, la Sección 4 recorre el origen histórico de las diferentes técnicas de demostración así como de la necesidad misma de las demostraciones en el universo matemático, mientras que en la Sección 5 se recomiendan algunas lecturas adicionales para completar los contenidos desarrollados en este artículo. Finalmente, la Sección 6 recopila una amplia lista de ejercicios que pueden resolverse empleando el método de inducción matemática visto en la Sección 3 y posteriormente se presentan las referencias empleadas a lo largo del artículo.

La revisión de las técnicas básicas de demostración, incluyendo el método inducción matemática, resulta muy conveniente en las primeras fases de educación superior matemática, pues este tipo de técnicas de trabajo se emplean asiduamente en todas las disciplinas matemáticas. Es por tanto muy habitual encontrar este tipo de contenidos en los primeros capítulos de textos introductorios sobre Lógica o Matemática Discreta como [1] ó [2] o bien en libros de formación matemática generalista como por ejemplo [3].

1. El método deductivo vs. el método inductivo

La primera vez que abrimos un libro de matemáticas resulta bastante complicado leerlo con soltura. Recomendamos al lector que le eche una ojeada a cualquiera de las referencias de la bibliografía y verá que no tiene la estructura normal de otros libros: usa una notación y lenguaje extraños, esta estructurado de forma diferente a lo habitual (se habla de teoremas, definiciones, demostraciones, notaciones,...) y se debe a la peculiar forma en que se desarrollan las matemáticas. Esto nos lleva a preguntarnos ¿cómo se construyen las matemáticas? o más en general ¿cómo «se hace» la ciencia? En general el científico busca resultados que expliquen los fenómenos que ve en la realidad y trata de entender cómo se producen. Para ello hay dos formas de trabajo, dependiendo de la ciencia en la que estemos trabajando:

1. En las ciencias experimentales (como la física o la química) se suelen realizar (muchos) experimentos prácticos y a partir de los resultados particulares obtenidos para cada experimento se tratan de extraer resultados generales que pronostiquen el resultado de futuros experimentos. Esta técnica de trabajo constituye el método inductivo, en el que se obtienen resultados generales a partir de observaciones particulares.

2. En matemáticas también se trata de obtener resultados generales, pero para ello, en lugar de realizar «experimentos numéricos», se fijan primero unas reglas del juego (que se denominan axiomas), se definen unos objetos de trabajo (mediante definiciones precisas) y, mediante las reglas de la lógica, se combinan los diferentes axiomas para producir nuevos resultados (que se llaman teoremas). Éste es el llamado método deductivo, en el que a partir de resultados generales (los axiomas), se deducen resultados más concretos (los teoremas). Analicemos con detalle cada uno de los elementos básicos que conforman el método deductivo:

◾ Un axioma es una afirmación básica que se fijó y que no se cuestiona su veracidad. Un ejemplo de axioma matemático es la afirmación «si tenemos una recta r en el plano y un punto P que no pertenece a r, entonces solo hay una recta paralela a r que pase por el punto P». Básicamente los axiomas son las reglas del juego matemático a partir de las cuales se deducen todas las demás afirmaciones.

◾ Una definición es una exposición rigurosa de un concepto y sus propiedades características, es decir, no es más que dar forma a un objeto de trabajo presentando las propiedades básicas que lo diferencian de los demás. Por ejemplo, la definición de un número par sería «un número entero que es divisible por 2 (es decir, que al dividirlo por 2 nos da resto cero)».

◾ Un teorema es un resultado (importante) que se deduce (empleando los principios de la lógica) de los axiomas. Todo teorema tiene la siguiente forma:

Teorema: Hipótesis ⇒ Tesis

A continuación del teorema debe aparecer su demostración, que no es mas que la forma de probar que, si se cumple la hipótesis, deducimos que obligatoriamente se cumple la tesis (usando los axiomas, otros teoremas ya demostrados y las reglas de la lógica). Un ejemplo clásico de teorema bien conocido por todos es el siguiente:

Teorema de Pitágoras: Si tenemos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden a y b y la hipotenusa mide c, entonces a² + b² = c².

En este caso la hipótesis es «Si tenemos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden a y b y la hipotenusa mide c» y la tesis es «a² + b² = c²». Para completar el teorema deberíamos dar una demostración de cómo si se cumple la hipótesis, entonces la tesis es cierta, pero esta se puede encontrar en cualquier libro de geometría elemental. Es muy importante resaltar que un teorema sin demostración no es un teorema sino una conjetura, que, en principio no tiene validez y no puede ser empleado para deducir nuevos teoremas. Existen muchos ejemplos de conjeturas famosas, como por ejemplo:

Conjetura de Goldbach (1742): Si n es un número entero par n > 2, entonces n se puede poner como suma de dos números primos (recordemos que un número es primo si solo es divisible por 1 y por si mismo).

A pesar de que esta conjetura fue enunciada en 1742, todavía no se sabe su demostración (y por tanto no se sabe si es cierto o no). Puede parecer que este es un resultado inocente, pero una editorial inglesa ofrecía un premio de 1 millón de dólares para la persona que diera una demostración del mismo antes del año 2000, lo que demuestra que encontrar algunas demostraciones no es nada sencillo (en la dirección http://www.claymath.org/ hay una lista de varias conjeturas cuya demostración concede un premio de un millón de dólares cada una de ellas y que, a día de hoy, todavía no se conocen).

La tarea básica de las matemáticas es demostrar teoremas, ya que estos son los que nos dan nueva información sobre las matemáticas, permitiendo pronosticar el comportamiento futuro. Cada ejercicio de cualquier libro de matemáticas ó cada ejemplo que se ve en cualquier clase de una asignatura de matemáticas son una especie de pequeño teorema que no tiene ninguna validez hasta que sea probada su veracidad o falsedad, por lo que el autentico corazón de las matemáticas consiste en saber realizar demostraciones, pero ¿cómo se hace una demostración? en la siguiente secciones veremos algunas técnicas básicas para llevarlas a cabo. Es muy destacable mencionar que no existe un método universal con el que demostrar todos los teoremas que se planteen, de forma que realizar demostraciones es una tarea creativa, comparable a la actividad artística que realiza un pintor, un escultor o un compositor musical.

2. Técnicas básicas de demostración

Existen multitud de técnicas para demostrar un resultado. Recordemos que si tenemos un teorema del tipo A ⇒ B, dar una demostración es comprobar que si la hipótesis (A) se cumple, a partir de los axiomas básicos y de otros teoremas ya demostrados, entonces siempre se cumple la tesis (B). Entre todas las técnicas de demostración veremos algunas de las más usuales, dando un ejemplo de cada una.

2.1 Demostración directa

También conocido como «ataque directo», consiste en probar la tesis directamente a partir de la hipótesis. Este es el método más habitual de demostración en matemáticas y las demás técnicas se basan al final en variante del ataque directo. Veamos un ejemplo muy sencillo de un teorema que puede demostrarse con este tipo de técnica:

Teorema 2.1 Si n es un número entero n ≥ 1, entonces n² + n es par.

Demostración:

En este caso la hipótesis es «n es un número entero n ≥ 1» y la tesis es «n² + n es par», por lo que, debemos probar que siempre que tengamos un numero n ≥ 1 entero, n² + n es par. Pueden darse dos casos:

1. Si n es par, entonces n = 2m para algún otro numero entero m, por tanto

n² + n = (2m)² + (2m) = 4m² + 2m = 2(2m² + m),

por lo que n² + n es un múltiplo de 2, es decir un número par.

2. Si n es impar, en este caso n se puede expresar como n = 2m + 1 para algún otro numero entero m, por tanto

$\begin{aligned} n^{2} + n & = (2 m + 1)^{2} + (2 m + 1) = (4 m^{2} + 4 m + 1) + (2 m + 1) \\ = 4 m^{2} + 6 m + 2 = 2 (2 m^{2} + 3 m + 1), \end{aligned}$

por lo que n² + n es un múltiplo de 2, es decir un número par.

Resumiendo, para cualquier número entero n ≥ 1, tanto si es par como impar n² + n es un número par, por lo que queda demostrada la tesis a partir de la hipótesis.

2.2 Demostración por contraposición o contrarrecíproco

Si queremos demostrar el teorema A ⇒ B, en lugar de usar el ataque directo, esta técnica propone demostrar (habitualmente por demostración directa) el teorema (no B) ⇒ (no A), es decir para probar el teorema original, basta probar que lo contrario de la tesis implica lo contrario de la hipótesis. En esta técnica es especialmente importante saber realizar la negación lógica de una afirmación cosa que no es fácil en algunos casos. Veamos un ejemplo de cómo usar esta técnica en la demostración del siguiente teorema elemental:

Teorema 2.2 Si n es un número entero de forma que n²es impar, entonces n es impar.

Demostración:

En este caso la hipótesis es «n es un número entero con n²impar» y la tesis es «n es impar», si empleamos el método de demostración por contrarrecíproco, basta comprobar que «n par» (lo contrario de la tesis) implica que por lo que «n²es par» (lo contrario de la hipótesis), es decir, la nueva hipótesis es «n par» y la nueva tesis a demostrar es «n²es par».

Si tenemos un número entero n que es par (la nueva hipótesis), entonces n = 2m para algún otro numero entero m, por tanto

n² = (2m)² = 4m² = 2(2m²),

es decir n² es un número par, por lo que hemos probado la nueva tesis y, empleando el método de demostración por contrarrecíproco, hemos probado el teorema original.

□

2.3 Demostración por reducción al absurdo

Este es un método de demostración que recuerda bastante a la demostración por contraposición, si bien la filosofía es diferente, pues en lugar de probar un nuevo teorema, lo se se prueba que algo es imposible. Este método lo que nos dice que es que para demostrar que el teorema A ⇒ B es cierto basta con que supongamos que es imposible que simultáneamente se cumpla la hipótesis (A) y lo contrario de la tesis (no B). Dicho de otra forma, si suponemos que se cumple a la vez A y no B, entonces haciendo deducciones llegamos a algo que e s imposible (lo que en lógica se denomina un absurdo). Veamos mejor cómo se puede usar esta técnica en la demostración del siguiente teorema elemental:

Teorema 2.3 Si n es un número entero de forma que n²es par, entonces n es par.

Demostración:

En este caso la hipótesis (A) es «n es un número entero con n²par» y la tesis (B) es «n es par». Este teorema puede demostrarse tanto por el método de contraposición como por reducción al absurdo. Para demostrar el resultado por reducción al absurdo, basta comprobar que si se cumple que «n²par» (la hipótesis, es decir A) y que «n es impar» (lo contrario de la tesis), entonces llegamos a algo imposible.

Como n que es impar (porque se cumple lo contrario de la tesis), entonces n = 2m + 1 para algún otro numero entero m, por tanto

n² = (2m + 1)² = 4m² + 4m + 1 = 2(2m² + 2m) + 1,

es decir n² es un número impar, pero por otro lado, como se cumple la hipótesis n² es par, es decir estamos afirmando que n² es a la vez un número par e impar... #IMPOSIBLE#... Por tanto hemos probado el resultado por reducción al absurdo.

□

Otro ejemplo de esta técnica lo encontramos en la demostración clásica de la irracionalidad del número $\sqrt{2}$ (recordemos que un número x es irracional y si no se puede expresar como una fracción es decir si x ≠ p/q para cualquier p, q números enteros. La demostración que presentamos a continuación ya era conocida por la Academia Pitagórica en el siglo VI antes de Cristo, lo que muestra la demostración por reducción al absurdo es una técnica bastante antigua, tal y como veremos en la Sección 4.

Teorema 2.4 El número $\sqrt{2}$ es un número irracional.

Demostración:

En este caso la hipótesis (A) es bastante simple y sería algo así como « $\sqrt{2}$ es un número» y la tesis (B) es « $\sqrt{2}$ es irracional». Para demostrar el resultado por reducción al absurdo, basta comprobar que si se cumple que « $\sqrt{2}$ es un número» (la hipótesis, es decir A) y que « $\sqrt{2}$ es un número racional» (lo contrario de la tesis), entonces llegamos a algo imposible.

Como hemos supuesto que $\sqrt{2}$ es un número racional (es decir, es una fracción), entonces podemos encontrar números enteros p, q tales que $\sqrt{2} = p / q$ y además la fracción p/q es irreducible (es decir, la fracción p/q no se puede simplificar). Como $\sqrt{2} = p / q$ , elevando al cuadrado obtenemos que

$\sqrt{2} = \frac{p}{q} \Rightarrow 2 = \frac{p^{2}}{q^{2}} \Rightarrow p^{2} = 2 q^{2},$

por tanto p² es un número par. Si aplicamos el teorema 3 (demostrado antes) a n^p, obtenemos que, al ser p² par, entonces p también es par, es decir p = 2m, por tanto

$2 q^{2} = p^{2} = (2 m)^{2} = 4 m^{2} \Rightarrow q^{2} = 2 m^{2},$

es decir q² es un número par, por lo que usando de nuevo el teorema 3 ahora con n = q, deducimos que también q es par, luego q = 2l. En resumen,

$\sqrt{2} = \frac{p}{q} = \frac{2 m}{2 l},$

es decir, la fracción p/q se puede simplificar (ya que tanto el numerador como el denominador son múltiplos de 2), lo que quiere decir que pq es una fracción reducible... #IMPOSIBLE#... ya que al principio de la demostración habíamos dicho que era irreducible. Por tanto hemos probado por reducción al absurdo que $\sqrt{2}$ es un número irreducible.

□

Para terminar esta sección, incluimos un tercer ejemplo (histórico), en el que se prueba por reducción al absurdo que existen infinitos números primos 8es decir números naturales mayores que uno que solo son divisibles por 1 y por sí mismo), siguiendo la demostración realizada por Euclides (véase la Proposición 20 del Libro IX de los Elementos escrito por Euclides entorno al año 300 a.C.):

Teorema 2.5 Existen infinitos números primos.

Demostración:

En este caso la hipótesis (A) es también bastante simple y es «si P es el conjunto de todos los números primos» y la tesis (B) es P tiene infinitos elementos». Para demostrar el resultado por reducción al absurdo, basta comprobar que si se cumple que «P es el conjunto de todos los números primos» (la hipótesis, es decir A) y que «P es un conjunto con un número finito de elementos» (lo contrario de la tesis), entonces llegamos a algo imposible.

Como hemos supuesto que P es un conjunto finito, entonces lo podemos expresar como

P = {p₁, p₂, · · · , p_n},

para algún valor número natural n, donde p₁, p₂, · · · , p_n serían todos los números primos posibles. En ese caso construimos el número q = 1 + p₁ · p₂ · · · pn (es decir q es uno más el producto de todos los números primos existentes. Este número q cumple lo siguiente:

◾ q es un número natural, ya que es suma y producto de números naturales. es más q > 2, ya que

q = 1 + p₁ · p₂ · · · p_n > 1 + 1 = 2.

◾ q ∉ P ya que q es más grande que cada uno de los números que están en P. En efecto,

• q > p₁, ya que q = 1 +p₁ · p₂ · · ·p_n > 1 +p₁ > p₁,

• q > p₂, ya que q = 1 +p₁ · p₂ · · ·p_n > 1 +p₂ > p₂,

• ···,

• q > p_n, ya que q = 1 +p₁ ·p₂ · · ·p_n > 1 +p_n > p_n.

Por tanto, q ∉ P y como P es el conjunto de todos los números primos, entonces q no es un número primo.

◾ Como q no es un número primo, entonces debería ser divisible por algún número primo. Supongamos, por ejemplo, que q es divisible por p₁ (si en lugar de p₁ fuera divisible por p_i se haría de forma análoga cambiando p₁ por p_i en el razonamiento siguiente). Entonces, como q es divisible por p₁, debería existir un núnero natural r tal que q = p₁ · r, pero como q = 1 + p₁ · p₂ · · · p_n, tendríamos que

p₁ · r = q = 1 + p₁ · p₂ · · · p_n,

pero si despejamos 1 en la expresión anterior y sacamos factor común p₁ , deduciríamos que

1 = p₁ · r − p₁ · p₂ · · · p_n = p₁ (r − p₂ · · · p_n),

es decir 1 sería múltiplo p₁, cosa que evidentemente no es cierta. Es decir, es imposible que q sea divisible por p₁ (análogamente tampoco podría ser divisible por p₂, · · · , p_n).

En resumen, tenemos que q es un número natural mayor que 1 que no es primo y no es divisible por ningún numero primo... #IMPOSIBLE#, ya que todo número natural mayor o igual que 2 o bien es primo o bien es divisible por algún numero primo. Por tanto, hemos probado por reducción al absurdo que el conjunto P contiene infinitos elementos, es decir existen infinitos números primos.

□

2.4 Negación mediante contraejemplos

Para terminar esta sección presentamos una técnica que estrictamente hablando no es un método de demostración, sino que es una técnica para demostrar que un teorema es falso. En general los métodos para probar que algo es falso son completamente diferentes de las técnicas de demostración vistas antes. La negación por contraejemplos nos dice que si tenemos que dar una demostración de un teorema pero sospechamos que es falso, basta con que encontremos un caso particular (llamado contraejemplo) para probar que el teorema es falso.

Debemos insistir en que el dar un ejemplo o comprobar que un teorema es cierto para un caso particular nunca demuestra que el teorema es cierto para todos los casos, pero el encontrar un caso concreto en el que el teorema no se cumple si sirve para demostrar que el teorema es falso. Veamos un ejemplo concreto:

Ejemplo 2.6 Si nos preguntamos si 2ⁿ + 3 es un número primo para cualquier número natural n, a pesar de que el resultado es cierto para n = 1, 2, 3, 4 (ya que obtenemos los números primos 5, 7, 11, 19 respectivamente), si tomamos n = 5 entonces 2ⁿ + 3 = 32 + 3 = 35 = 5 · 7, que es un número primo, por lo que el teorema «2ⁿ + 3 es un número primo para cualquier número natural n» es un teorema falso en general.

En esta sección hemos presentado algunas técnicas básicas de demostración. Desgraciadamente no existe ninguna «receta mágica» que nos diga que técnica debe emplearse para probar un teorema concreto. Sólo la experiencia que se gana haciendo muchos ejercicios puede ayudarnos a desarrollar la intuición necesaria para saber qué método debemos emplear en cada caso.

3. El principio de inducción matemática

Además de las técnicas básicas de demostración vistas en la sección anterior, vamos a introducir otro método muy útil en todas las áreas de las matemáticas y en concreto en matemática discreta, dado que aprovecha especialmente las propiedades de los números enteros. Aprovechamos también estas líneas para introducir algo de notación matemática básica. En la mayoría de los desarrollos matemáticos se usan diferentes conjuntos de números, principalmente:

1. los números naturales, que, dicho de forma resumida, son los «números de contar», es decir 1, 2, 3, · · ·. El conjunto de los números naturales lo denotaremos como ℕ = {1, 2, 3, · · · }.

2. los números enteros, que son los números naturales junto con los números naturales con signo menos y el cero. El conjunto de números enteros lo denotaremos como ℤ = {0, ±1, ±2, · · · }.

3. los números racionales, que son los números enteros junto con todas las fracciones cuyo numerador y denominador es un numero entero. El conjunto de los número racionales lo escribiremos como

ℚ = {p/q, p,q ∈ ℤ, q ≠ 0}.

4. los números reales, que son los números racionales junto con los números irracionales (es decir, los que nos se pueden poner como una fracción entera). Ejemplos de números irracionales son $\sqrt{2}$ (tal y como lo acabamos de probar antes), los números π o e (vistos en bachillerato) y otros muchos (de hecho «hay más» números irracionales que números racionales). El conjunto de números reales lo denotaremos por ℝ.

5. los números complejos, que son números de la forma a + bi, donde a yb son números reales y el número ies la «unidad imaginaria», que formalmente se puede entender como $i = \sqrt{- 1}$ . Este conjunto de números lo emplearemos muy pocas veces en esta asignatura y se denota por ℂ.

Como ya hemos dicho, en esta sección vamos a introducir otro método de demostración muy útil cuando los teoremas que queremos probar tiene que ver con los números naturales o enteros y se basan en el siguiente principio (que es uno de los axiomas de los números naturales):

Principio de inducción. Si P es una cierta propiedad de forma que se cumple simultáneamente:

(a) el número n = 1 cumple la propiedad P,

(b) siempre que un cierto número n ∈ ℕ cumple la propiedad P, el siguiente número (que es n + 1, evidentemente) también cumple la propiedad P,

entonces todos los números naturales cumplen la propiedad P.

Evidentemente este principio nos da una técnica para probar teoremas relacionados con números naturales, ya que un teorema no es mas que una propiedad que es cierta, pero ¿cómo emplearlo en la práctica?

Si queremos demostrar un cierto teorema que sea cierto para todo n ∈ ℕ, entonces, empleando el principio de inducción bastará con seguir los siguientes pasos:

(a) Comprobar que el resultado es cierto para n = 1.

(b) Suponiendo que el resultado es cierto para un número natural n (esto es lo que se suele llamar «hipótesis de inducción»), demostramos que necesariamente el resultado también es cierto para n + 1 (esto es lo que se suele llamar «tesis de inducción»).

Si logramos completar los pasos anteriores, el principio anterior garantiza que el resultado es cierto para todos los numeros naturales, con lo que tendríamos probado el teorema para todo n ∈ ℕ.

Veamos cómo usar este método con un caso concreto:

Ejemplo 3.1 Demostremos que para cualquier n ∈ ℕ se cumple que

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2} .$

Procedamos empleando el método de inducción matemática. Para ello:

(a) Comprobemos que el resultado es cierto para n = 1. En efecto, por un lado, si n = 1

1+2+3+ ··· + n = 1,

mientras que por otro lado $\frac{n (n + 1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$ , por tanto la fórmula es cierta para n = 1.

(b) Suponiendo que el resultado es cierto para un número natural n, demostremos que necesariamente el resultado también es cierto para n + 1. En este caso, como la fórmula es cierta para un número n, la hipótesis de inducción nos dice que

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2} . (1)$

Lo que debemos demostrar es si se cumple (1), entonces n + 1 también verifica la fórmula, es decir se cumple que

$1 + 2 + 3 + \dots + (n + 1) = \frac{(n + 1) ((n + 1) + 1)}{2} = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2} . (2)$

Probémoslo empleando la hipótesis de inducción puesto que

$\begin{aligned} 1 + 2 + \dots + (n + 1) & = (1 + 2 + 3 + \dots + n) + (n + 1) = \frac{n (n + 1)}{2} + (n + 1) \\ = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2}, \end{aligned}$

por lo que si la fórmula es cierta para una n, también lo es para n + 1.

Entonces, empleando el principio de inducción, la fórmula es cierta para todo n ∈ ℕ.

Notación 3.2 En muchos ejercicios de inducción se tratan de probar fórmulas relacionadas con sumas ó productos de una sucesión de números, por lo que para que la fórmula este completamente clara en lugar de poner puntos suspensivos se usa una notación especial: la notación de sumatorios y productos. Esta notación usa dos letras griegas mayúsculas: sigma y pi. De esta forma se usa la siguiente notación:

1. Si queremos denotar la suma a₁ + a₂ + · · · + a_n , en lugar de los puntos suspensivos escribiremos

$\sum_{i = 1}^{n} a_{i} .$

Esta expresión quiere decir que sumamos los elementos de la sucesión ${(a_{i})}_{i = 1}^{n}$ , donde i recorre todos los valores (enteros) entre i = 1 e i = n (es decir i = 1, 2, · · · , n). Con esta notación, un par de ejemplos son

$\begin{aligned} 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} & = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i}, \\ \sum_{i = 2}^{n + 3} (2 i)^{2} & = 4^{2} + 6^{2} + 8^{2} + \dots + (2 (n + 3))^{2} . \end{aligned}$

Con la notación de sumatorio, el enunciado del Ejemplo 3.1 sería, demostrar que para cualquier n ∈ ℕ

$\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2} .$

2. Si queremos denotar el producto a₁ · a₂ · · · a_n en lugar de los puntos suspensivos escribiremos

$\prod_{i = 1}^{n} a_{i} .$

Esta expresión quiere decir que multiplicamos los elementos de la sucesión ${(a_{i})}_{i = 1}^{n}$ , donde i recorre todos los valores (enteros) entre i = 1 e i = n (es decir i = 1, 2, · · · , n). Algunos ejemplos de esta notación son:

$\begin{aligned} \prod_{i = 1}^{n} i & = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n = n! (este valor se denomina el factorial de n), \\ \prod_{i = 2}^{n} i^{i + 1} & = 2^{3} \cdot 3^{4} \cdot \dots \cdot n^{n + 1}, \\ \prod_{k = 1}^{n - 1} 2 & = 2^{n - 1} . \end{aligned}$

Nota 3.3 Como ya hemos dicho el método de inducción es una poderosa herramienta que ayuda a demostrar muchos resultados relacionados con números naturales y enteros, pero debemos destacar que, en general, no sirve para probar fórmulas que valgan para todos los números reales, ya que no hay ningún principio de inducción que sirva para todo ℝ. De todas formas, para probar algunas propiedades relacionadas con números naturales debemos emplear algunas «variantes» del principio de inducción, como por ejemplo:

1. Si queremos probar que una cierta propiedad es válida para todo numero natural n ≥ n_o (siendo n_o un número natural fijo) usando el principio de inducción, debemos seguir los siguientes pasos:

(a) Comprobar que el resultado es cierto para n = n_o .

(b) Suponiendo que el resultado es cierto para un número natural n ≥ n_o, demostramos que necesariamente el resultado también es cierto para n + 1.

Una vez probado esto, habremos demostrado que el resultado es cierto para todo número natural n ≥ n_o.

2. Si queremos probar que una cierta propiedad es válida para todo número entero n ∈ ℤ usando el principio de inducción, debemos seguir los siguientes pasos:

(a) Comprobar que el resultado es cierto para n = 0.

(b) Suponiendo que el resultado es cierto para un número natural n, demostramos que necesariamente el resultado también es cierto para n + 1.

(c) Suponiendo que el resultado es cierto para un número entero negativo n ≤ 0, demostramos que necesariamente el resultado también es cierto para n − 1.

Una vez probado esto, habremos demostrado que el resultado es cierto para todo número entero n ∈ ℤ. Si sólo probamos (a) y (b), sólo podríamos asegurar que el resultado es cierto para n ≥ 0 y si solo sabemos hacer (a) y (c), habríamos demostrado que el resultado es cierto para números enteros negativos n ≥ 0.

Además de las generalizaciones del Principio de Inducción que hemos visto en la Nota 3.3, existe otra variante que puede ser útil en algunos contextos y que se basa en el siguiente principio que se deduce trivialmente del Principio de Inducción:

Principio de inducción completa. Si P es una cierta propiedad de forma que se cumple simultáneamente:

(a) el número n = 1 cumple la propiedad P,

(b) siempre que un cierto número n ∈ ℕ de forma que todos los números menores o iguales que él cumple la propiedad P (es decir, 1, 2, · · · , n todos cumplen P), el siguiente número (que es n + 1, evidentemente) también cumple la propiedad P,

entonces todos los números naturales cumplen la propiedad P .

Si comparamos el Principio de Inducción Completa con el Principio de Inducción que vimos antes, nos damos cuenta que esta nueva generalización del Principio de Inducción impone más hipótesis, por lo que será más restrictivo (es decir, se podrá emplear en menos problemas que en los que se puede usar el Principio de Inducción convencional), si bien al tener más hipótesis, el demostrar la tesis de inducción será más fácil en estos casos.

Evidentemente este principio de inducción completa nos da otra técnica para probar teoremas relacionados con números naturales y enteros, pero ¿cómo emplearlo en la práctica?

Si queremos demostrar que un teorema que es cierto para todo n ∈ ℕ, entonces, empleando el principio de inducción completa bastará con seguir los siguientes pasos:

(a) Comprobar que el resultado es cierto para n = 1.

(b) Suponiendo que tenemos un número natural n de forma que el teorema es cierto para todos los números menores o iguales que él (es decir, sabemos que el teorema es cierto para 1, 2, · · · , n), esto es lo que se suele llamar «hipótesis de inducción», demostramos que necesariamente el resultado también es cierto para n + 1 (esto es lo que se suele llamar «tesis de inducción»).

Si logramos completar los pasos anteriores, el principio de inducción completa garantiza que el resultado es cierto para todos los números naturales, con lo que tendríamos probado el teorema para todo n ∈ ℕ. Evidentemente, las variantes del método de inducción que hemos visto en la Nota 3.3 pueden adaptarse para obtener variantes similares del método de inducción completa.

Veamos cómo usar este método con un ejemplo concreto:

Ejemplo 3.4 Usando el Método de inducción completa vamos a probar el Teorema Fundamental de la Aritmética, que dice que todo número entero n ≥ 2 puede expresarse de forma única como producto de potencias de números primos, es decir $n = p_{1}^{e_{1}} p_{2}^{e_{2}} \dots p_{k}^{e_{k}}$ .

Como queremos probar que el resultado es cierto para todo número entero n ≥ 2 vamos a usar una variante del método de inducción completa similar a la primera variante vista en la Nota 3.3, tomando no = 2. Para ello:

(a) Comprobemos que el resultado es cierto para n = n_o = 2. En efecto, si n = 2, entonces n es un número primo y por tanto se puede expresar (de forma única) como $n = p_{1}^{e_{1}}$ con p₁ = 2 y e₁ = 1.

(b) Suponiendo que tenemos un número natural n ≥ 2 de forma que todos los números 2, · · · , n (es decir los números naturales mayores o iguales que 2 y menores o iguales que n) se pueden expresar de forma única como producto de potencias de números primos, demostremos que necesariamente el teorema también es cierto para n + 1. En este caso, la hipótesis de inducción nos dice que si tenemos cualquier número natural 2 ≤ j ≤ n, entonces j se puede expresar (de forma única) como producto de potencias de números primos, es decir existen números primos p₁ , · · · , p_k y exponentes e₁ , · · · , e_k > 0 tales que

$j = p_{1}^{e_{1}} \dots p_{k}^{e_{k}} .$

Lo que debemos demostrar es si se cumple (3), entonces n + 1 también verifica el teorema, es decir se cumple que existen números primos q₁, · · · , q_l y exponentes e₁ , · · ·, e_l > 0 (posiblemente diferentes de los que aparecen en la hipótesis de inducción) tales que

$n + 1 = q_{1}^{e_{1}} \dots q_{l}^{e_{l}} .$

Para demostrar la tesis de inducción, pueden darse dos casos:

• Si n + 1 es un número primo n + 1 = q, en este caso n + 1 se expresa trivialmente de forma única como producto de potencias de números primos, tomando únicamente q₁ = q y e₁ = 1.

• Si n + 1 no es un número primo, entonces será divisible por algún número primo p < n + 1, de forma que, haciendo la división de n + 1 entre p, obtenemos un cociente q y un resto r = 0, es decir n + 1 = pq. Como pq = n + 1 y p es un número primo, entonces q es menor o igual que n, por lo que se cumple la hipótesis de inducción para q, de forma que q se puede expresar (de forma única) como producto de potencias de números primos, es decir existen números primos p₁, · · · , p_k y exponentes e₁, · · · , e_k > 0 tales que $p = p_{1}^{e_{1}} \dots p_{k}^{e_{k}}$ , por tanto

$n + 1 = p q = p (p_{1}^{e_{1}} \dots p_{k}^{e_{k}}),$

de forma que n + 1 lo hemos expresado como producto de potencias de números primos (los números primos son p₁, · · · , p_k y p) y en conclusión hemos probado que la tesis de inducción se cumple.

Entonces, empleando el principio de inducción completa, el Teorema Fundamental de la Aritmética es cierto para todo número natural n ≥ 2.

4. Origen histórico de las técnicas de demostración

Las matemáticas están presentes en el desarrollo de la humanidad desde la noche de los tiempos, pero la actividad matemática ha ido modificando sus técnicas y protocolos hasta constituirse en la disciplina científica consolidada que tenemos hoy en día, de forma que la metodología de trabajo que se realiza en los centros de investigación matemática de hoy dista mucho de lo que se podía realizar siglos atrás, desde la civilización babilónica o egipcia en la cultura de la Grecia clásica. A día de hoy, como hemos dicho antes, la actividad central de las matemáticas se vertebra entorno a demostrar teoremas para obtener nuevos resultados sólidos de conceptos (que llamamos definiciones), empleando reglas lógicas a partir de axiomas y otros teoremas ya demostrados previamente, pero este papel absolutamente fundamental de la construcción de demostraciones en las matemáticas no ha sido siempre así.

En la civilización babilónica y egipcia se conocían diferentes resultados, como por ejemplo que la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo era el cuadrado de la hipotenusa, pero no se consideraba necesario el poder demostrar por qué esto era así, de forma que el concepto de demostración matemática no se había desarrollado aún. las diferentes afirmaciones matemáticas en estas civilizaciones y otras en diferentes lugares de la tierra se fundamentaban en la experiencia ó algún tipo de observación empírica o por analogía. De esta forma, la tesis del Teorema de Pitágoras era conocida por los babilónicos y la civilización china (más de 500 años antes de que Pitágoras diera una demostración rigurosa), pero la justificación de por qué era cierto se basaban en la experiencia previa (computando los datos para diferentes triángulos construidos empíricamente) o en algunos diagramas que trataban de ilustrar el resultado [4]. No se sabe con certeza cuándo se tuvo la necesidad de buscar una justificación razonada de los resultados matemáticos como el Teorema de Pitágoras, pero se sabe que en la civilización de la Grecia clásica se forjó la idea de que las matemáticas debían justificar cada afirmación a partir de una serie de resultados básicos (lo que hoy conocemos como axiomas) empleando reglas lógicas, siguiendo un paralelismo con la disciplina griega de la dialéctica y la retórica, tal populares en aquellos años.

Fueron Pitágoras (569-500 A.C. aproximadamente) y su escuela los primeros en formular la idea de que las matemáticas se construían a partir de resultados elementales combinados con reglas de la lógica [5, 6], de forma que cada afirmación (como el propio Teorema de Pitágoras) se justificaba minuciosamente a partir de otros resultados ya probados y las reglas de la lógica, por lo que se considera que fue Pitágoras el primero en mostrar la necesidad de dar demostraciones matemáticas. Junto con esa necesidad imperiosa de dar demostraciones a los resultados matemáticos apareció necesariamente el interés por encontrar métodos de demostración que sirvieran para mostrar que los resultados eran válidos, de forma que técnicas como la demostración directa o la demostración por reducción al absurdo ya eran empleadas en la Escuela Pitagórica. En concreto, la demostración de la irracionalidad del número $\sqrt{2}$ que hemos visto antes empleando la técnica de reducción al absurdo es atribuida a la Escuela Pitagórica [4, 5], si bien el uso de esta técnica ya era conocido por Tales de Mileto (624-546 a.C. aproximadamente) quien usaba este tipo de razonamiento para sus argumentaciones matemáticas, importando está técnica de la dialéctica [7].

Una vez establecida en la Escuela Pitagórica la importancia de demostrar rigurosamente las afirmaciones matemáticas, fue Eudoxo de Cnido (390-337 a.C. aproximadamente) el primero en introducir el término teorema (en griego clásico θεωρηµα, que se forma a partir del sufijo µα -que significa «resultado de»- y el verbo θεωρεω -que significa «reflexionar»-), si bien la forma moderna de entender las matemáticas se debe a Euclides (325-265 a.C. aproximadamente) y la escuela de Alejandría [4]. Con los Elementos de Euclides se presentan las matemáticas siguiendo el modelo descrito en las secciones anteriores, de forma que a partir de las definiciones y los axiomas se van demostrando los diferentes teoremas empleando reglas de las lógica, de forma que una vez demostrado un teorema, se puede emplear este para demostrar nuevos resultados.

En la época de Euclides ya eran conocidas la mayoría de las técnicas de demostración matemática usuales (conocidas desde la época de Tales de Mileto y Pitágoras), incluyendo la demostración directa, la demostración por contraposición, la reducción al absurdo o el uso de contraejemplos, entre otras, pues todas ellas son herramientasusuales de la lógica clásica de Aristóteles (384-322 a.C. aproximadamente) y empleadas también en dialéctica [4], pero el método basado en el Principio de inducción tardó unos cuantos siglos en desarrollarse.

No fue hasta el siglo XVI cuando el matemático y astrónomo italiano Francesco Maurolico (1494-1575 d.C.) se dio cuenta de que para demostrar resultados de aritmética relacionada con los números naturales era suficiente probar de forma recursiva los resultados para cada número n y su consecutivo n + 1 en su obra «Abbatis Messanensis, Mathematici Celeberrimi, Arithmeticorum Libri Duo» publicada en Venecia en 1575 (véase, [8]). Si bien en la obra de Maurolico estaba latente la idea de la hipótesis de inducción y la tesis de inducción, no aparecía el método de inducción rigurosamente descrito, por lo que no se considera su obra de 1575 la primera en la que se empleó el principio de inducción. Inspirado por la obra de Maurolico, fue el matemático, físico y filósofo francés Blaise Pascal (1623-1662) el primero en emplear de forma rigurosa el método de inducción tal cual lo conocemos hoy en su obra «Traité du triangle arithmétique» (sobre el famoso triángulo numérico que lleva su nombre) escrito en 1664 y publicado en 1665 (véase [8] para más detalles).

5. Lecturas complementarias recomendadas

En esta sección se incluye una breve lista de lecturas recomendadas que sirven para completar los conceptos vistos a lo largo del documento, ya sea profundizando en temas no expuestos con detalle, presentando más problemas propuestos y/o resueltos o dando puntos de vista ligeramente diferentes a los recogidos anteriormente. En este caso las referencias recomendadas son:

1. E.G. GOODAIRE y M.M. PARMENTER, «Discrete Mathematics with graph theory», Editorial Prentice Hall (1998): Es una excelente referencia para un primer curso de matemática discreta. En el capítulo 0 se dan varios métodos de demostración y el capítulo 4 (pag. 161 y siguientes) se dedica al método de inducción. Contiene extensiones del principio de inducción y varios ejercicios propuestos y resueltos.

2. S.G. KRANTZ, «The proof is in the pudding: The changing nature of mathematical proof », Springer (2011): Magnífico libro sobre el concepto de demostración que incluye reseñas históricas de la evolución de las matemáticas y unas muy interesantes reflexiones sobre lo que fue es y puede ser en el futuro la profesión matemática. El capítulo 1 (páginas 1–37) explica con detalle el significado de la demostración matemática. Adicionalmente, los capítulos 12 y 13 (páginas 219–228) contiene reflexiones sobre el sentido de las demostraciones en las matemáticas del futuro.

3. D. PESTANA & AL., «Curso práctico de cálculo y precálculo», Editorial Ariel (2000): Orientado a repasar todos los conceptos que el alumno debería conocer de bachillerato e incluye material para enganchar con las asignaturas de matemáticas de primer curso universitario. Explica el método de inducción en la página 30, dentro del capítulo «Métodos de demostración» que merece ser leído ya que contiene más o menos todos los conceptos de este tema.

6. Ejercicios propuestos

1. Prueba que si n ∈ ℕ, entonces

$1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{3} + \dots + n \cdot 3^{n} = \frac{(2 n - 1) 3^{n + 1} + 3}{4} .$

2. Demuestra que para cualquier n ∈ ℕ

$\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2 n - 1) \cdot (2 n + 1)} = \frac{n}{2 n + 1} .$

3. Empleando el método de inducción demuestra que si n ∈ ℕ entonces 2ⁿ ≤ (n + 1)!

4. Prueba que para cualquier número natural n ≥ 4 se cumple que 2ⁿ ≥ n² . ¿Es cierta la desigualdad anterior para cualquier n ∈ ℕ?

5. Demuestra que si x > −1 y n ∈ ℕ entonces (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx.

6. Demuestra que 4²ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺² es múltiplo de 13 para cualquier n ∈ ℕ.

7. Si x ∈ ℝ y n ∈ ℕ, demuestra que x + (x − 1)x + (x − 1)x² + · · · + (x − 1)xⁿ = xⁿ⁺¹.

8. Prueba que la suma de los cubos de tres números naturales consecutivos es múltiplo de 9.

9. Demuestra que para cualquier n ≥ 2 se cumple que n(n + 1)(n + 2) · · · (2n − 2) = 2^{n− 1} · 1 · 3 · 5 · · · (2n − 3).

10. Si f⁽ⁿ⁾(x) denota la derivada n-ésima de f(x) = xe^x, prueba que para cualquier n ≥ 0, f⁽ⁿ⁾ (x) = e^x (x + n).

11. Consideremos la siguiente sucesión ${(f_{n})}_{n = 0}^{\infty} : f_{0} = 0, f_{1} = 1$ , y si i ≥ 2, entonces f_i = f_i−2 + f_i−1 (la sucesión de Fibonacci (fn) = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .)). Demuestra que para cualquier n ≥ 1,

(i) $\sum_{i = 1}^{n} f_{i} = f_{n + 2} - 1 .$

(ii) $\sum_{i = 1}^{2 n} f_{i} f_{i - 1} = f_{2 n}^{2} .$

(iii) $\sum_{i = 1}^{n} f_{i}^{2} = f_{n} f_{n + 1} .$

12. Demostrar por inducción que para cualquier número natural n ∈ ℕ

$\sum_{k = 1}^{n} (8 k - 5) = 4 n^{2} - n .$

13. Demostrar por inducción que para cualquier número natural n ∈ ℕ

$\sum_{k = 1}^{n} (6 k - 2) = (3 n + 1) n .$

14. Demostrar que para cualquier número natural n ≥ 1

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2}} + \frac{3}{2^{3}} + \dots + \frac{n}{2^{n}} = 2 - \frac{n + 2}{2^{n}} .$

15. Demostrar que para cualquier número natural n ≥ 1

$\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n (n + 1) (n + 2)} = \frac{n (n + 3)}{4 (n + 1) (n + 2)} .$

16. Demostrar por inducción que para cualquier número natural n ∈ ℕ

$\sum_{i = n}^{2 n - 1} (2 i + 1) = 3 n^{2} .$

17. Demostrar por inducción que para cualquier número natural n ≥ 2

$\sum_{i = 2}^{n} \frac{1}{i^{2} - 1} = \frac{(n - 1) (3 n + 2)}{4 n (n + 1)} .$

¿Qué ocurre si en la fórmula anterior sumamos desde i = 0? ¿y si n ≤ 0?

18. Demostrar por inducción que para cualquier número natural n ∈ ℕ

$\sum_{k = n}^{2 n} k (k + 1) = \frac{(7 n + 5) (n + 1) n}{3} .$

19. Demuestra que para cualquier n ∈ ℕ, n⁴ + 2n³ − n² − 2n es múltiplo de 4 (por inducción sobre n).

20. Demuestra que para cualquier n ∈ ℕ se cumple que

$\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n}{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2 n - 1)} \leq \frac{n}{2^{n - 1}} .$

21. Consideremos la sucesión de Fibonacci ${(f_{n})}_{n = 0}^{\infty}$ definida por:

${\begin{cases} f_{0} = 0 \\ f_{1} = 1 \\ f_{n} = f_{n - 1} + f_{n - 2} (n \geq 2) \end{cases} .$

Demuestra que para cualquier n ∈ ℕ f_3n es par (por inducción sobre n).

22. Consideremos la sucesión de Fibonacci ${(f_{n})}_{n = 0}^{\infty}$ definida por:

${\begin{cases} f_{0} = 0 \\ f_{1} = 1 \\ f_{n} = f_{n - 1} + f_{n - 2} (n \geq 2) \end{cases} .$

Demuestra que para cualquier n ∈ ℕ se cumple que

$\sum_{k = n}^{2 n - 1} f_{2 k - 1} = f_{4 n - 2} - f_{2 n - 2} .$

23. Consideremos la sucesión de Fibonacci ${(f_{n})}_{n = 0}^{\infty}$ definida por:

${\begin{cases} f_{0} = 0 \\ f_{1} = 1 \\ f_{n} = f_{n - 1} + f_{n - 2} (n \geq 2) \end{cases} .$

Demuestra que para cualquier n ∈ ℕ se cumple que

$\sum_{k = n + 1}^{2 n} f_{2 k} = f_{4 n + 1} - f_{2 n + 1} .$

24. Demostrar que para cualquier número natural n ∈ ℕ se cumple que el número 2²n + 15n − 1 es divisible por 9. ¿Es la fórmula anterior cierta si n ≤ 0? Razona tus respuestas.

25. Observemos que

$\begin{aligned} 1 & = 1 \\ 1 - 4 & = - (1 + 2) \\ 1 - 4 + 9 & = (1 + 2 + 3) \\ 1 - 4 + 9 - 16 & = - (1 + 2 + 3 + 4) \\ 1 - 4 + 9 - 16 + 25 & = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) \end{aligned}$

A partir de lo anterior, conjetura y demuestra una fórmula sencilla para el valor de

1 − 2² + 3² − 4² + · · · ± n²,

para cada n ∈ ℕ.

(AYUDA: Recuerda que $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ )

26. Demostrar que para cualquier número natural n ∈ ℕ se cumple que

$\prod_{i = n + 1}^{2 n} (\frac{2 i}{i + 1}) = \frac{2^{n} (n + 1)}{2 n + 1} .$

27. Probar que para cualquier n ∈ ℕ se cumple que $\frac{4^{n}}{n + 1} \leq \frac{(2 n)!}{(n!)^{2}}$

28. Demuestra por inducción que para cualquier n ∈ ℕ

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \dots + \frac{n}{n + 1} < \frac{(n + 1) n}{n + 2} .$

29. Demuestra que para cualquier n ∈ ℕ se cumple que

$\sum_{i = 0}^{n} \frac{i}{i + 1} \leq n - \frac{n}{n + 1} .$

30. Demostrar que para cada número natural n ∈ ℕ se cumple que

$\sum_{k = n + 1}^{2 n} k! k = (2 n + 1)! - (n + 1)!$

31. Demostrar que para cada número natural n ∈ ℕ se cumple que

$\sum_{k = 1}^{2 n} (3 k - 2)^{2} = n (24 n^{2} - 6 n - 1) .$

32. Demostrar que para cada número natural n ∈ ℕ se cumple que

$\prod_{k = 1}^{2 n - 1} (1 - \frac{1}{k + 1}) = \frac{1}{2 n} .$

33. Demostrar que para cada número natural n ∈ ℕ se cumple que

$\prod_{j = 1}^{2 n - 1} (\frac{j + 1}{5 j}) = \frac{10 n}{25^{n}} .$

34. Demostrar que para cada número natural n ∈ ℕ se cumple que

$\sum_{k = 1}^{3 n} 2^{k} = 2^{3 n + 1} - 2 .$

35. Consideremos la sucesión ${(a_{n})}_{n = 0}^{\infty}$ definida por:

${\begin{cases} a_{0} = 1, \\ a_{1} = 2, \\ a_{n} = a_{n - 1} \cdot a_{n - 2} (n \geq 2) . \end{cases}$

Demuestra que para cualquier n ∈ ℕ se cumple que

$\prod_{i = n}^{2 n - 1} a_{2 i - 1} = \frac{a_{4 n - 2}}{a_{2 n - 2}} .$

36. Para cada n ∈ ℕ se define

$a_{n} = \underset{n unos}{\underset{⏟}{\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots}}}}},$

es decir, $a_{1} = \sqrt{1} = 1, a_{2} = \sqrt{1 + \sqrt{1}} = \sqrt{2}, a_{3} = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1}}} = \sqrt{1 + \sqrt{2}}$ , etc. Demuestra por inducción sobre n que si n ≥ 2, entonces a_n es irracional.

(Ayuda: Puedes combinar el principio de inducción con otros métodos de demostración, como por ejemplo reducción al absurdo)

37. Demuestra que si n ≥ 5 es un número natural, entonces $(\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix}) \leq 2^{2 n - 2} .$

(Ayuda: Recuerda que si k, m ∈ ℕ y m ≤ k, entonces $(\begin{matrix} k \\ m \end{matrix}) = \frac{k!}{m! (k - m)!})$

38. Demuestra que para cualquier número natural n ∈ ℕ se cumple que

$\prod_{k = n}^{2 n - 1} \frac{k^{2}}{k + 1} = \frac{1}{2} \frac{(2 n - 1)!}{(n - 1)!} .$

39. Demuestra que para cada n ∈ ℕ se cumple que

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} < 2 \sqrt{n} .$

40. Consideremos la sucesión de Fibonacci ${(f_{n})}_{n = 0}^{\infty}$ definida por:

${\begin{cases} f_{0} = 0 \\ f_{1} = 1 \\ f_{n} = f_{n - 1} + f_{n - 2} (n \geq 2) \end{cases} .$

Demuestra que para cualquier n ∈ ℕ se cumple que f_4n es múltiplo de 3.

41. Si 0 ≠ a ∈ ℝ, consideramos la sucesión ${(a_{n})}_{n = 0}^{\infty}$ definida como

${\begin{cases} a_{0} = 1 \\ a_{1} = a \\ a_{n} = a_{n - 1} \cdot a_{n - 2}, si n \geq 2 \end{cases} .$

Demuestra que si n ∈ ℕ, entonces

$\prod_{k = n + 1}^{2 n} a_{2 k} = \frac{a_{4 n + 1}}{a_{2 n + 1}} .$

¿En qué puntos de la demostración es necesario que a ≠ 0? Razona tus respuestas.

42. Demuestra que para cada n, r ∈ ℕ ∪ {0} se cumple que

$\sum_{i = 0}^{r} (\begin{matrix} n + i \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} n + r + 1 \\ r \end{matrix}) .$

43. Consideremos la sucesión de números de Catalán ${(C_{n})}_{n = 0}^{\infty}$ definida en honor del matemático belga Eugene C. Catalán (1814-1894) como

${\begin{cases} C_{0} = 1, \\ C_{n} = \frac{2 (2 n - 1)}{n + 1} C_{n - 1}, si n \geq 1 \end{cases} .$

Demuestra que para todo n ≥ 0 se cumple que $C_{n} = (\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix}) \frac{1}{n + 1}$ .

Referencias

¹ E. G. Goodaire y M. M. Parmenter, Discrete mathematics with graph theory (Prentice Hall PTR, 1997).

² K. A. Ross y C. R. Wright, Discrete mathematics (Prentice-Hall, Inc., 1985).

³ D. Pestana, J. M. Rodriguez, E. Romera, E. Touris, V. Álvarez y A. Portilla, Curso práctico de cálculo y precálculo (Ariel Ciencia, 2000).

⁴ S. G. Krantz, The proof is in the pudding: The changing nature of mathematical proof (Springer, 2011).

⁵ C. B. Boyer y U. C. Merzbach, A history of mathematics (John Wiley & Sons, 2011).

⁶ I. Stewart, Historia de las matemáticas, vol. 200, 8 (Editorial Crítica, 2008).

⁷ J. Waszkiewicz y A. Wojciechowska, «On the Origin of Reductio Ad Absurdum», en Logic Counts (Springer, 1990), págs. 87–95.

⁸ W. H. Bussey, «The origin of mathematical induction», The american mathematical monthly 24, 199–207 (1917).

Forum Docentis

Buscador