Resumen

En este tema vamos estudiar las funciones que toman valores reales y que están definidas en un subconjunto de ℝ. A lo largo de estas notas analizaremos los conceptos de límite y continuidad para este tipo de funciones. En este contexto serán fundamentales los conceptos ya introducidos de punto interior y punto de acumulación de un subconjunto de números reales que permitirán establecer la noción de límite, piedra angular tanto de este tema como del cálculo en general. Como primera intuición, una función real de variable real es continua “si es posible dibujar su representación gráfica sin levantar el lápiz del papel”. Pero si su dominio no es todo ℝ, entonces esta idea intuitiva no sirve (por ejemplo, si consideramos una función real continua cuyo dominio es el conjunto unión de dos intervalos disjuntos). La idea de continuidad se traduce en que “puntos cercanos en el dominio de la función” tienen que tener sus imágenes “cercanas” en el conjunto imagen. Por ello habrá que tratar la idea de “cercanía” entre números reales de un modo riguroso. El estudio de la continuidad alcanza su cénit este tema con los teoremas fundamentales de Bolzano, de los valores intermedios y de Weierstrass, éste último sobre la existencia de puntos den los que se alcanza el máximo y el mínimo de una función continua en un intervalo cerrado y termina con la introducción del concepto de continuidad uniforme, concepto que será necesario, como veremos, para demostrar la integrabilidad de las funciones continuas en un intervalo.