Forum Docentis - Sección IN, Vol. 2024, Núm. 3 (2024)
ISSN: 2952-3052
doi: https://doi.org/10.33732/FD.v2024.n3.28
Recepción: 27/09/2024, Aceptación: 15/10/2024

Funciones reales de variable real: límites y continuidad

Regino Criado^1,2, David Aleja^1,2, Julio Flores^1,2

¹ Departamento de Matemática Aplicada, CC. e Ingeniería de los Materiales y Tec. Electrónica, URJC

² Centro DCNC de la URJC

© © 2025 Los autores. Publicado por URJC. Este es un artículo de acceso abierto con licencia CC BY.
Cómo citar este artículo: Criado, R., Flores Álvarez, J., & González de la Aleja, D. (2025). Funciones reales de variable real: límites y continuidad. Forum Docentis - IN vol. 2024, (3), e28, 2025

Índice

Introducción

1. Funciones reales de variable real

1.1 Dominio y conjunto imagen de una función

2. Operaciones con funciones

2.1 Composición de funciones. Función inversa

3. Límites

3.1 Propiedades de los límites

3.2 Límites laterales

3.3 Límites infinitos

3.4 Límites en el infinito

3.5 La recta real ampliada: indeterminaciones. Regla del sandwich

4. Funciones continuas

4.1 Algunas funciones continuas

5. Teoremas de Bolzano y de los valores intermedios

6. Funciones crecientes y decrecientes. Funciones acotadas. Teorema de Weierstrass

6.1 Funciones crecientes y decrecientes, pares e impares. Funciones acotadas

6.2 Teorema de Weierstrass

7. Funciones uniformemente continuas

7.1 Caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones. Teorema de Heine

8. Ejercicios

Referencias y Bibliografía

Introducción

El punto central de este tema es el estudio de las funciones reales (es decir, cuyas imágenes son números reales) de variable real (es decir, definidas en un subconjunto A ⊂ ℝ). Definiremos formalmente el concepto de límite y continuidad para este tipo de funciones y la relación entre estos conceptos.

1. Funciones reales de variable real

Definición 1.1. Una función real (de variable real) es un conjunto f ⊂ A × ℝ donde A ⊂ ℝ de manera que si (x, y) ∈ f y (x, z) ∈ f, entonces necesariamente debe ser y = z.

Si f ⊂ A × ℝ es una función, escribiremos f : A → ℝ. Además, si (x, y) ∈ f, se dice que y es la imagen de x por f, y escribiremos y = f (x). Podemos utilizar una representación de este tipo ya que una función como la anterior puede interpretarse como una transformación de manera que a cada número de un determinado conjunto A lo transforma en un único número real (es decir, de manera que la imagen de cada número del conjunto A está completamente determinada). Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1.2. Consideremos la función f : ℝ → ℝ que transforma cualquier número real x en el número x², es decir, f(x) = x². Formalmente

$$f=\{(x,x^2)\in \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ}:x\in \mathrm{ℝ}\}.$$

Así, f(2) = 2² = 4, y f (–2) = 4. Con esto resulta que (2, 4) ∈ f y (–2, 4) ∈ f lo que no contradice la condición exigida para que f sea una función.

Ejemplo 1.3. Dados A ⊂ ℝ y k ∈ ℝ, la función “constante de valor k”, es la función

$$f=\left\{\right(x,k)\in \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ}\mid x\in \mathrm{ℝ}\}.$$

y, como es una función, podemos utilizar la notación habitual para representar funciones:

$$\begin{array}{lclc}f:& A& \to & \mathrm{ℝ}\\ & x& \mapsto & f\left(x\right)=k\end{array}$$

Ejemplo 1.4. Dado A ⊂ ℝ, la función “identidad” de A es la función

$$I{d}_A=\left\{\right(x,x)\in A\mid x\in A\}.$$

y, como en el ejemplo anterior, al ser una función, podemos utilizar la notación habitual para representar funciones:

$$\begin{array}{lllc}I{d}_A:& A& \to & A\\ & x& \mapsto & I{d}_A\left(x\right)=x\end{array}$$

Ejemplo 1.5. Consideremos $f=\left\{\right(x,\pm \sqrt{x}):x\in {\mathrm{ℝ}}^{+}\cup \{0\left\}\right\}$. Para x = 1 obtenemos que (1, 1) ∈ f y (1, –1) ∈ f. Por consiguiente f contiene dos pares distintos con la primera coordenada coincidente, es decir, que no podemos determinar unívocamente f (1), y por tanto f no es una función.

Ejemplo 1.6. Consideremos $f=\{(x^2,x^3):x\in \mathrm{ℝ}\}$. Para x = 1 obtenemos que (1, 1) ∈ f, y para x = –1 obtenemos que (1, –1) ∈ f. Por consiguiente f contiene dos pares distintos con la primera coordenada coincidente, es decir, que no podemos determinar unívocamente f(1), y por tanto f no es una función.

Ejemplo 1.7. Sea f ⊂ ℝ × ℝ definida por {(x, y) ∈ ℝ × ℝ|x² + y² = 1}. f no es una función, puesto que, por ejemplo, $(\cos \left(\frac{\pi }{4}\right),\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{4}\right))\in f\mathrm{y}(\cos \left(\frac{\pi }{4}\right),-\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{4}\right))\in f$, es decir, hay puntos que tienen “más de una imagen”, en contradicción con que f sea una función.

Ejemplo 1.8.

■Nótese que las funciones $f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}\text{ y} g:{\mathrm{ℝ}}^{+}\to \mathrm{ℝ}$ definidas por las condiciones $\mathrm{\forall }x\in \mathrm{ℝ}f\left(x\right)=x^2$ y $\mathrm{\forall }x\in {\mathrm{ℝ}}^{+}g\left(x\right)=x^2$ no son iguales, puesto que no contienen los mismos pares de elementos (de hecho, g ⊂ f).

■Las funciones no siempre se definen a partir de una fórmula. Por ejemplo,

1.La función valor absoluto | | : ℝ → ℝ se define

$$\left|x\right|=\{\begin{array}{l}x\text{ si }x\ge 0\\ -x\text{ si }x<0\end{array}$$

Esta función (f(x) = |x|) deja los números positivos tal cual están y cambia los números negativos de signo (por ejemplo, para calcular f(5) primero debemos decidir cual de las dos fórmulas usamos. Como 5 ≥ 0 hemos de usar la primera fórmula con lo que f(5) = 5. De la misma manera f(−5) = −(−5) = 5).

2.Trata de hacer un dibujo aproximado de la gráfica de la siguiente función $f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}$:

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{lll}1& \text{si}& x\in \mathrm{\mathbb{Q}}\\ 0& \text{si}& x\notin \mathrm{\mathbb{Q}}\end{array}$$

3.La función “parte entera de x”, [x] : $\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}$, donde [x] es el mayor número entero menor o igual que x. Por ejemplo, $f\left(\pi \right)=3,f\left(e\right)=2,f(-0^{\prime }4)=-1$. Como ejercicio, representa gráficamente esta función (como subconjunto de $\mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ}={\mathrm{ℝ}}^2$).

1.1 Dominio y conjunto imagen de una función

Si empleamos la notación $f:A\to \mathrm{ℝ}$, se dice que A es el Dominio de f pero en general, si no se especifica lo contrario, se considera que el dominio de una función $f\subset \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ}$ es el subconjunto “mas grande” en el que la función está definida, es decir, $\mathit{Dom}\left(f\right)=\{x\in \mathrm{ℝ}\mid \mathrm{\exists }y\in \mathrm{ℝ}..(x,y)\in f\}$. Por ejemplo,

Ejemplo 1.9. Dada la función definida por la expresión $f\subset \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ},$

$$f\left(x\right)=\frac{7}{(x-2)\sqrt{1+x}}$$

debe entenderse que su dominio es “el más grande posible”. En este caso, puesto que no existe la raíz cuadrada de un número negativo, y tampoco tiene sentido “dividir por cero”, $\mathit{Dom}\left(f\right)=(-1,+\mathrm{\infty })$. Por otra parte el dominio de la función $g:\subset \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ}$

$$g\left(x\right)=\frac{4}{(x-2)\sqrt{5+x}}$$

es $\mathit{Dom}\left(f\right)=(-5,+\mathrm{\infty })\cap (\mathrm{ℝ}-\{2\left\}\right)=(-5,+\mathrm{\infty })-\left\{2\right\}=(-5,2)\cup (2,+\mathrm{\infty })$.

Definición 1.10. Dada una función f, la imagen de f es el conjunto

$$\mathit{Im}\left(f\right)=\left\{f\right(x)\mid x\in \mathit{Dom}(f\left)\right\}$$

Así, utilizando la notación acostumbrada, si $f\subset A\times \mathrm{ℝ}$, Dom(f) = A, escribiremos

$$\begin{array}{cccc}f:& Dom\left(f\right)& \to & \mathrm{ℝ}\\ & x& \mapsto & f\left(x\right)\end{array}$$

Observación 1.11. Siendo B ⊂ ℝ, si Im(f) ⊂ B, es decir, si f ⊂ A × B es una función, también podremos denotar esta función por f : A → B como hacemos en el siguiente ejemplo

$$\begin{array}{cccc}f:& \mathrm{ℝ}& \to & {\mathrm{ℝ}}^{+}\cup \left\{0\right\}.\\ & x& \mapsto & x^2\end{array}$$

Ejemplo 1.12. Si consideramos la función dada por la expresión $h\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ y queremos hallar su dominio e imagen, podemos comprobar que $\mathit{Dom}\left(h\right)=(-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$ puesto que para x = 1 y x = −1 el valor obtenido no es un número real, y para x ∈ (−1, 1) la expresión de h(x) es la raíz cuadrada de un número negativo. Por otra parte, $\mathit{Im}\left(h\right)\subset {\mathrm{ℝ}}^{+}\cup \left\{0\right\}$. Pero ∄x tal que $\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}=0$. Así pues, $\mathit{Im}\left(h\right)\subset {\mathrm{ℝ}}^{+}$. Como además, si y > 0 existe $x=\sqrt{\frac{1}{y^2}}+1\in \mathit{Dom}\left(h\right)\text{ tal que} h\left(x\right)=h(\sqrt{\frac{1}{y^2}}+1)=\left|y\right|=y$, resulta que $\mathit{Im}\left(h\right)={\mathrm{ℝ}}^{+}$.

Ejemplo 1.13. Si consideramos la función dada por la expresión $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-9}$, notamos que f no está definida únicamente cuando se anula el denominador, i.e., si x² − 9 = 0, o lo que es lo mismo, si x = ±3, con lo que $\mathit{Dom}\left(f\right)=\mathrm{ℝ}-\{-3,3\}$.

Ejemplo 1.14. Si consideramos la función dada por la expresión $f\left(x\right)=\sqrt{-x}+\frac{1}{1+x}$ hay que considerar todas las “restricciones” existentes: $-x\ge 0\leftrightarrow x\le 0\text{ y }1+x>0\leftrightarrow x>-1$, con lo que $\mathit{Dom}\left(f\right)=(-1,0]$.

Ejemplo 1.15. Hallése el dominio de la función $f\left(x\right)=\mathit{Ln}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.

Observación 1.16. Siendo $A\subset \mathrm{ℝ}$, si $f\subset \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ}$ es una función, entonces ${f|}_A=\left\{\right(x,y)\in f\mid x\in A\}$ también es una función, la función restricción de f al conjunto A, que denotaremos por ${f|}_A:A⟶\mathrm{ℝ}$ como en el siguiente ejemplo:

$$\begin{array}{cccc}f:& \mathrm{ℝ}& \to & \mathrm{ℝ}\\ & x& \mapsto & e^x\end{array}$$

y

$$\begin{array}{cccc}f{|}_A:& A& \to & \mathrm{ℝ}\\ & x& \mapsto & e^x\end{array}$$

2. Operaciones con funciones

Al igual que sucedía en el caso de las sucesiones, es posible extender ciertas operaciones usuales al contexto de las funciones reales de variable real.

Proposición 2.1. Si f, $g\subset \mathrm{ℝ}\times \mathrm{ℝ}$son dos funciones que tienen el mismo dominio $Dom\left(f\right)=Dom\left(g\right)=A$y $\alpha \in \mathrm{ℝ}$, se verifica que:

1.$f+g=\left\{\right(x,f\left(x\right)+g\left(x\right))\mid x\in A\}$es una función, $(f+g):A\to \mathrm{ℝ}$.

2.$f-g=\left\{\right(x,f\left(x\right)+g\left(x\right))\mid x\in A\}$es una función, $(f-g):A\to \mathrm{ℝ}$.

3.$\alpha f=\left\{\right(x,\alpha f\left(x\right))\mid x\in A\}$es una función, $\left(\alpha f\right):A\to \mathrm{ℝ}$.

4.$f\cdot g=\left\{\right(x,f\left(x\right)\cdot g\left(x\right))\mid x\in A\}$es una función, $(f\cdot g):A\to \mathrm{ℝ}$.

5.Si g(x) ≠ 0 para cualquier x ∈ dom(g), $\frac{f}{g}=\{(x,\frac{f(x)}{g(x)})|x\in A\}$es una función, $\frac{f}{g}:A\to \mathrm{ℝ}$.

6.Siendo $(f\vee g)\left(x\right)=\mathrm{máx}\left\{f\right(x),g(x\left)\right\})$, se verifica que $f\vee g=\left\{\right(x,f\left(x\right)\vee g\left(x\right))\mid x\in A\}$es una función, $(f\vee g):A\to \mathrm{ℝ}$.

7.Siendo $(f\wedge g)\left(x\right)=\mathrm{mín}\left\{f\right(x),g(x\left)\right\})$, se verifica que $f\wedge g=\left\{\right(x,f\left(x\right)\wedge g\left(x\right))\mid x\in A\}$es una función, $(f\wedge g):A\to \mathrm{ℝ}$.

Demostración. Ejercicio.

Observación 2.2. Ejemplos típicos de funciones reales de variable real son las logarítmicas, las exponenciales, las potenciales,así como otras funciones elementales consideradas en cursos anteriores, pero es importante señalar que en todos los casos hay que especificar con claridad cúal es el dominio de estas funciones.

A partir de la proposición 2.1 podremos escribir las funciones consideradas en dicha proposición con la notación propia de las funciones, por ejemplo:

$$\begin{array}{cccc}f+g:& A& \to & \mathrm{ℝ}\\ & x& \mapsto & (f+g)\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)\end{array}$$

$$\begin{array}{cccc}\alpha f:& A& \to & \mathrm{ℝ}\\ & x& \mapsto & \left(\alpha f\right)\left(x\right)=\alpha f\left(x\right).\end{array}$$

2.1 Composición de funciones. Función inversa

Proposición 2.3. Si f : A → ℝ es una función tal que Im(f) ⊂ B y g : B → ℝ, entonces se verifica que g ◦ f ⊂ A × ℝ, que

$$g\circ f=\left\{\right(x,z)\in A\times \mathrm{ℝ}\mid \mathrm{\exists }y\in Btalque(x,y)\in f\wedge (y,z)\in g\}$$

y que g ◦ f es una función, por lo que en lo sucesivo podremos escribir, utilizando la notación usual para funciones, g ◦ f : A → ℝ.

Demostración. Ejercicio.

Utilizando la notación funcional, podemos establecer ahora la siguiente definición:

Definición 2.4. Si $f:A\to \mathrm{ℝ}$, de manera que $\mathit{Im}\left(f\right)\subset B$y $g:B\to \mathrm{ℝ}$se define la función compuesta de f y g (en ese orden) como la función

$$\begin{array}{lllc}g\circ f:& A& ⟶& \mathrm{ℝ}\\ & x& \mapsto & (g\circ f)\left(x\right)=g\left(f\right(x\left)\right)\end{array}$$

Observación 2.5.

Puesto que si f y g son funciones, tenemos que g ◦ f es una función, obsérvese que si (x, y) ∈ f y (y, z) ∈ g, tendremos que y = f(x), z = g(y) y z = g(y) = g(f (x)) = (g ◦ f)(x). Por ejemplo, si

$$\begin{array}{cccc}f:& \mathrm{ℝ}& ⟶& \mathrm{ℝ}\\ & x& \mapsto & f\left(x\right)=e^x\end{array}$$

y

$$\begin{array}{rl}g:& \mathrm{ℝ}⟶\mathrm{ℝ}\\ & x\mapsto g\left(x\right)=x^2\end{array}$$

resulta que

$$\begin{array}{rllc}(g\circ f):& \mathrm{ℝ}& ⟶& \mathrm{ℝ}\\ & x& \mapsto & (g\circ f)\left(x\right)=g\left(f\right(x\left)\right)={\left(e^x\right)}^2=e^{2x}\end{array}$$

y

$$\begin{array}{rllc}(f\circ g):& \mathrm{ℝ}& ⟶& \mathrm{ℝ}\\ & x& \mapsto & (f\circ g)\left(x\right)=f\left(g\right(x\left)\right)=f\left(x^2\right)=e^{x^2}\end{array}$$

(Obsérvese que, como sucede en el ejemplo anterior, en el caso en que tanto (f ◦ g) como (g ◦ f) sean funciones con el mismo dominio y codominio, no tiene porqúe suceder que (f ◦ g) = (g ◦ f)).

Ejemplo 2.6. Dadas las funciones

$$\begin{array}{lllc}f:& \mathrm{ℝ}& \to & \mathrm{ℝ}\\ & x& \mapsto & f\left(x\right)=x^2+1\end{array}$$

y

$$\begin{array}{rlc}g:{\mathrm{ℝ}}^{+}& \to & \mathrm{ℝ}\\ x& \mapsto & f\left(x\right)=\mathit{Ln}\left(x\right)\end{array}$$

como $f\left(\mathrm{ℝ}\right)=[1,+\mathrm{\infty })\subset (0,+\mathrm{\infty })={\mathrm{ℝ}}^{+}$ tenemos que

$$\begin{array}{rllc}g\circ f:& \mathrm{ℝ}& \to & \mathrm{ℝ}\\ & x& \to & (g\circ f)\left(x\right)=\mathit{Ln}(x^2+1)\end{array}$$

Recordemos que una función f : X → Y es inyectiva si $x\ne y\Rightarrow f\left(x\right)\ne f\left(y\right).$ También decimos que f es sobreyectiva si $\mathrm{\forall }y\in Y\mathrm{\exists }x\in X$ tal que y = f(x), y por último decimos que f es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Observación 2.7.

Dada una función, $f\subset A\times \mathrm{ℝ}$ es posible considerar el grafo inverso $f^{-1}\subset Im\left(f\right)\times A$ definido por $f^{-1}=\left\{\right(y,x)\in Im(f)\times A\mid$ tal que $(x,y)\in f\}$, pero para que este conjunto f −¹ sea una función es necesario que f sea inyectiva pues, por ejemplo, si f = {(0, 1), (1, 1)}, resulta que f es una función, pero f −¹ = {(1, 0)(1, 1)} no, puesto que hay un elemento del dominio de f−¹ que ”tiene más de una imagen”.

En general, se tiene el siguiente resultado:

Proposición 2.8. Una función f : X → Y tiene inversa si y sólo si es inyectiva, es decir, si satisface la condición de que si f(x) = f(y), entonces x = y.

Demostración. Ejercicio.

Observación 2.9. Obsérvese que si f : X → Y es una función real de variable real inyectiva, entonces $f^{-1}\subset Imf\times \mathrm{ℝ}$ es una función, $f^{-1}:Imf\to X$, ya que todos los elementos del dominio de f −¹ tienen que tener imagen, es decir, en otras palabras, tanto la función f : X → Imf como la función f −¹ : Imf → X son funciones biyectivas. Así por ejemplo, si consideramos la función f : ℝ⁺ → ℝ definida por la condición $\mathrm{\forall }x\in {\mathrm{ℝ}}^{+}f\left(x\right)=Lx,$ es fácil comprobar que f es inyectiva (y sobreyectiva). La función inversa de f, como comprobaremos en párrafos posteriores, es la función $f^{-1}:\mathrm{ℝ}\to {\mathrm{ℝ}}^{+}$ definida por la condición $\mathrm{\forall }x\in {\mathrm{ℝ}}^{+}{f}^{-1}\left(x\right)=e^x$.

Para obtener la representación gráfica de la función inversa de una función real de variable real, f −¹, si existe, dibujaremos la curva simétrica de la gráfica de f respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Proposición 2.10. Si f : A → ℝ es una función inyectiva, entonces f−¹ : Imf → A es una función que además es biyectiva y satisface (f⁻¹ ◦ f) = Id_Ay (f ◦ f⁻¹) = Id_Imf, siendo

$$\begin{array}{rllc}I{d}_A:& A& \to & A\\ & x& \mapsto & I{d}_A\left(x\right)=x\end{array}$$

y

$$\begin{array}{rccc}I{d}_{Imf}:& Imf& \to & Imf\\ & x& \mapsto & I{d}_{Imf}\left(x\right)=x\end{array}$$

Demostración. Ejercicio.

Ejemplo 2.11. Demúestrese como ejercicio que la función

$$\begin{array}{lllc}f:& \mathrm{ℝ}& ⟶& (-1,1)\\ & x& \mapsto & f\left(x\right)=\frac{x}{1+\left|x\right|}\end{array}$$

es biyectiva verificando que tiene como función inversa a la función

$$\begin{array}{cccc}{f}^{-1}:& (-1,1)& \to & \mathrm{ℝ}\\ & y& \mapsto & f^{-1}\left(y\right)=\frac{y}{1-\left|y\right|}\end{array}$$

Indicación: Comprúebese que $(f^{-1}\circ f)=I{d}_{\mathrm{ℝ}}$ y que $(f\circ f^{-1})=I{d}_{(-1,1)}$.

Ejemplo 2.12. Las siguientes funciones son una la inversa de la otra (obsérvense los dominios),

$$\begin{array}{ccc}f:{\mathrm{ℝ}}^{+}\cup \left\{0\right\}& \to & {\mathrm{ℝ}}^{+}\cup \left\{0\right\}\\ x& \mapsto & f\left(x\right)=x^2\end{array}$$

$$\begin{array}{cccc}{f}^{-1}:{\mathrm{ℝ}}^{+}\cup \left\{0\right\}& & \to & {\mathrm{ℝ}}^{+}\cup \left\{0\right\}\\ x& & \mapsto & f^{-1}\left(x\right)=\sqrt{x}.\end{array}$$

$$\begin{array}{lccc}g:& \mathrm{ℝ}& \to & {\mathrm{ℝ}}^{+}\\ & x& \mapsto & f\left(x\right)=e^x\end{array}$$

$$\begin{array}{rccc}{g}^{-1}:& {\mathrm{ℝ}}^{+}& \to & \mathrm{ℝ}\\ & x& \mapsto & g^{-1}\left(x\right)=Ln\left(x\right)\end{array}$$

3. Límites

En el concepto de límite de una función subyace la idea de hallar el valor que debería tener una función en un punto específico, teniendo en cuenta el valor que toma en puntos cercanos. A dicho valor se le denomina límite de la función cuando x se aproxima (o tiende) al punto a.

Definición 3.1. Sea f : A → B una función real de variable real, L ∈ ℝ y a ∈ ℝ un punto de acumulación de A. Se dice que L ∈ ℝ es el límite de la función f cuando x tiende a a si para cualquier entorno de L, V(L) = (L − ε, L + ε), podemos encontrar un entorno reducido de a, V∗(a) = (a − δ, a) ∪ (a, a + δ)) ∩ A, de manera que la imagen de cualquier punto de V∗(a) va a parar a V(L), y se escribe:

$$\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=L$$

Denominando ε al radio de V (L) y δ al radio de V ∗(a), podemos establecer que las siguientes sentencias son equivalentes:

Proposición 3.2. Sea f : A → B ⊂ ℝ una función y L ∈ ℝ. Entonces son equivalentes:

1.lím_x→af(x) = L.

2.Para cualquier ε > 0 podemos encontrar un δ > 0 de manera que cualquier x ∈ A satisfaciendo 0 < |x − a| < δ, cumple |f(x) − L| < ε.

Proposición 3.3. Sea f : A → B y a un punto de acumulación de A, i.e., a ∈ Ac(A). Si existen L, M ∈ ℝ tales que lím_x→af(x) = L y lím_x→af(x) = M, necesariamente L = M. (En otras palabras, si la función tiene límite cuando x → a, dicho límite es único).

Demostración. Ejercicio.

El siguiente resultado establece una relación entre los límites de funciones y los límites de sucesiones y nos permitirá en lo sucesivo utilizar las técnicas y resultados ya vistos para las sucesiones de números reales:

Proposición 3.4. Sean f : A → B una función real de variable real y a un punto de acumulación de A. Son equivalentes:

1.lím_x→af(x) = L.

2.∀{x_n} sucesión de números reales tal que ∀n ∈ ℕ (x_n ∈ Dom(f )) ∧ x_n ≠ a) y lím{x_n} = a se verifica que lím{f(x_n)} = L.

Demostración. “⇒” Si lím_x→af(x) = L, dado ε > 0 ∃δ > 0 tal que si 0 < |x − a| <δ entonces |f(x) − L| < ε. En particular, si {x_n} es una sucesión de números reales tal que ∀n ∈ ℕ (x_n ∈ Dom(f )) ∧ x_n ≠ a) con lím{x_n} = a, dado δ > 0 ∃n₀ ∈ ℕ tal que si n ≥ n₀ necesariamente 0 < |x_n − a| < δ, con lo que |f(x_n) − L| < ε, es decir lím{f(x_n)} = L.

“⇐” Razonamos por reducción al absurdo: Supongamos que ∀{x_n} sucesión de números reales tal que $\mathrm{\forall }n\in \mathrm{\mathbb{N}}(x_n\in Dom\left(f\right))\wedge x_n\ne a)$ con lím{x_n} = a satisface lím{f(x_n)} = L y que, sin embargo, lím_x→af(x) ≠ L. En ese caso ∃ε > 0 tal que ∀δ > 0 ∃x ∈ Dom(f) con 0 < |x − a| < δ y tal que |f(x) − L| > ε. En particular, tomando para δ de manera sucesiva los valores $\delta =\frac{1}{n}\mathrm{con}n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ obtendremos que dado $\delta =\frac{1}{n}\mathrm{\exists }{x}_n$ tal que 0 < |x_n− a| < δ_n y |f (x_n) − L| > ε, con lo que la sucesión {x_n} satisface lím{x_n} = a y, sin embargo, lím{f (x_n) ≠ L (contradicción).□

Ejemplo 3.5. Consideremos la función signo, sig : ℝ−{0}→ ℝ, $\mathrm{sig}\left(x\right)=\frac{x}{\left|x\right|}$. Si queremos estudiar el comportamiento de esta función cerca del 0 ∈ ℝ, podemos considerar las sucesiones $\left\{\frac{1}{n}\right\}\text{ y }\{-\frac{1}{n}\}$. Obviamente $\mathrm{\forall }n\in \mathrm{\mathbb{N}}\mathit{sig}\left(\frac{1}{n}\right)=1$, con lo que lím $lim\left\{\mathit{sig}\left(\frac{1}{n}\right)\right\}=1$ (de hecho la sucesión de las imágenes es una sucesión constante de valor 1). Razonando análogamente podemos obtener que $lim\left\{\mathit{sig}(-\frac{1}{n})\right\}=-1$. Al tener dos sucesiones convergentes a cero de manera que las sucesiones correspondientes a sus imágenes convergen a números distintos, la consecuencia es que no puede existir el límite de la función cuando x tiende a 0.

Observación 3.6. Esta proposición, en ocasiones, puede resultar muy útil para demostrar la no existencia de límite. Bastará encontrar dos sucesiones en el dominio de la función que sean convergentes al punto a pero cuyas imágenes formen dos sucesiones que no converjan al mismo punto.anterior utilizando, para ello, sucesiones adecuadas al límite del que se pretende demostrar su “no existencia” en el dominio de la función.

3.1 Propiedades de los límites

En general los límites se comportan muy bien con las operaciones con funciones:

Proposición 3.7. Si f, g : A → B son dos funciones reales de variable real, α ∈ ℝ, a ∈ Ac(A), lím_x→af(x) = L y lím_x→ag(x) = M, entonces:

1.lím_x→a(f + g)(x) = L + M.

2.lím_x→a(fg)(x) = LM.

3.lím_x→a(αf )(x) = αL.

4.Si g(x) ≠ 0 para cualquier x ∈ Dom(g) y M ≠ 0, entonces ${lím}_{x\to a}\frac{f}{g}\left(x\right)=\frac{L}{M}$.

5.lím_x→a(f ∨ g)(x) = L ∨ M.

6.lím_x→a(f ∧ g)(x) = L ∧ M.

Demostracíon.

1.Puesto que lím_x→af (x) = L, tomando un ε > 0 cualquiera, podremos encontrar un δ₁ > 0 de manera que $\left|f\right(x)-L|<\frac{\epsilon }{2}\text{ para }0<|x-a|<{\delta }_1$. Del mismo modo, para ese mismo ε, podremos encontrar un δ₂ > 0 de manera que $\left|g\right(x)-M|<\frac{\epsilon }{2}$ para $\left|g\right(x)-M|<\frac{\epsilon }{2}\text{para }0<|x-a|<{\delta }_2$.

Tomando entonces δ = mín{δ₁, δ₂} > 0, tendremos que δ ≤ δ₁ y δ ≤ δ₂, con lo que, si 0 < |x − a| < δ:

$$\left|f\right(x)+g(x)-(L+M\left)\right|\le \left|f\right(x)-L|+\left|g\right(x)-M|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$$

obteniendo que lím_x→a(f + g)(x) = L + M .

2.Hay que comprobar que ∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ entonces |f (x)g(x) − LM| < ε. Sea ε > 0. Tomando ${\epsilon }^{\prime }=\mathit{min}\{1,\frac{\epsilon }{2\left|M\right|}\}>0$, como lím_x→af(x) = L tendremos que ∃δ₁ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ₁ entonces $\left|f\right(x)-L|<{\epsilon }^{\prime }$. Tomando ahora ${\epsilon }^{\prime \prime }=\mathit{min}\{1,\frac{\epsilon }{2\left|L\right|+1}\}>0$, como ${lim}_{x\to a}g\left(x\right)=M$ tendremos que $\mathrm{\exists }{\delta }_2>0$ tal que si $0<|x-a|<{\delta }_2$ entonces $\left|g\right(x)-M|<{\epsilon }^{\prime \prime }$. Teniendo en cuenta que

$$\left|f\right(x\left)\right|=\left|f\right(x)-L+L|\le \left|f\right(x)-L|+\left|L\right|$$

se sigue que

$$\left|f\right(x\left)\right|-\left|L\right|\le \left|f\right(x)-L|,$$

y siendo ahora $\delta =\mathrm{mín}\{{\delta }_1,{\delta }_2\}>0$ resulta que ∀x tal que $0<|x-a|<\delta$ tendremos que

$$\left|f\right(x\left)\right|-\left|L\right|\le \left|f\right(x)-L|<{\epsilon }^{\prime }<1,$$

es decir,

$$\left|f\right(x\left)\right|<\left|L\right|+1,$$

y, simulaneamente

$$\begin{array}{rl}\left|f\right(x\left)g\right(x)-(LM\left)\right|& =\left|f\right(x\left)g\right(x)-f(x)M+f(x)M-(LM\left)\right|\\ & =\left|f\right(x\left)\right(g\left(x\right)-M)+M(f\left(x\right)-L\left)\right|\\ & \le \left|f\right(x\left)\right|\left|g\right(x)-M|+\left|M\right|\left|\right(f\left(x\right)-L\left)\right|\\ & <\left(\right|L|+1)\frac{\epsilon }{2\left(\right|L|+1)}+\left|M\right|\left(\frac{\epsilon }{2\left|M\right|}\right)=\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon ,\end{array}$$

obteniendo que lím_x→a(fg)(x) = LM.

3.El resto de los apartados se propone como ejercicio. (Indicación: compárense con las demostraciones de las propiedades similares ya vistas para los límites de sucesiones. Para los dos últimos apartados, prúebese previamente que, siendo f cualquier función en las condiciones del enunciado, lím_x→a|f(x)| = |L|).□

Observación 3.8. En la demostración anterior hemos supuesto implícitamente que M ≠ 0. Si M = 0, entonces LM = 0 y, teniendo en cuenta la proposición 3.4, dada una sucesión {x_n} tal que lím{x_n} = a tendremos que lím{f (x_n)} = L y lím{g(x_n)} = M = 0, es decir, {f (x_n)g(x_n)} es el producto de una sucesión acotada (ya que es convergente) {f (x_n)} por otra que tiende a 0 ({g(x_n)}) por lo que ∃ lím{f (x_n)g(x_n)} = 0.

Observación 3.9. La igualdad lím_x→a(f + g)(x) = L + M (y el resto de igualdades de la proposición anterior) sólo tiene sentido si se ha comprobado previamente que existen, de manera independiente, los límites lím_x→af (x) = L y lím_x→ag(x) = M, es decir, no es lícito (ni correcto) escribir directamente lím_x→a(f + g)(x) = lím_x→af (x) + lím_x→ag(x) (y lo mismo sucede con el resto de “operaciones”). Por poner un ejemplo, no es correcto escribir ${lím}_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{{lím}_{x\to 1}{x}^2-1}{{lím}_{x\to 1}x-1}(=\frac{0}{0})$. De todos modos, en general, como un “abuso de notación”, si se puede verificar “posteriori” la existencia de los límites involucrados, y el resultado tiene sentido, se puede admitir la cadena de igualdades correspondiente como en el siguiente ejemplo:

$$\underset{x\to 0}{lím}\frac{x}{1+{\mathrm{sen}}^2\left(x\right)}=\frac{{lím}_{x\to 0}x}{{lím}_{x\to 0}1+{\mathrm{sen}}^2\left(x\right)}=\frac{{lím}_{x\to 0}x}{{lím}_{x\to 0}1+{lim}_{x\to 0}\mathrm{sen}\left(x\right)\cdot {lim}_{x\to 0}\mathrm{sen}\left(x\right)}=\frac{0}{1+0\cdot 0}=0.$$

En ocasiones, teniendo presente que en la definición de límite es necesario que $a\in Ac\left(A\right)$, es decir, que a sea un punto de acumulación de A y que $V^{\ast }(a,r)=\{x\in \mathrm{ℝ}:0<|x-a|<r\}=(a-r,a)\cup (a,a+r)$, resulta que si dos funciones son “parecidas” cerca de a, entonces sus límites en a coinciden, lo que nos facilitará el cálculo de alguno de los dos límites.

Proposición 3.10. Si f, g son dos funciones reales de variable real tales que podemos encontrar un r > 0 de manera que las restricciones de f y g en el entorno reducido de a coinciden, es decir, tales que ${f|}_{V^{\ast }(a,r)}={g|}_{V^{\ast }(a,r)}$, entonces, si lím_x→af (x) = L necesariamente lím_x→ag(x) = L.

Ejemplo 3.11. Si consideramos las funciones $f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}\text{ y }g:\mathrm{ℝ}-\left\{1\right\}\to \mathrm{ℝ}$ definidas por $f\left(x\right)=x-1\text{ y }g\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^2-1}{\mathrm{x}+1}$, obviamente f ≠ g pues tienen distinto dominio, pero f |_V∗ (1,r) = g|_V∗ (1,r), para cualquier r > 0, con lo que lím_x→−1g(x) = lím_x→−1f (x) = −2.

3.2 Límites laterales

En el último ejemplo hemos visto que a veces el comportamiento de una función cerca de un punto en la recta real puede depender del lado (izquierda o derecha) por el que nos aproximemos. En realidad aqúı aparece una idea simple: en la recta real sólo nos podemos acercar a un punto “por la derecha” o “por la izquierda” (esto no ocurre en el plano, por ejemplo). Por tanto, podemos intentar hallar el valor del un límite por los dos lados del punto. Para formalizar esto será más conveniente la notación de intervalos que la de entornos o la de valores absolutos. En todo lo que sigue consideraremos funciones reales de variable real, es decir, funciones de la forma f : A → B, con A, B ⊂ ℝ.

Definición 3.12. Sea f una función real de variable real. Se dice que L es el límite lateral por la izquierda (resp. por la derecha) de f cuando x tiende hacia a, y se escribe L = lím_x→a− f (x) (resp. L = lím_x→a+ f (x)) si para cualquier ε> 0 podemos encontrar un δ > 0 de manera que si x ∈ (a − δ, a) (resp. x ∈ (a, a + δ)), entonces f(x) ∈ (L − ε, L + ε).

Por supuesto, podemos relacionar (de manera muy sencilla) estas nuevas definiciones con la definición usual de límite:

Proposición 3.13. Sea f una función real de variable real, f : A → B, con A, B ⊂ ℝ, y a ∈ Ac(A). Entonces son equivalentes:

1.L = lím_x→af (x)

2.L = lím_x→a− f (x) = lím_x→a+ f (x)

Ejemplo 3.14. La utilidad más inmediata de esta definición es el cálculo de límites de funciones definidas por partes. El caso general sería, dada una función f, calcular lím_x→af(x), siendo:

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\text{ si }x<a\\ h\left(x\right)\text{ si }x>a\end{array}$$

Como conocemos el comportamiento de la función a ambos lados de a, podemos hallar los dos límites laterales, lím_x→a− f (x) = lím_x→a− g(x) y lím_x→a+ f (x) = lím_x→a+ h(x), comparar y decidir si existe el límite buscado.

Observación 3.15. Es habitual utilizar la siguiente notación para referirnos a los límites laterales:

1.lím_x→a− f (x) = f (a−)

2.lím_x→a+ f (x) = f (a⁺)

3.3 Límites infinitos

De forma análoga al caso de las sucesiones, puede suceder que cerca de un punto una función no tenga límite, pero tenga un comportamiento consistente en que la función crece o decrece indefinidamente cerca del punto a.

¿Qúe significa esto de crecer indefinidamente? Pues que estando lo bastante cerca de a la función toma valores muy grandes, tanto como queramos. Formalizando esta idea tenemos:

Definición 3.16. Sea f una función real. Se dice que el límite de la función f cuando x tiende hacia a es +∞ si para cualquier M ∈ ℝ podemos encontrar un δ > 0 de manera que si 0 < |x − a| < δ, entonces f(x) > M.

De idéntica manera (ver ejercicios) se puede definir que una función tienda a −∞, y lo mismo sucede con los límites laterales (ver ejercicios).

Ejemplo 3.17. Consideremos la función f : ℝ −{1} → ℝ, dada por la expresión $f\left(x\right)=\frac{1}{(x-1{)}^2}$. Al intentar calcular el límite, obtenemos al sustituir la indeterminación $\frac{1}{0}$. La situación al dividir 1 por un número extremadamente pequeño es obtener un número eventualmente muy grande. Tras comprobar que si nos acercamos al punto 1 por la derecha o por la izquierda el resultado es positivo ( límites laterales) y que, al ser el denominador siempre positivo, resultará que el límite es +∞.

3.4 Límites en el infinito

La idea consiste en “analizar” si la función se aproxima cada vez más a un cierto valor cuando la variable independiente se hace “muy grande”, considerando que la variable independiente x puede crecer indefinidamente en dos sentidos: a la derecha (+∞) y a la izquierda (−∞). Esto da lugar a la siguiente definición:

Definición 3.18. Sea f una función real. Se dice que el número L es el límite de f cuando x tiende a +∞, y se escribe L = lím_x→+∞f (x), cuando para cualquier ε > 0 podemos encontrar un M ∈ ℝ de manera que si x > M entonces |f(x) − L| < ε.

La definición de límite de una función cuando x tiende a −∞ es similar (ver ejercicios). La ventaja de este tipo de límites es que siguen las mismas reglas de cálculo que los límites de sucesiones.

Ejemplo 3.19. La función $f:\mathrm{ℝ}-\left\{1\right\}⟶\mathrm{ℝ}$ dada por $f\left(x\right)=\frac{1}{(x-1)}$ satisface que lím_x→+∞f (x) = 0 y también que lím_x→−∞f (x) = 0.

3.5 La recta real ampliada: indeterminaciones. Regla del sandwich

Para facilitar la notación y el análisis de las funciones reales de variable real, al conjunto de los números reales ℝ se le suele añadir los dos símbolos $+\mathrm{\infty }\text{ y }-\mathrm{\infty }$, bien entendido que estos dos símbolos no son números reales, y cuya representación en la recta real está en los extremos de la misma, de manera que se conserva el orden usual de los números reales, y se considera que

$$\mathrm{\forall }x\in \mathrm{ℝ}-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$

Hay que señalar que, en este contexto, hay ciertas operaciones “que se pueden realizar” con números reales y estos símbolos, y otras que no, dando lugar a lo que se conoce como “indeterminaciones”, aunque hablando en sentido estricto, las definiciones establecidas en secciones anteriores nos permitirían que no sea estrictamente necesario introducir este tipo de notación, aunque resulta especialmente útil para la representación de funciones reales de variable real. En este contexto, siendo x ∈ ℝ:

■Notación (operaciones permitidas)

a)$x+\mathrm{\infty }=+\mathrm{\infty }$, $x-\mathrm{\infty }=-\mathrm{\infty },\frac{x}{+\mathrm{\infty }}=\frac{x}{\mathrm{\infty }}=0$.

b)Si $x>0$ entonces $x\cdot (+\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty },x\cdot (-\mathrm{\infty })=-\mathrm{\infty }$.

c)Si $x<0$ entonces $x\cdot (+\mathrm{\infty })=-\mathrm{\infty }$, $x\cdot (-\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty }$.

d)Si k > 1 entonces k^+∞ = ∞, y si 0 < k < 1 entonces k^+∞ = 0.

■Indeterminaciones (operaciones no permitidas)

a)$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty },0\cdot \mathrm{\infty },\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }},\frac{0}{0}.$

b)${\mathrm{\infty }}^0,0^0,1^{+\mathrm{\infty }},1^{-\mathrm{\infty }}$.

Ejemplo 3.20. Teniendo en cuenta el apartado anterior, podremos escribir, por ejemplo: $-\frac{\mathrm{\infty }}{2}=-\mathrm{\infty }$, $\mathrm{\infty }\cdot \mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$, $\mathrm{\infty }\cdot (-\mathrm{\infty })=-\mathrm{\infty }\cdot \frac{10}{0+}=\mathrm{\infty }$, $\frac{5}{0^{-}}=-\mathrm{\infty }$, $2+\mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$. $3-\mathrm{\infty }=-\mathrm{\infty }$, $\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$, $-\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }=-\mathrm{\infty }4\cdot \mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }{.5}^{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\infty }$, ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{\infty }}=0$, $\frac{0}{\mathrm{\infty }}=0$, $\frac{2}{\mathrm{\infty }}=0.{\mathrm{\infty }}^4=\mathrm{\infty }$, ${\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\infty }$.

Ejemplo 3.21. ${lim}_{x\to 0}\frac{x+1}{x^2}=\mathrm{\infty }$, ya que, al hallar los límites laterales $\{\begin{array}{l}{lim}_{x\to 0^{+}}\frac{x+1}{x^2}=\frac{1}{0^{+}}=\mathrm{\infty }\\ {lim}_{x\to 0^{-}}\frac{x+1}{x^2}=\frac{1}{0^{+}}=\mathrm{\infty }\end{array}$

Ejemplo 3.22. No existe el ${mín}_{x\to 0}\frac{x-1}{x^2+x}$ puesto que $\{\begin{array}{rl}{mín}_{x\to 0^{+}}\frac{x-1}{x^2+x}& =\frac{-1}{0^{+}}=-\mathrm{\infty }\\ {mín}_{x\to 0^{-}}\frac{x-1}{x(x+1)}& =\frac{-1}{0^{-}}=+\mathrm{\infty }\end{array}$

Ejemplo 3.23. ${mín}_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}={mín}_{x\to 1}\frac{(x^2+x+1)(x-1)}{(x-1)}={mín}_{x\to 1}{x}^2+x+1=3$.

Ejemplo 3.24. ${mín}_{x\to 0}\frac{x}{1-\sqrt{1-x}}={mín}_{x\to 0}\frac{x(1+\sqrt{1-x})}{(1-\sqrt{1-x})(1+\sqrt{1-x})}={mín}_{x\to 0}\frac{x(1+\sqrt{1-x})}{x}={mín}_{x\to 0}1+\sqrt{1-x}=2$.

Ejemplo 3.25. ${mín}_{x\to \mathrm{\infty }}\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x^2-2x}={mín}_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{(\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x^2-2x})(\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^2-2x})}{\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^2-2x}}={mín}_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{2x-1}{\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^2-2x}}=1$.

Ejemplo 3.26. ${lim}_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{2x-1}{\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^2-2x}}={mín}_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{\frac{2x-1}{x}}{\frac{\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^2-2x}}{x}}={mín}_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{2-\frac{1}{x}}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{2}{x}}}=1$.

Observación 3.27. Al igual que sucede con los límites de la suma, producto,… de funciones, se puede demostrar sin demasiada dificultad que el cálculo de límites también se comporta bien con la composición de funciones. En concreto, si lim_x→αf(x) = l y lim_y→lg(y) = m, entonces lim_x→αg(f(x)) = m. Por ejemplo, puesto que, siendo $g\left(x\right)=y=\frac{1}{x}$, se verifica que ${lím}_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=+\mathrm{\infty }$, tendremos que ${lím}_{x\to 0^{+}}\frac{x}{1+e^{1/x}}={lím}_{y\to +\mathrm{\infty }}\frac{1}{y(1+e^y)}=0$.

El siguiente resultado permite obtener el valor de ciertos límites cuando podemos “encerrar” a una función entre otras dos:

Teorema 3.28. (Regla del sandwich) Sean f, g y h funciones reales, f, g, h : A → ℝ, con A ⊂ ℝ, y a ∈ Ac(A). Supongamos que existe algún η > 0 tal que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀x ∈ (a − η, a + η), y lím_x→ag(x) = L = lím_x→ah(x); entonces también se verifica que lím_x→af(x) = L.

Demostración. Puesto que lím_x→ag(x) = L = lím_x→ah(x), dado ε > 0 cualquiera, podemos encontrar δ₁ > 0 y δ₂ > 0 de manera que para ∀x ∈ A tal que 0 < |x − a| < δ₁ se verifique que |g(x) − L| < ε y ∀x ∈ A tal que 0 < |x − a| < δ₂ se verifique que |h(x) − L| < ε. Tomando δ = mín{δ₁, δ₂)} > 0, tendremos que ∀x ∈ A tal que 0 < |x − a| < δ, L − ε < g(x) < L + ε y L − ε < h(x) < L + ε, con lo que L − ε < g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) < L + ε, es decir, |f(x) − L| < ε y, por consiguiente, lím_x→af(x) = L. □

Ejemplo 3.29. Supongamos que queremos calcular el lím_x→∞e^−xsen(x). Como ∀x ∈ ℝ − 1 ≤ sen(x) ≤ 1, tendremos que ∀x ∈ ℝ − e^−x ≤ e^−xsen(x) ≤ e^−x. Ahora bien, puesto que lím_x→∞−e^−x = lím_x→∞e^−x = 0, resulta que lím_x→∞e^−xsen(x) = 0.

Ejemplo 3.30. El límite ${lim}_{x\to 0}x\cos \left(\frac{1}{x}\right)$ se puede hallar también utilizando la regla del sandwich (calculando los límites laterales) del siguiente modo: como $\mathrm{\forall }x\in \mathrm{ℝ}-1\le \cos \left(\frac{1}{x}\right)\le 1$, resulta que, si x > 0 se verifica que $-x\le x\cos \left(\frac{1}{x}\right)\le x$ con lo que ${lím}_{x\to 0^{+}}x\cos \left(\frac{1}{x}\right)=0$, y si $x<0$ tendremos que $-x\ge x\cos \left(\frac{1}{x}\right)\ge x$ de lo que se sigue que ${lim}_{x\to 0^{-}}x\cos \left(\frac{1}{x}\right)=0$, y, en definitiva, que ${lim}_{x\to 0}x\cos \left(\frac{1}{x}\right)=0$.

Ejemplo 3.31. Para hallar el ${lim}_{x\to 0}\frac{x}{2+\mathrm{sen}(1/x)}$ podemos razonar del siguiente modo: como

$$\mathrm{\forall }x\in \mathrm{ℝ}-1\le \mathrm{sen}(1/x)\le 1,$$

tendremos que, ∀x ∈ ℝ 1 ≤ 2+ sen(1/x) ≤ 3, es decir, $\mathrm{\forall }x\in \mathrm{ℝ}\frac{1}{3}\le \frac{1}{2+\mathrm{sen}(1/x)}\le 1$. Pero esta acotación sirve de poco… ahora bien, como

$$0\le \left|\frac{x}{2+\mathrm{sen}(1/x)}\right|=\frac{\left|x\right|}{|2+\mathrm{sen}(1/x\left)\right|}\le \left|x\right|$$

a partir de la regla del sandwich resulta ${lim}_{x\to 0}\left|\frac{x}{2+\mathrm{sen}(1/x)}\right|=0$, y, puesto que ${lim}_{x\to \alpha }\left|f\right(x\left)\right|=0$ si solo si ${lim}_{x\to \alpha }f\left(x\right)=0$, podemos concluir que ${lim}_{x\to 0}\frac{x}{2+\mathrm{sen}(1/x)}=0$.

Observación 3.32. Límites de la forma $f(x{)}^{g\left(x\right)}$ (indeterminación 1^±∞)

Siendo L, M ∈ ℝ, sin entrar en mayores disquisiciones, parece razonable que si lím_x→af(x) = L y lím_x→ag(x) = M, entonces ${lim}_{x\to a}f(x{)}^{g\left(x\right)}=L^M$. Por otra parte, si si ${lím}_{x\to a}f\left(x\right)=1$ y ${lím}_{x\to a}g\left(x\right)=\pm \mathrm{\infty }$ tendríamos una indeterminación de la forma 1^±∞. Teniendo ahora en cuenta que, según vimos en el tema de sucesiones de números reales, ${lím}_{n\to -\mathrm{\infty }}{(1+\frac{1}{n})}^n=e$. Por ello, puede entenderse que ${lím}_{x\to \mathrm{\infty }}{(1+\frac{1}{x})}^x=e$. Ahora, en el caso que nos ocupa, haciendo el cambio de variable $x=\frac{1}{z},{lím}_{x\to \mathrm{\infty }}{(1+\frac{1}{x})}^x={lím}_{z\to 0}(1+z{)}^{\frac{1}{z}}=e$. Haciendo ahora el “cambio de variable” $f\left(x\right)=1+h\left(x\right),$, tendremos que ${lím}_{x\to a}f(x{)}^{g\left(x\right)}={lím}_{x\to a}(1+h\left(x\right){)}^{g\left(x\right)}={lím}_{x\to a}{\left(\right(1+h\left(x\right){)}^{\frac{1}{h\left(x\right)}})}^{h\left(x\right)g\left(x\right)}$ y, si tenemos que ${lím}_{x\to a}(1+h(x){)}^{\frac{1}{h\left(x\right)}}=e$, resultará que, siempre que exista ${lím}_{x\to a}\left(f\right(x)-1)g\left(x\right)$, podremos escribir ${lím}_{x\to a}f(x{)}^{g\left(x\right)}=e^{{lím}_{x\to a}h\left(x\right)g\left(x\right)}=e^{{lím}_{x\to a}\left(f\right(x)-1)g\left(x\right)}$.

Ejemplo 3.33. Para hallar ${lím}_{x\to \mathrm{\infty }}{\left(\frac{2x+7}{2x-6}\right)}^{\sqrt{4x^2+x-3}}$, como

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lím}(\frac{2x+7}{2x-6}-1)\sqrt{4x^2+x-3}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lím}\frac{13\sqrt{4x^2+x-3}}{2x-6}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lím}\frac{13\sqrt{4+\frac{1}{x}-3\frac{1}{x^2}}}{2-\frac{6}{x}}=13,$$

resulta que

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{2x+7}{2x-6}\right)}^{\sqrt{4x^2+x-3}}=e^{{lim}_{x\to \mathrm{\infty }}(\frac{2x+7}{2x-6}-1)\sqrt{4x^2+x-3}}=e^{13}.$$

4. Funciones continuas

Hasta ahora hemos estudiado el comportamiento de una función arbitraria cerca de un punto a de acumulación de su dominio, lo cual ha motivado el concepto de límite de la función en el punto a; hemos notado que el valor de la función en a es irrelevante, pudiendo incluso no existir. En contraste, en lo que sigue estaremos interesados además en comparar el límite de la función en el punto a con el propio valor de la función en a, para lo cual pediremos al punto a que pertenezca al dominio. Surge así el concepto de continuidad de la función en el punto a, el cual pretende distinguir cuando puntos “cercanos” al punto a en el dominio de la función tienen que tener imágenes “cercanas” en el conjunto imagen. Esto motiva la siguiente definición:

Definición 4.1. Sean f una función real de variable real y a un punto en Dom(f) que además es de acumulación de Dom(f) . Se dice que f es continua en a si para cualquier ε > 0 podemos encontrar un δ > 0 de manera que si x ∈ Dom(f) ∧ |x − a| < δ, entonces |f(x) − f(a)| < ε.

Alternativamente, a partir de esta definición y de la definición de límite, se puede comprobar sin dificultad la validez de la siguiente proposición, cuya demostración se propone como ejercicio:

Proposición 4.2. Sea f una función real de variable real y a ∈ Dom(f) ∩ Ac(Dom(f )). Son equivalentes:

a)f es continua en a.

b)lím_x→af(x) = f(a).

Teniendo en cuenta la proposición anterior, también podríamos haber establecido la siguiente definición de continuidad en un punto a:

Definición 4.3. Sea f una función real. Se dice que f es continua en a ∈ Dom(f) ⋂ Ac(Dom(f )) si lím_x→af(x) = f(a).

Observación 4.4. Para que una función sea continua en a deben verificarse tres condiciones:

a)Debe existir la imagen de a, es decir, a ∈ Dom(f).

b)Debe existir lím_x→af(x).

c)Estos dos números deben ser iguales, es decir, lím_x→af(x) = f(a)

Observación 4.5. Si f : A → ℝ una función real de variable real, $B\subset A\text{ y }\mathrm{\forall }x\in Bf$ es continua en x, diremos que f es continua en B.

Observación 4.6. Sea f : A → ℝ una función real de variable real. En lo sucesivo, la afirmación “f es continua” se debe entenderse como que f es continua en todos los puntos de Dom(f), es decir, en todos los puntos en los que está definida.

Observación 4.7. Es habitual decir que f es continua por la izquierda en un punto a si $f\left(a^{-}\right)={lim}_{x\to a^{-}}f\left(x\right)=f\left(a\right)$ y que f es continua por la derecha si $f\left(a^{+}\right)={lim}_{x\to a^{+}}f\left(x\right)=f\left(a\right)$.

A partir de los resultados ya vistos sobre los límites de funciones podemos obtener muchos resultados sobre continuidad cuya demostración, a partir de las ya vistas para los límites de funciones, se propone como ejercicio (en particular, para el apartado c) revísese la demostración de la proposición 3.7 sobre el límite del producto de dos funciones):

Proposición 4.8. Si f, g son funciones continuas en a, entonces:

a)La función f + g es continua en a.

b)La función fg es continua en a.

c)Si g(a) ≠ 0, entonces la función $\frac{f}{g}$es continua en a.

Además, la continuidad se comporta bien respecto a la composición de funciones:

Proposición 4.9. Si f es una función continua en a y g es una función continua en f(a), entonces la función g ∘ f es continua en a.

Demostración. Se ε > 0. Puesto que g es continua en f(a) podremos encontrar un δ₁ > 0 de manera que |g(y) − g(f(a))|< ε para cualquier y ∈ Dom(g) tal que |y − f(a)| < δ₁. Por otra parte, puesto que f es continua en a, dado δ₁ > 0, podremos encontrar un δ > 0 de manera que |f(x) − f(a)| < δ₁ para cualquier x ∈ Dom(f) tal que |x − a| < δ. En definitiva, ∀x ∈ Dom(f) = Dom(g ◦ f) tal que |x − a| < δ tendremos que |f(x) − f(a)| < δ₁ y, por consiguiente |g(f(x)) − g(f(a))| < ε.□

4.1 Algunas funciones continuas

Habitualmente se considera la clase de funciones elementales como la clase mínima de funciones que contiene a las funciones elementales básicas (constantes, identidad, exponenciales, función seno, . . .) de manera que se satisfacen las siguientes condiciones (siempre que la operación correspondiente o la composición tengan sentido):

a)Si dos funciones pertenecen a la clase de funciones elementales, también pertenecen a dicha clase su suma, su producto y su cociente.

b)Si dos funciones pertenecen a la clase de funciones elementales, su composición también pertenece a la clase de funciones elementales.

c)Si una función pertenece a la clase de funciones elementales, su inversa también pertenece a la clase de funciones elementales.

Todas las funciones elementales son continuas en su dominio de definición, lo que incluye a las funciones polinómicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas (en este punto es importante observar que, aunque los tres últimos tipos son muy conocidos, posiblemente nunca las hayáis definido) como tales funciones.

En este punto es importante sen˜alar lo siguiente:

Observación 4.10. Si f es continua en a, lím_x→af(x) = b ∈ Dom(g), y g es una función continua en b = f(a), entonces, debido a la continuidad de g en b

$$\underset{x\to a}{lim}\left(g\right(f\left(x\right)\left)\right)=g\left({lim}_{x\to a}f\right(x\left)\right).$$

es decir, el límite “conmuta” con la función. Debido a esta propiedad podemos escribir, por ejemplo, que

$$\underset{x\to 0}{lim}{e}^{x^2\cos \left(x\right)}=e^{{lim}_{x\to 0}{x}^2\cos \left(x\right)}\mathrm{.}$$

A partir de todo lo visto, no resulta complicado estudiar la continuidad de funciones definidas “por partes” como en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 4.11. Vamos a estudiar la continuidad de la función f : ℝ → ℝ definida por:

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{cl}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}& \text{ si }x<1,\\ -1& \text{ si }x=1,\\ \frac{|x-1|}{1-x}& \text{ si }x>1.\end{array}$$

Como se puede ver, para x < 1 la función es continua, puesto que es el cociente de dos funciones continuas en las que el denominador es siempre ≠ 0. Por otra parte, para x > 1 la función es continua, ya que es una función constante, puesto que $f\left(x\right)=\frac{|x-1|}{x-1}=\frac{x-1}{1-x}=-1$. Finalmente, para x = 1 la función es continua por la derecha, ya que ${lím}_{x\to 1^{+}}=-1=f\left(1\right)$. Sin embargo, f no es continua en x = 1 ya que considerando el cambio de variable $y=\sqrt[3]{x}$ se tiene

$$\underset{x\to 1^{-}}{lím}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}=\underset{y\to 1^{-}}{lím}\frac{y-1}{y^3-1}=\underset{y\to 1^{-}}{lím}\frac{y-1}{(y-1)(y^2+y+1)}=\underset{y\to 1^{-}}{lím}\frac{1}{y^2+y+1}=\frac{1}{3}\ne -1=f\left(1\right).$$

5. Teoremas de Bolzano y de los valores intermedios

Una propiedad importante de las funciones continuas es la siguiente:

Proposición 5.1. Si f es una función continua en a y f(a) ≠ 0, entonces existe un entorno de a, V_δ(a) = (a − δ, a+δ) en el que la función toma el mismo signo que f(a).

Demostración. Podemos suponer que f(a) > 0 (en caso contrario se procedería de manera similar). La idea es jugar con la relación entre ε y δ, pero eligiendo un ε apropiado, pues parece claro que si nos quedamos lo bastante cerca de f(a) la función tendrá que ser positiva. Un candidato razonable es $\epsilon =\frac{f\left(a\right)}{2}>0$, a partir del cual, por la definición de continuidad podemos encontrar un δ > 0 de manera que si |x − a| < δ (que, traducido al lenguaje de entornos, quiere decir que x ∈ V_δ(a)), entonces $\left|f\right(x)-f(a\left)\right|<\frac{f\left(a\right)}{2}$, lo que quiere decir que $0<\frac{f\left(a\right)}{2}=f\left(a\right)-\frac{f\left(a\right)}{2}<f\left(x\right)<f\left(a\right)+\frac{f\left(a\right)}{2}=\frac{3f\left(a\right)}{2}$.□

Teorema 5.2. (Teorema de Bolzano) Sean a, b ∈ ℝ y f : A → ℝ continua en [a, b] ⊂ A. Si f(a) ≠ 0 ≠ f(b) y signo(f(a)) ≠ signo(f(b)) existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Demostración. Para la visión “intuitiva” de este teorema, obsérvese la figura 10. Supongamos que f(a) < 0 ( si f(a) > 0 se razonaría de forma similar. Sea H = {x ∈ [a, b]|f(x) < 0}. Obviamente H está acotado superiormente (por ejemplo b es una cota superior) y H ≠ ∅, pues a ∈ H. Sea c = sup(H). Veamos que f(c) = 0. Para ello, razonamos por reducción al absurdo: supongamos que f(c) ≠ 0. En ese caso

a)Si f(c) < 0, como f es continua en c tenemos que ∃δ > 0 tal que si |x − c| < δ necesariamente f(x) < 0. Pero si x ∈ (c, c + δ) tendremos que f(x) < 0, siendo x >c y x ∈ H en contradicción con que c = sup(H).

b)Si f(c) > 0 entonces c ∉ H. En ese caso, al ser f es continua en c tenemos que ∃δ > 0 tal que si |x − c| <δ necesariamente f(x) > 0. Pero entonces ∀z ∈ (c − δ, c) tendremos f(z) > 0 ∧ z < c, con lo que z sería una cota superior de H (ya que z ∉ H pues f(z) > 0) en contradicción con que c = sup(H).□

Corolario 5.3. (Teorema de los valores intermedios) Sean a, b ∈ ℝ y f : A → ℝ continua en [a, b] ⊂ A. En estas condiciones, ∀c ∈ ℝ comprendido entre f(a) y f(b) ∃z ∈ [a, b] tal que f(z) = c.

Demostración. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad que f(a) ≤ f(b) (si f(a) ≥ f(b) se razonaría análoga- mente. Puesto que c está comprendido entre f(a) y f(b), obsérvese que f(a) ≤ c ≤ f(b)Consideramos la función:

$$\begin{array}{rccc}g:& [a,b]& ⟶& \mathrm{ℝ}\\ & x& \mapsto & g\left(x\right)=f\left(x\right)-c\end{array}$$

Como g es continua en [a.b] (puesto que es la suma de dos funciones continuas) y, dado que $g\left(a\right)=f\left(a\right)-c\le 0$ y $q\left(b\right)=f\left(b\right)-c>0$, por el teorema de Bolzano $\mathrm{\exists }z\in [a,b]\text{ tal que }g\left(z\right)=0$, es decir, $g\left(z\right)=f\left(z\right)-c=0$, de donde $f\left(z\right)=c.$□

6. Funciones crecientes y decrecientes. Funciones acotadas. Teorema de Weierstrass

6.1 Funciones crecientes y decrecientes, pares e impares. Funciones acotadas

Sean f : A → ℝ una función real de variable real, y B ⊂ A.

Definición 6.1. Se dice que f es creciente en B si ∀x₁, x₂ ∈ B se verifica que x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂).

Por otra parte, se dice que f es decreciente en B si ∀x₁, x₂ ∈ B se verifica que x₁ ≥ x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂).

Ejemplo 6.2. La función

$$\begin{array}{lclc}f:& \mathrm{ℝ}& ⟶& \mathrm{ℝ}\\ & x& \mapsto & f\left(x\right)=x^2\end{array}$$

es decreciente en B = (−∞, 0] y creciente en B = [0, ∞).

Sea ahora f : A → ℝ una función real de variable real tal que si x ∈ A ⇒ −x ∈ A.

Definición 6.3. Se dice que f es par si ∀x ∈ A se verifica que f(−x) = f(x). Análogamente, se dice que f es impar si ∀x ∈ A se verifica que f(−x) = −f(x).

Observación 6.4. Obsérvese que la función f(x) = x² representada en la Figura 1 es par, mientras que la función f(x) = x³ representada en la misma figura es impar.

Sea, por último, f : A → ℝ una función real de variable real,

Definición 6.5. Se dice que f está acotada superiormente si $\mathrm{\exists }K\in \mathrm{ℝ}$tal que $\mathrm{\forall }x\in A$se verifica que $f\left(x\right)\le K$. Análogamente, se dice que f está acotada inferiormente si $\mathrm{\exists }K\in \mathrm{ℝ}$tal que $\mathrm{\forall }x\in A$se verifica que $\left|f\right(x\left)\right|\le K$. Finalmente, se dice que f está acotada si $\mathrm{\exists }K\in \mathrm{ℝ}$tal que $e\mathrm{\forall }x\in A$se verifica que $\left|f\right(x\left)\right|\le K$. (De K se dice que es una cota superior -o, en su caso,inferior- de f).

Ejemplo 6.6. La función

$$\begin{array}{rllc}f:& \mathrm{ℝ}& ⟶& \mathrm{ℝ}\\ & x& \mapsto & f\left(x\right)=\frac{x}{1+\left|x\right|}\end{array}$$

está acotada, siendo 1 una cota superior y −1 una cota inferior de f . Por otra parte, la función

$$\begin{array}{rccc}g:& \mathrm{ℝ}& ⟶& \mathrm{ℝ}\\ & x& \mapsto & g\left(x\right)=e^x\end{array}$$

está acotada inferiormente (0 es una cota inferior de g), mientras que la función

$$\begin{array}{lclc}h:& \mathrm{ℝ}& ⟶& \mathrm{ℝ}\\ & x& \mapsto & h\left(x\right)=x^3\end{array}$$

no está acotada ni superior ni inferiormente.

Observación 6.7. Al igual que sucede con el crecimiento y decrecimiento, si f : A → ℝ es una función real de variable real, y B ⊂ A, podemos considerar la restricción a B de la función f y decir, en su caso, que la función f|_B : B → ℝ está acotada (superiormente, inferiormente o ambas cosas). Por ejemplo, la función

$$\begin{array}{ccc}f:& \mathrm{ℝ}⟶& \mathrm{ℝ}\\ & x\to & f\left(x\right)=x^3\end{array}$$

no está acotada, pero sin embargo la restricción de esta función al conjunto [1, 3], ${f|}_{[1,3]}=g$,

$$\begin{array}{ccc}g:& [1,3]\to & \mathrm{ℝ}\\ & x\to & f\left(x\right)=x^3\end{array}$$

si está acotada, siendo 1 una de sus cotas inferiores y 27 una de sus cotas superiores.

Definición 6.8. Se dice que f alcanza un máximo (respectívamente, un mínimo) en x₀ ∈ Dom(f) si ∀x ∈ Dom(f) se verifica que f(x) ≤ f(x₀) (respectivamente, si ∀x Dom(f) se verifica que f(x) ≤ f(x₀)). En este caso también se dice que f alcanza un máximo (respectivamente, un mínimo) absoluto.

Definición 6.9. Si ∃(a, b) ⊂ Dom(f) tal que x₀ ∈ (a, b) ∧ ∀ x ∈ (a, b) f(x) ≤ f(x₀) se dice que f alcanza en x₀un máximo relativo.

Análogamente, si ∃ (a, b) ⊂ Dom(f) tal que x₀ ∈ (a, b) ∧ ∀x ∈ (a, b) f(x₀) ≤ f(x) se dice que f alcanza en x₀un mínimo relativo.

Proposición 6.10. Sean a, b ∈ ℝ y f : A → ℝ. Si f es continua en [a, b] ⊂ Dom(f) entonces f está acotada en [a, b] (i.e., f |_[a,b]está acotada).