Introducción al pensamiento matemático

Misael E. Marriaga^*

Departamento de Matemática Aplicada, Ciencia e Ingeniería de Materiales y Tecnología Electrónica Universidad Rey Juan Carlos

^*Autor de correspondencia: misael.marriaga@urjc.es

Resumen

En los cursos de nivel superior como cálculo y álgebra, el enfoque matemático evoluciona desde el cálculo hacia un énfasis en las definiciones, teoremas y demostraciones. Esta transición exige que los estudiantes interactuen con la matemática de maneras más abstractas y conceptuales. Este artículo explora lo que se espera de los estudiantes en el ámbito universitario y proporciona estrategias para abordar y comprender las definiciones, los teoremas y las demostraciones. Aunque el enfoque principal se centra en el contenido de un curso de cálculo, las recomendaciones y estrategias presentadas son aplicables a una amplia variedad de cursos de matemáticas de nivel universitario.

Palabras clave
Definiciones — Teoremas — Demostraciones

© 2024 Los autores. Publicado por URJC. Este es un artículo de acceso abierto con licencia CC BY.
Cómo citar este artículo: Marriaga, M.E. Introducción al pensamiento matemótico; Forum Docentis - AP vol. 2024, (3), e26, 2024

Índice

Introducción al pensamiento matemático

Introducción al pensamiento matemático

El Cálculo puede verse como el aparato matemático necesario para estudiar los números reales y las funciones definidas sobre ellos, comprender su estructura subyacente y aplicar lo aprendido en otros contextos. A diferencia de tu primer encuentro con la materia en la escuela secundaria, donde probablemente se enfatizaba el dominio de un recetario de procedimientos asociados a palabras claves en los enunciados de los problemas, nos enfocaremos en desarrollar la habilidad de enfrentarse a problemas nuevos no encontrados previamente en relaciones de ejercicios, deducir el método de resolución escogiendo las herramientas y pasos correctos sin que los indiquen explícitamente en el enunciado y a justificar de manera completa el planteamiento, desarrollo y conclusión de la soluciones. Estas espectativas se detallarán más adelante, así que no te preocupes si no sabes cómo alcanzarlas. El punto clave es que estás a punto de sumergirte en matemáticas serias, con énfasis en que alcances una comprensión profunda de las definiciones, teoremas y demostraciones.

Las matemáticas de nivel superior tienen mucho en común con las matemáticas de la escuela secundaria, y los estudiantes que han sido aceptados en la carrera de Ingeniería en Inteligencia Artificial ya poseen una serie de habilidades matemáticas que les serán útiles. Por otro lado, las matemáticas de nivel superior también difieren en algunos aspectos importantes. Esto significa que la mayoría de los estudiantes necesitan ampliar y adaptar sus habilidades existentes para continuar teniendo éxito. Hacer estas extensiones y adaptaciones puede ser difícil para aquellos que nunca han reflexionado realmente sobre la naturaleza de sus habilidades.

Algo que seguramente has aprendido a hacer es aplicar procedimientos matemáticos para calcular respuestas a preguntas estándar, tal vez combinando palabras clave en el enunciado de una pregunta con una receta memorizada de cálculos de un conjunto de muchas recetas. Esto podría haber sido útil para obtener una buena calificación en el examen de ingreso estandarizado a la universidad, que es un entorno controlado y predecible. Además, a algunas personas les gusta este tipo de trabajo. Les satisface llegar a una página de respuestas correctas y les gusta la seguridad de saber que, si hacen todo bien, sus respuestas serán correctas. A veces comparan favorablemente las matemáticas con otras materias en las que las cosas parecen ser más una cuestión de opinión y “no hay respuestas correctas”.

A otras personas no les gusta este aspecto de las matemáticas. Les parece aburrido hacer muchos ejercicios repetitivos, y obtienen más satisfacción de aprender sobre por qué funcionan los diversos procedimientos y cómo encajan entre sí. Sin embargo, ten en cuenta que saber cómo aplicar los procedimientos es extremadamente importante porque, sin fluidez en los cálculos, es difícil concentrar tu atención en conceptos de nivel superior.

Cuando empieces a tomar cursos de nivel superior, los profesores esperarán que seas fluido en el uso de los procedimientos que ya has aprendido. Esperarán que seas capaz de manipular con precisión expresiones algebraicas, resolver ecuaciones, y así sucesivamente. Esperarán que puedas hacer estas cosas sin tener que detenerte cada vez a buscar una regla, y es posible que no tengan paciencia con los estudiantes que no pueden hacerlo. Esto no es porque sean impacientes con los estudiantes en general; la mayoría de los profesores estarán encantados de pasar mucho tiempo hablando contigo sobre nuevas matemáticas o respondiendo a estudiantes que digan: “Sé cómo hacer esto, pero nunca he entendido por qué lo hacemos de esta manera”. Pero no esperarán volver a enseñar cosas que ya has estudiado. Por lo tanto, deberías repasar tu conocimiento antes de comenzar un curso, especialmente si, por ejemplo, no has hecho matemáticas en todo el verano.

Una vez que comiences, descubrirás que algunas matemáticas de nivel superior implican aprender nuevos procedimientos. Estos procedimientos, como era de esperar, serán más largos y complicados que los que encontraste en trabajos anteriores. Sin embargo, no nos preocupa tu capacidad para aplicar procedimientos largos y complicados, porque para haber llegado tan lejos debes ser capaz de hacer ese tipo de cosas. Aquí, queremos centrarnos en cambios más sustanciales en las formas en que debes interactuar con los procedimientos.

La primera diferencia sustancial es que tendrás más responsabilidad para decidir qué procedimiento aplicar. Por supuesto, ya has aprendido a hacer esto hasta cierto punto. Por ejemplo, has aprendido cómo expandir paréntesis y escribir cosas como:

$(x + 2) (x - 5) = x^{2} - 3 x - 10 .$

Pero, con suerte, también has aprendido que no es sensato expandir cuando intentas simplificar una fracción como esta:

$\frac{x^{2} (x + 2) (x - 5)}{x^{2} + 2 x} .$

Para la fracción, la simplificación es más fácil si mantienes los factores “visibles”. No obstante, muchos estudiantes automáticamente expanden, probablemente porque expandir fue una de las primeras cosas que aprendieron a hacer al estudiar álgebra. Serían, sin embargo, más exitosos en cursos de matemáticas como cálculo y álgebra lineal si aprendieran a detenerse y pensar primero en qué les permitiría avanzar más. Si esto no se aplica a ti para este tipo particular de problema, ¿se aplica en otros? ¿Alguna vez has hecho un cálculo largo y luego te has dado cuenta de que no era necesario? ¿Podrías haberlo evitado si hubieras pensado primero? Parte de decidir qué procedimientos aplicar es darte un momento para pensarlo antes de lanzarte y hacer lo primero que te viene a la mente.

Esto podría no sonar como un gran problema, pero piensa por un momento en cuán a menudo no tienes que tomar una decisión sobre qué procedimiento aplicar. A menudo, las preguntas en los libros o en los exámenes te dicen exactamente qué hacer. Dicen cosas como: “Usa la regla de Cramer para resolver este sistema de ecuaciones”. Incluso cuando una pregunta no te lo dice directamente, a veces es obvio por el contexto. En la escuela secundaria, si tu profesor dedicó una lección a mostrarte cómo aplicar el teorema de Rouché-Frobenius, luego te dio un conjunto de preguntas para hacer, probablemente era seguro asumir que éstas implicarían aplicar automáticamente el teorema de Rouché-Frobenius. Esto te ayudó, pero significa que gran parte del tiempo no tenías que decidir qué procedimiento aplicar. En el mundo en general, y en matemáticas avanzadas, tomar decisiones es más valorado y más esperado. Esto significa que las preguntas que se te presenten en hojas de problemas y exámenes generalmente solo dirán “resuelve este problema” en lugar de “resuelve este problema usando este procedimiento”.

Otra parte de decidir qué procedimientos aplicar es ser capaz de distinguir entre casos que parecen similares pero que se abordan mejor de diferentes maneras. Por ejemplo, considera la integración, y más específicamente la integración por partes. Puede que sepas que esto se utiliza cuando queremos integrar un producto de dos funciones, una de las cuales se simplifica al derivarla, y la otra no se complica más al integrarla. Por ejemplo, en $\int x e^{x} d x, x$ se simplifica si lo derivamos, y e^x no se complica más si lo integramos. Sin embargo, también puedes saber que a veces las situaciones matemáticas parecen superficialmente similares, pero se abordan mejor utilizando diferentes procedimientos. En el caso de la integración, la integración por sustitución podría ser más adecuada. Por ejemplo, en $\int x e^{x^{2}} d x$ , probablemente querremos usar integración por sustitución en lugar de por partes. ¿Puedes ver por qué?

La integración por sustitución es un buen caso para otro punto que nos gustaría hacer, esta vez sobre tomar decisiones dentro de los procedimientos. Podría ser que leíste el final del último párrafo y pensaste: “Pero, ¿qué sustitución debería usar?” Tal vez tus profesores o libros siempre te dijeron qué usar, pero argumentaríamos que no necesariamente deberían tener que hacerlo. Después de un tiempo, deberías notar que ciertas sustituciones son útiles en ciertos casos. Si prestas atención a las estructuras de estos casos, entonces, incluso si no estuvieses seguro de poder elegir una buena sustitución para un caso nuevo, deberías tener una idea de algunas cosas sensatas para probar. Si no lo has pensado deliberadamente antes, te sugerimos que lo hagas ahora. Saca algunas preguntas sobre integración por sustitución y, sin hacer realmente los problemas, mira las sustituciones sugeridas. ¿Puedes anticipar por qué esas sustituciones funcionarán? ¿Puedes entonces anticipar qué funcionaría en casos similares?

Entonces, ¿cómo puede un estudiante mejorar su capacidad para tomar decisiones sobre y dentro de los procedimientos? Tenemos dos sugerencias. La primera es intentar hacer ejercicios de una fuente donde el procedimiento a aplicar no sea obvio. Un buen lugar para buscar es en los libros listados en la sección de bibliografía de la guía docente. La segunda sugerencia es convertir ejercicios ordinarios en oportunidades para la reflexión. Cuando termines un ejercicio, en lugar de simplemente pasar al siguiente, detente y piensa en estas preguntas:

1. ¿Por qué funcionó ese procedimiento?

2. ¿Qué podría cambiarse en la pregunta para que todavía funcione?

3. ¿Qué podría cambiarse en la pregunta para que no funcione?

4. ¿Podría modificar el procedimiento para que funcione en algunos de estos casos?

Todas estas preguntas deberían ayudarte a construir flexibilidad en la aplicación de lo que sabes.

Queremos volver a la idea de que saber cómo aplicar tales procedimientos es solo una parte de entender las matemáticas. Es una parte importante, pero la mayoría de los estudiantes pueden reconocer la diferencia entre aprender a aplicar un procedimiento mecánicamente y entender por qué funciona. Aprender mecánicamente tiene algunas ventajas: generalmente es rápido y relativamente sencillo. Pero también tiene desventajas: si aprendes procedimientos mecánicamente, es más fácil olvidarlos, aplicarlos incorrectamente y mezclarlos (y será más difícil para ti tener tanto éxito en este curso como te gustaría). Desarrollar una comprensión adecuada de por qué las cosas funcionan generalmente es más difícil y lleva más tiempo, pero el conocimiento resultante es más fácil de recordar y más favorable para un razonamiento flexible y preciso (y sin duda te ayudará a obtener una buena calificación en este curso).

Para resumir, antes de tomar cursos de nivel superior como cálculo y álgebra, debes repasar tu conocimiento de los procedimientos estándar porque tus profesores esperarán que seas capaz de usarlos con fluidez. A medida que avances, se esperará que asumas más responsabilidad para decidir qué procedimiento aplicar; podría ser una buena idea practicar esto trabajando en ejercicios de fuentes que no te digan exactamente qué hacer. También se espera que adaptes los procedimientos de manera sensata, y que determines cómo se pueden aplicar los teoremas o definiciones sin necesariamente haber visto muchos ejemplos resueltos. No tendrás éxito en matemáticas de nivel superior si siempre intentas resolver problemas buscando algo que se vea similar y copiándolo. Tienes que ser más reflexivo que eso. Las matemáticas no son solo procedimientos. La fluidez con los procedimientos es importante, pero en muchos casos deberías aspirar a una comprensión más profunda de por qué los procedimientos funcionan.

Definiciones

Nos encontraremos con muchas definiciones, teoremas y demostraciones a lo largo de cualquier asignatura de matemáticas en la universidad.

Una definición no tiene nada que ver con algo que sea verdadero. Solo nos dice lo que significa una palabra matemática. Una definición puede definir un tipo de objeto o puede definir una propiedad.

Ya sabes que una definición nos dice lo que significa una palabra porque has estado usando diccionarios durante mucho tiempo. Pero hay dos diferencias muy, muy importantes entre las definiciones de diccionario y las definiciones matemáticas. Si quieres entender el material en esta asignatura, es vital que entiendas estas diferencias.

La primera diferencia es que cuando los matemáticos (en particular yo, tu profesor de cálculo) enuncian una definición, realmente lo dicen en serio. No quieren decir que esta es una buena descripción de la mayoría de los casos, pero que podría haber excepciones en algún lugar. Esta no es la forma en que funcionan las definiciones de diccionario. Si tomaras dos diccionarios y buscaras un concepto cotidiano, ya sea uno concreto (como “mesa”) o uno abstracto (como “justicia”), ¿esperarías que las definiciones fueran idénticas? Probablemente no. De hecho, probablemente esperarías poder encontrar cosas en el mundo que satisfagan una definición pero no la otra. O encontrar algo que quisieras llamar “mesa” o “justicia”, pero que realmente no satisfaga ninguna de las dos definiciones^*. O encontrar algo para lo que, aunque haya una definición, la gente no esté de acuerdo.

Ahora, compara esto con lo que sucedería si tomaras un libro de matemáticas y buscaras una definición de “número par”. ¿Esperarías poder encontrar un número par que no satisfaga la definición? ¿O un número no par que, sin embargo, satisfaga la definición? Absolutamente no. Las excepciones simplemente no existen. No es como si pudieras encontrar un número tan grande que pudiera ser par sin ser divisible por 2. Si tomaras dos libros de texto, quizás no esperarías que las dos definiciones se redactaran exactamente de la misma manera, pero sí esperarías que fueran lógicamente equivalentes. Es decir, esperarías que todas y solo las cosas que satisfacen la primera definición también satisfagan la segunda. Así que esa es una diferencia: las definiciones matemáticas significan exactamente lo que dicen. No hay excepciones, y podrían existir diferentes redacciones, pero estas deben ser lógicamente equivalentes.

La otra diferencia, que es en parte una consecuencia de la primera, es que las definiciones matemáticas son precisas y operables de una manera que las definiciones de diccionario no lo son. Esto significa que contienen información que podemos manipular realmente en un argumento algebraico o lógico. Por ejemplo, considera la siguiente definición simple:

Definición: Un número es par si es divisible por 2.

“Bueno, sí”, pensarás, “obviamente”. Sin embargo, esta probablemente no es la forma en que tu profesor escribirá esta definición. Es más probable que veas algo como esto:

Definición: Un número n es par si y solo si existe un número entero k tal que n = 2k.

Podrías pensar que esto complica demasiado las cosas. Pero tiene algunas ventajas. La primera es la precisión. Podemos ver esto comparando con el tipo de cosas que los estudiantes a veces escriben cuando intentan definir par. Tienden a decir cosas como “Par es cuando es divisible por 2”. Claramente, eso captura la idea clave, pero no es muy preciso. Para empezar, ¿qué es “es”? Claramente “es” se supone que es un número, pero este número no se presenta adecuadamente. En contraste, la mejor definición nos dice explícitamente que estamos tratando con un número y le da un nombre, n. Por otra parte, la definición del estudiante contiene la locución “es cuando”. Esto tiende a sonar torpe, en matemáticas pero también en otros campos. En matemáticas, si te encuentras escribiendo “es” o “es cuando”, probablemente deberías considerar reformular.

La segunda ventaja es la operatividad. Podemos operar con la definición matemática para demostrar cosas. La mejor definición nos da una forma de capturar y manipular números pares porque establece lo que significa la divisibilidad en términos algebraicos. Podríamos, por ejemplo, usarla para demostrar que cualquier múltiplo entero de un número par también debe ser par, tal vez escribiendo algo como esto:

Supongamos que n es un número par. Entonces (por definición) existe un número entero k tal que n = 2k. Ahora, sea z cualquier número entero y y = zn. Entonces y = z(2k). Pero podemos reescribir esto como y = 2(zk). Ahora zk es un número entero, por lo que y es par porque puede escribirse en la forma requerida.

Podríamos tener las mismas ideas si estuviéramos trabajando con la definición imprecisa del estudiante. Pero la mejor versión nos da una ventaja para escribir argumentos como este al proporcionar alguna notación. Además, esperamos que la definición precisa excluya todos los números que no son pares (para el número 3, no existe un número entero k apropiado). De esta manera, la definición de número par captura la noción de paridad de una manera razonable.

Un punto final aquí es que no “demostramos” definiciones. No podemos, porque no hay nada que demostrar: las definiciones simplemente capturan convenciones en las que todos acordamos usar una palabra para que signifique exactamente lo mismo. Un profesor podría, en algún momento, explicarte cómo una definición captura una idea intuitiva, pero esto no es lo mismo que demostrarla.

Teoremas

Mientras que una definición establece lo que queremos decir con una palabra que describe un objeto o propiedad matemática, un teorema nos habla de una relación entre dos o más tipos de objetos y propiedades; se asume que ya sabemos qué son esos objetos y propiedades. Por supuesto, si no conoces el significado de todas las palabras y símbolos en el enunciado de un teorema, probablemente sentirás que no entiendes el teorema. Sin embargo, ten en cuenta que, incluso si no entiendes un teorema, deberías ser capaz de reconocer que tiene una estructura típica de teorema de la forma:

Si esta cosa es cierta, entonces esta otra cosa también es cierta.

La parte que va con el si se llama la premisa, el supuesto o la hipótesis. La parte que va con el entonces se llama la conclusión. En la vida real, en realidad no es tan simple, porque hay algunas formas de formular teoremas que no hacen tan obvia la estructura “si. . . entonces. . . ”.

Los teoremas nos dicen cosas verdaderas sobre las relaciones entre conceptos. Sin embargo, necesitamos tomarnos la molestia de probarlos. A veces lo hacemos porque los teoremas están lejos de ser obvios. Otras veces, sin embargo, los teoremas son bastante obviamente verdaderos, y lo hacemos por una razón más sutil: demostrar teoremas nos permite ver cómo todos se interrelacionan para formar una teoría coherente.

Una vez que las definiciones están establecidas, los teoremas siguen por necesidad lógica. Por ejemplo, una vez que hemos decidido definir los números pares como números divisibles por 2, debemos concluir que cualquier múltiplo entero de un número par también es par. No tenemos opción respecto a ese tipo de consecuencia.

Debemos mencionar que, aunque solo hemos usado el término teorema, hay varias palabras que a veces se usan en su lugar. Algunas de estas son proposición, lema, afirmación, corolario y el aparentemente abarcador resultado. Lema generalmente se usa para un teorema pequeño que luego se usará para probar uno más grande e importante. Corolario se usa para un resultado que se sigue como una consecuencia bastante inmediata de un teorema importante. Los otros términos son más o menos intercambiables (en nuestra opinión).

Pensar en objetos puede permitirnos vincular nuevos enunciados con nuestro conocimiento existente. Sin embargo, también podemos trabajar hacia la comprensión de los enunciados pensando en sus estructuras lógicas. Para hacerlo, necesitamos prestar atención a los usos matemáticos del lenguaje lógico. Comenzaremos examinando más cuidadosamente las formas en que se usa la palabra si en matemáticas.

Primero, considera un enunciado “Si A, entonces B”. Esto a veces se escribe como “A ⇒ B”, que se lee en voz alta como “A implica B”. El uso de una flecha hace más claro que podemos pensar en este enunciado como si tuviera una dirección, lo cual es importante porque podríamos tener una situación en la que A ⇒ B es un enunciado verdadero pero B ⇒ A no lo es. A veces ambas implicaciones son válidas, como en el caso:

x es par ⇒ x² es par (cierto)
x² es par ⇒ x es par (cierto)

Sin embargo, a veces una es verdadera pero la otra no, como en el caso:

x < 2 ⇒ x < 5 (cierto)
x < 5 ⇒ x < 2 (falso)

Estos enunciados son en realidad algo imprecisos, porque no hemos especificado de qué tipo de objeto es x. Probablemente asumiste que debe ser un entero en el caso del cuadrado y un número real en el caso de las desigualdades, ya que eso tendría sentido. Pero, para ser más claros, podríamos escribir cosas como:

Para cada x ∈ ℝ, x < 5 ⇒ x < 2.

Hacerlo facilita ver por qué este enunciado particular es falso: hay algunos números reales que son menores que 5 pero no menores que 2. Pero los matemáticos a veces omiten tales frases cuando escriben en forma de notas o cuando la interpretación pretendida es obvia.

Cuando quieren discutir ambas implicaciones a la vez, los matemáticos usan una flecha de doble punta que significa “es equivalente a”, o escriben “si y solo si” o su abreviatura “sii”. Así que estas son diferentes formas de escribir el mismo enunciado (verdadero) sobre números enteros:

x es par ⟺ x² es par.
x es par si y solo si x² es par.
x es par sii x² es par.

Hemos visto la frase “si y solo si” antes, en nuestras definiciones. Aquí está de nuevo:

Definición: Un número n es par si y solo si existe un entero k tal que n = 2k.

Para pensar en la frase, podría ser esclarecedor dividir esta definición y escribir cada implicación por separado:

Un número n es par si existe un entero k tal que n = 2k.
Un número n es par solo si existe un entero k tal que n = 2k.

¿Puedes ver cómo esta definición “atrapa” los números que son pares y excluye a los que no lo son?

Una última cosa a tener en cuenta sobre un enunciado de la forma “A si y solo si B” es que, si queremos demostrarlo, podemos tomar uno de dos enfoques. Podemos construir una demostración en la que todas las líneas sean equivalentes entre sí, o probar los dos enunciados A ⇒ B y B ⇒ A por separado.

Los usos de “si” y “ ⇒ ” parecen sencillos cuando estamos considerando enunciados matemáticos simples. Pero nos gustaría llamar tu atención sobre dos posibles fuentes de confusión.

Primero, se necesita pensar un poco para ordenar cuál de los “si” y el “solo si” corresponde a cuál implicación. Deberías pensar en esto, tal vez pensando en cuál podría reemplazar la flecha de “implica” en estas dos versiones del mismo enunciado (verdadero):

$x < 2 \Rightarrow x < 5 x < 5 \Leftarrow x < 2 .$

En segundo lugar, resulta que los estudiantes no siempre interpretan “si” de manera matemática en la vida cotidiana. En la conversación cotidiana, tendemos a hablar de manera bastante imprecisa, confiando en el contexto para ayudar a nuestro oyente a hacer la interpretación que pretendemos. Por ejemplo, imagina que alguien te dice:

Si limpias el coche, entonces puedes salir el viernes por la noche.

Podrías inferir razonablemente de esto que si no limpias el coche, entonces no puedes salir el viernes por la noche. Claramente eso es lo que el hablante pretende. Y alguien más podría inferir que si se te permitió salir el viernes, entonces debes haber limpiado el coche. Pero, de hecho, ninguno de estos es lógicamente equivalente al enunciado original. Tal vez la forma más fácil de ver esto es mirar la lógica en paralelo con nuestros simples enunciados sobre desigualdades:

limpiar coche ⇒ salir viernes	x < 2 ⇒ x < 5
no limpiar coche ⇒ no salir viernes	x ≥ 2 ⇒ x ≥ 5
limpiar coche ⇐ salir viernes	x < 2 ⇐ x < 5.

El segundo y tercer enunciado en cada caso no son lógicamente los mismos que el primero. Alternativamente, podrías pensar en la situación cotidiana y ver que el enunciado original no dice nada sobre lo que sucede si no limpias el coche, por lo que no habría contradicción si no lo limpias pero aún así se te permitiera salir. Técnicamente, la persona que negocia contigo debería decir:

Puedes salir el viernes por la noche si y solo si limpias el coche.

Por supuesto, nadie habla así. Lo cual significa que podrías tener menos práctica de lo que piensas interpretando correctamente las declaraciones lógicas. Usar el lenguaje lógico en un sentido matemáticamente correcto no es demasiado difícil, sin embargo, porque hay casos en los que la interpretación natural del lenguaje sí es la misma que la matemática. Considera la afirmación:

Si Juan es de Sevilla, entonces Juan es de Andalucía.

Nadie que escuche esto soñaría con inferir cualquiera de estas dos cosas:

Si Juan no es de Sevilla, entonces Juan no es de Andalucía.
Si Juan es de Andalucía, entonces Juan es de Sevilla.

Pero estas inferencias son análogas a las que vimos para la afirmación sobre limpiar el coche. Asegúrate de ver cómo.

En el caso de Sevilla, la interpretación natural de la afirmación es la misma que la interpretación matemática. También podemos usarlo para ilustrar un punto general sobre la equivalencia lógica de diferentes implicaciones. Para cualquier afirmación de la forma A ⇒ B, podemos considerar tres afirmaciones relacionadas llamadas su recíproca, inversa y contrapositiva. Esto es lo que significa cada una, utilizando el ejemplo de Sevilla como ilustración.

Original	A ⇒ B	de Sevilla ⇒ de Andalucía
Recíproca	B ⇒ A	de Andalucía ⇒ de Sevilla
Inversa	no A ⇒ no B	no de Sevilla ⇒ no de Andalucía
Contrapositiva	no B ⇒ no A	no de Andalucía ⇒ no de Sevilla.

Esto es lo que significa cada una usando uno de nuestros ejemplos matemáticos simples en su lugar:

Original	A ⇒ B	x < 2 ⇒ x < 5
Recíproca	B ⇒ A	x < 5 ⇒ x < 2
Inversa	no A ⇒ no B	x ≥ 2 ⇒ x ≥ 5
Contrapositiva	no B ⇒ no A	x ≥ 5 ⇒ x ≥ 2.

Esto debería ayudarte a recordar que si A ⇒ B es una afirmación verdadera, entonces su contrapositiva también será verdadera (de hecho, son lógicamente equivalentes), pero su inversa y su recíproca podrían no serlo.

Finalmente, debo señalar que tu profesor será cuidadoso con el uso de “si” y “si y solo si” en los teoremas y demostraciones, pero quizás no sea tan cuidadoso en las definiciones. En una definición, podría simplemente escribir “si” en lugar de “si y solo si”. Esto funciona por la misma razón por la que funciona la comunicación cotidiana: todos saben que, en una definición, esto es lo que se pretende.

A continuación, queremos hablar de las frases “para todo” y “existe”. Estas se llaman cuantificadores porque nos dicen cuántos de algo estamos hablando. Son tan comunes en matemáticas que tenemos símbolos para ellos: usamos “∀” (el cuantificador universal) para significar “para todo” y “∃” (el cuantificador existencial) para significar “existe”.

En declaraciones simples, los cuantificadores son fáciles de entender. Aquí hay una declaración simple con un cuantificador:

$\forall x ∊ ℤ, x^{2} \geq 0 .$

En esta declaración, escribimos ∀x ∈ ℤ para especificar exactamente de qué objetos estamos hablando. Podríamos simplemente escribir ∀x, y algunas veces la gente lo hace cuando es obvio de qué tipo de números (u otros objetos) se trata una declaración. Pero hacerlo podría ser ambiguo. En este caso, la declaración podría igualmente referirse a números reales o complejos, lo que plantea problemas sobre la veracidad de la declaración: “∀x ∈ ℤ, x² ≥ 0” es verdadera, “∀x ∈ ℂ, x² ≥ 0” no lo es. Por lo tanto, es una buena práctica ser específico.

Las declaraciones cuantificadas más complicadas pueden ser más difíciles de entender. A continuación, una definición escrita en palabras y en una forma abreviada usando el nuevo símbolo (que podría leerse de manera más natural como “para cada” en este caso):

Definición: Una función f : ℝ → ℝ es creciente si y solo si, para cada x₁, x₂ ∈ ℝ tales que x₁ < x₂, tenemos f(x₁) ≤ f(x₂).

Definición (abreviada): f : ℝ → ℝ es creciente si y solo si ∀x₁, x₂, ∈ ℝ tales que x₁ < x₂, f(x₁) ≤ f(x₂)

Aquí hay una declaración simple cuantificada que involucra el cuantificador existencial:

∃x ∈ ℤ tal que x²= 25.

Esta es una declaración verdadera, porque cuando los matemáticos dicen “existe”, quieren decir “existe al menos uno”. Aquí, hay dos enteros diferentes x que satisfacen la declaración. En otros casos, puede haber cientos. A los estudiantes a veces les resulta extraño que digamos “existe” sin especificar cuántos, porque, si sabemos exactamente cuántos hay, parece descortés no decirlo. Sin embargo, las matemáticas avanzadas tratan, al menos en parte, de las relaciones generales entre conceptos, en lugar de encontrar “respuestas” como tales. Podemos ver otras razones por las cuales tiene sentido usar “existe” sin especificación adicional si observamos otra definición (nuevamente mostrada tanto en palabras como en una forma abreviada):

Definición: Un número n es par si y solo si existe un entero k tal que n = 2k.

Definición (abreviada): n ∈ ℤ es par si y solo si ∃k ∈ ℤ tal que n = 2k.

Esta definición nos proporciona una forma acordada de decidir si un número es par o no. Para tomar esa decisión, no nos importa cuál sea el k particular, solo nos importa si existe o no uno. También nos permite hacer argumentos generales sobre todos los números pares. Podríamos comenzar diciendo “Supongamos que n es par, entonces ∃k ∈ ℤ tal que n = 2k”. En este caso, no queremos especificar cuál es el k porque queremos que el argumento resultante sea general en el sentido de que se aplique a cualquier número que satisfaga la condición.

Algunas declaraciones matemáticas tienen más de un cuantificador. La siguiente definición (nuevamente con una versión abreviada) podría describirse como doblemente cuantificada o como con dos cuantificadores anidados:

Definición: Un conjunto X ⊆ ℝ es abierto si y solo si para cada x ∈ X existe d > 0 tal que ( x − d, x + d ) ⊆ X.

Definición (abreviada): X ⊆ ℝ es abierto si y solo si ∀x ∈ X ∃d > 0 tal que (x − d, x + d) ⊆ X.

Cuando una declaración tiene más de un cuantificador, el orden en el que aparecen es realmente importante. En este caso, la definición dice: “para cada x, existe un d”. Debemos imaginar tomar un valor particular de x y encontrar un d adecuado (quizás dependiendo de x). Si tomamos un x diferente, podríamos necesitar un d diferente (tal vez uno más pequeño, como en el diagrama de la derecha a continuación).

Si en cambio la definición dijera “existe un d para cada x”, los matemáticos interpretarían esto como que podemos seleccionar un solo d (independiente de x) que funcione para cada x. Eso no es lo mismo en absoluto.

Para comprobar tu comprensión de esto, considera las siguientes dos afirmaciones. Una es verdadera y la otra es falsa. ¿Cuál es cuál?

∃y > 0 tal que ∀x > 0, y < x.
∀x > 0 ∃y > 0 tal que y < x.

Es normal encontrar esto difícil, porque en la vida cotidiana probablemente no distinguiríamos entre estas dos afirmaciones. Sin darnos cuenta, haríamos la interpretación que parece más realista, sin importar la corrección lógica. Por lo tanto, la mayoría de los estudiantes tienen que concentrarse un rato antes de acostumbrarse a leer lo que está literalmente allí y hacer la interpretación matemáticamente correcta.

Aunque hemos escrito los teoremas en la forma “Si. . . entonces. . . ”, también puedes ver otras formulaciones. Estas son algunas comunes:

Teorema: Si f es una función par, entonces $\frac{d f}{d x}$ es una función impar.

Teorema: Supongamos que f es una función par. Entonces $\frac{d f}{d x}$ es una función impar.

Teorema: Toda función par tiene una derivada impar.

Todas estas serían interpretadas como que significan lo mismo: la premisa en cada caso es que la función es par, y la conclusión es que su derivada es impar. Puede parecer extraño que no elijamos una forma y nos atengamos a ella, pero a veces una versión u otra suena más natural, así que a los matemáticos les gusta tener esta flexibilidad.

También verás teoremas de diferentes tipos. Hay, por ejemplo, teoremas de existencia como este:

Teorema: Existe un número x tal que x³ = x.

Una forma de probar un teorema como este es simplemente producir un objeto que lo satisfaga: el número 1 serviría, en este caso. No siempre es tan fácil, pero es importante reconocer que podría serlo, porque a veces los estudiantes se complican haciendo cosas complejas cuando una respuesta simple sería suficiente.

También hay teoremas sobre la no existencia, como este:

Teorema: No existe un número primo máximo.

De hecho, con un poco de reflexión, los teoremas de no existencia pueden reformularse en nuestra forma estándar. Este, por ejemplo, podría escribirse con un cuantificador universal:

Teorema: Para todo número primo n existe un número primo p tal que p > n.

Luego podría reformularse en nuestra forma inicial:

Teorema: Si n es un número primo, entonces existe otro número primo p tal que p > n.

Estas posibilidades de reformulación pueden ser muy útiles cuando queremos empezar a probar algo: a veces reescribir de una manera diferente puede darnos diferentes ideas sobre cosas sensatas para intentar. Sin embargo, el hecho de que a menudo podamos reformular no significa que puedas ser descuidado con tu escritura matemática. El parafraseo descuidado puede cambiar fácilmente el significado lógico de una afirmación. Una vez que te vuelvas fluido en el uso del lenguaje lógico de manera matemática, encontrarás que puedes cambiar de formas sin alterar el significado. Hasta ese punto, deberías pensar cuidadosamente sobre la precisión lógica.

Una gran ventaja de tener significados precisos para los términos lógicos es que nos otorga mucho poder de razonamiento mecánico. Por ejemplo, si sabemos que A ⇒ B y que B ⇒ C, entonces podemos deducir que A ⇒ C. Podemos hacer esto incluso si A, B y C son sobre objetos realmente complicados que nunca hemos conocido y que no entendemos. De manera similar, si quisiéramos probar una afirmación de la forma A ⇒ B, pero no estamos progresando mucho, podemos recordar que la contraposición (no B ⇒ no A) es siempre equivalente a la original, y tratar de probar eso en su lugar.

Esto es lo que queremos decir cuando decimos que podemos desarrollar una comprensión valiosa observando la estructura lógica de una afirmación. Si prestamos atención a construcciones que involucran “si” o un cuantificador, podemos hacer uso de tales regularidades en nuestro razonamiento. Esto es (al menos en parte) lo que la gente quiere decir cuando habla de trabajo formal: podemos concentrarnos en la forma lógica de una oración e ignorar temporalmente su contenido significativo. No tenemos que ignorar el significado, por supuesto, y para la mayor parte de la discusión anterior probablemente es tabas pensando también en los significados. Pero prestar atención a la forma lógica es vital para una comprensión adecuada. Algunos estudiantes son laxos en esto; cuando leen matemáticas, miran principalmente los símbolos, ignorando o pasando por alto las palabras. Esto puede hacer que su comprensión sea defectuosa y su escritura inexacta, porque confunden importantes cuantificadores o implicaciones. Por ejemplo, considera el siguiente teorema:

Teorema de Rolle: Supongamos que f : [a, b] → ℝ es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b) y que f(a) = f(b). Entonces ∃c ∈ (a, b) tal que f'(c) = 0.

Es bastante común ver a los estudiantes cometer errores, escribiendo cosas como esta:

Teorema de Rolle: Supongamos que f : [a, b] → ℝ es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b). Entonces f(a) = f(b) y ∃c ∈ (a, b) tal que f'(c) = 0.

Podemos ver que estos son diferentes al observar sus formas lógicas: una de las premisas en la versión correcta aparece en cambio como parte de la conclusión en la segunda (mira cuidadosamente para asegurarte de que puedes ver esto). Claramente, eso debe hacer una diferencia muy importante, por lo que la versión incorrecta no puede ser lógicamente equivalente a la versión correcta. Sin embargo, todavía podría ser un teorema válido. En este caso, sin embargo, no lo es, lo cual podemos ver pensando en términos de ejemplos. En la versión incorrecta, las premisas introducen una función f que está definida en un intervalo y es continua y diferenciable en este intervalo. La conclusión afirma que los valores de la función son iguales en los extremos del intervalo, pero esto no puede derivarse de manera válida de las premisas, porque hay muchas funciones e intervalos que satisfacen las premisas pero no tienen esta propiedad. Por ejemplo, f(x) = x² es continua en [0, 2] y diferenciable en (0, 2), pero ciertamente no es el caso que f(0) = f(2). Podemos ver cómo un estudiante podría escribir la versión incorrecta en primer lugar, pero alguien que está pensando en el significado de su escritura debería reconocer tales errores al releer.

Esto nos lleva de nuevo a la idea de que tanto la forma lógica como los objetos de ejemplo pueden contribuir a la comprensión matemática, aunque centrarse en cada uno tiene diferentes ventajas y desventajas. Si te fijas principalmente en ejemplos, podrías sentir que entiendes, pero podrías no apreciar la plena generalidad de una afirmación o encontrar difícil ver la estructura lógica de todo un curso. Si te centras principalmente en argumentos formales, podrías ser capaz de ver cómo todo encaja lógicamente, pero podrías encontrarte quejándote de que es muy abstracto y que realmente no entiendes lo que está sucediendo. Tu experiencia con estos temas probablemente variará de un curso a otro, porque algunos profesores dan muchos ejemplos y dibujan muchos diagramas, mientras que otros dan una presentación mucho más formal. Si el enfoque de un profesor no coincide con tu forma preferida de desarrollar la com- prensión, podrías encontrar útil fortalecer tu comprensión de los vínculos entre los objetos de ejemplo y el trabajo formal.

Demostraciones

Has estado construyendo demostraciones (o pruebas) matemáticas durante muchos años. Por ejemplo, para hacer los cálculos necesarios para demostrar que las soluciones de la ecuación x² − 20x + 10 = 0 son $10 + 3 \sqrt{10}$ y $10 - 3 \sqrt{10}$ , escribirías algo como esto:

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 40}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{360}}{2} = \frac{20 \pm 6 \sqrt{10}}{2} = 10 \pm 3 \sqrt{10} .$

Este cálculo utiliza métodos que todos consideran válidos, por lo que captura todo lo que necesitamos para una demostración de que las soluciones son realmente las afirmadas. Para hacer que parezca más una demostración de nivel avanzado, podríamos reescribirlo así:

Afirmación: Si x² − 20x + 10 = 0 entonces $x = 10 + 3 \sqrt{10}$ o $x = 10 - 3 \sqrt{10}$ .

Demostración: Supongamos que x² − 20x + 10 = 0. Entonces, usando la fórmula cuadrática,

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 40}}{2} = 10 \pm 3 \sqrt{10} .$

Esta versión declara explícitamente la afirmación, comienza con la premisa (“Supongamos que x² − 20x + 10 = 0”), y contiene pocas palabras para justificar aquellos pasos que son más sofisticados o menos obvios.

Mi punto es que no hay nada inherentemente misterioso en las demostraciones. Es cierto que la mayoría de las matemáticas de la escuela secundaria no se presentan de esta manera, pero también es cierto que la mayoría de ellas podrían estarlo. Decimos esto porque, en los cursos de nivel superior, gran parte de las matemáticas que encuentres se presentarán de esta forma; las matemáticas de la universidad estarán llenas de teoremas y demostraciones. Esto puede parecer un cambio bastante abrupto, y algunos estudiantes tienen la idea de que la escritura de demostraciones es un arte oscuro y misterioso al que solo los muy privilegiados tienen acceso. No lo es. En casos como el anterior, todo lo que realmente implica es escribir de una manera más profesionalmente matemática, es decir, escribir menos como un estudiante y más como un libro de texto, por así decirlo.

Esto no es para menospreciar las dificultades genuinas que enfrentan los estudiantes universitarios al manejar demostraciones. Obviamente, el ejemplo anterior es simple, y las demostraciones que se te pedirán entender y construir en cursos de nivel avanzado a menudo (aunque no siempre) serán mucho más difíciles. Puede que te lleve un tiempo acostumbrarte a digerir matemáticas presentadas de esta manera, y a escribir tus propias matemáticas de manera más profesional. Pero no hay razón para pensar que no lo lograrás, y esta sección discute algunas cosas a las que podrías prestar atención para acostumbrarte rápidamente.

Una de las cosas que a menudo se te pedirá hacer es demostrar que un objeto matemático satisface una definición. Sin embargo, la pregunta no se formulará de esa manera. Simplemente dirá algo como: “Demuestra que el conjunto (2, 5) es abierto”. Tendrás que interpretar esto como “Demuestra que el conjunto (2, 5) satisface la definición de conjunto abierto”, y revisar la definición de conjunto abierto para asegurarte de que tienes claro lo que esto implica. Esto suena simple, pero a menudo hemos visto estudiantes que, enfrentados con una instrucción como “Demuestra que el conjunto (2, 5) es abierto”, no saben qué hacer. Si no sabes cómo empezar con un problema de demostración, tu primer pensamiento a menudo debería ser, ¿qué dice la definición?

Hemos visto la definición relevante, que dice:

Definición: Un conjunto X ⊆ ℝ es abierto si y solo si ∀x ∈ X, ∃d > 0 tal que (x − d, x + d) ⊆ X.

¿Cómo deberíamos escribir una demostración de que (2, 5) es un conjunto abierto? A menudo, el mejor consejo es seguir la estructura de la propia definición. Queremos demostrar que (2, 5) es abierto, por lo que queremos mostrar que para cada x ∈ (2, 5) existe un d > 0 tal que (x − d, x + d) ⊆ (2, 5). Cuando queremos demostrar que algo es cierto para cada x en algún conjunto, usualmente comenzamos nuestra demostración introduciendo uno, así:

Afirmación: (2, 5) es un conjunto abierto.

Demostración: Sea x ∈ (2, 5) arbitrario.

Aquí, arbitrario significa que estamos tomando cualquier x sin propiedades específicas. No es necesario escribir esto — muchas personas simplemente escribirían “Sea x ∊ (2, 5)” — pero enfatiza que el argumento que sigue funcionará para cualquier x en el conjunto.

Ahora necesitamos mostrar la existencia de un d apropiado. La forma más simple de mostrar la existencia de algo es producir uno. En este caso, necesitamos producir un d que funcione para nuestro x. Este d dependerá de x, y una forma de hacerlo es elegir d como el mínimo de las dos distancias 5 − x y x − 2 (piensa en por qué). Así que podríamos escribir el resto de nuestra demostración de esta manera:

Afirmación: (2, 5) es un conjunto abierto.

Demostración: Sea x ∈ (2, 5) arbitrario. Sea d el mínimo de 5 − x y x − 2. Entonces (x-d, x+d) ⊆ (2, 5). Así que ∀x ∈ (2, 5), ∃d > 0 tal que (x − d, x + d) ⊆ (2, 5). Por lo tanto, (2, 5) es un conjunto abierto.

Observa que esta demostración refleja el orden y la estructura de la definición. Estamos mostrando algo para todo x, así que comenzamos con uno arbitrario. Estamos mostrando que para este x, existe un d apropiado, así que producimos uno. Debido a esto, la estructura de la demostración será obvia para un matemático, por lo que realmente no necesitas escribir la línea “Entonces ∀x ∈ (2, 5) ...”, pero podrías encontrarla útil para tu propio pensamiento.

Algunas personas tienden a incluir diagramas junto con demostraciones como esta, y otras no. Eso es porque los diagramas pueden ser esclarecedores, pero no son necesarios, y no son un sustituto para escribir una demostración correctamente (los diagramas no son demostraciones); los matemáticos (en particular tus profesores de álgebra y cálculo) quieren ver un argumento escrito que esté claramente vinculado a la definición apropiada.

Otro tipo estándar de demostración se conoce como demostración directa. En una demostración directa comenzamos suponiendo que las premisas son verdaderas y avanzamos, mediante una secuencia de manipulaciones válidas o deducciones lógicas, hasta la conclusión deseada. Aquí hay algunos teoremas para los que ya hemos estudiado una demostración directa:

Teorema: Si n es un número par, entonces cualquier múltiplo entero de n es par.

Teorema: Si x² − 20x + 10 = 0 entonces $x = 10 + 3 \sqrt{10}$ o $x = 10 - 3 \sqrt{10}$ .

Teorema: (2, 5) es un conjunto abierto.

Detente y piensa por un momento aquí. ¿Puedes escribir las demostraciones de estas afirmaciones sin mirar? Si no puedes hacerlo de inmediato, ¿puedes recordar la esencia de cómo procedemos en cada caso y reconstruir el resto? Si te das un minuto para cada una, apostamos a que puedes recordar más de lo que inicialmente hubieras pensado. Los estudiantes a menudo tienen muy poca fe en su propia capacidad para recordar ideas matemáticas y reconstruir argumentos alrededor de ellas.

Una nota importante es que cuando hablamos de una demostración directa, nos referimos a la demostración final que escribimos, no necesariamente al proceso de construcción de esa demostración. Es posible que puedas escribir las premisas y simplemente seguir tu intuición hasta llegar a una prueba, pero lo más probable es que tengas que probar algunas cosas como: escribir todo en términos de definiciones, pensar en algunos ejemplos, quizás dibujar un diagrama, etc. Luego, sin embargo, debes trabajar en cómo escribir tu prueba final de manera que quede clara su estructura lógica para un lector. Es probable que sea una buena idea tratar esta escritura como una tarea separada, digna de tu atención más allá de simplemente llegar a una respuesta o una demostración.

Una segunda cosa a tener en cuenta es que las demostraciones directas pueden tener estructuras internas algo más complicadas. La estructura más obvia de este tipo se da en una demostración por casos, que significa lo que parece: dividimos los casos que estamos tratando en grupos razonables y trabajamos con cada uno por separado dentro de la demostración principal. Considera el siguiente teorema:

Teorema: Para todo $x, y ∊ ℝ, máx {x, y} = \frac{x + y + | x - y |}{2}$

Por supuesto, necesitamos definir los símbolos que aparecen en el enunciado.

Definición: Para todo x, y ∈ ℝ,

$máx {x, y} = {\begin{cases} x, & si x \geq y, \\ y, & si x < y . \end{cases}$

Definición: Para todo x ∈ ℝ,

$| x | = {\begin{array}{rr} x, & si x \geq 0, \\ - x, & si x < 0 . \end{array}$

La primera definición le da significado a máx{x, y} como “escoge el número más grande entre x e y”, y la segunda definición es simplemente la función de valor absoluto usual. El teorema afirma que máx puede expresarse en términos de la función de valor absoluto. Para demostrar el teorema, debes reinterpretarlo de la siguiente manera:

Teorema: Para todo x, y ∈ ℝ, la expresión $\frac{x + y + | x - y |}{2}$ satisface la definición de máx{x, y}.

Observa que la definición de máx{x,y} se da en un formato por partes, donde dos casos son obvios: x ≥ y e y > x. La función de valor absoluto también está definida en un formato por partes (y probablemente es la primera vez que la ves escrita formalmente de esta manera). Esto debería sugerirte considerar una prueba por casos. Antes de leer la prueba a continuación, deberías intentar llegar a una por ti mismo.

Demostración: Caso 1: Supongamos que x ≥ y. Entonces x – y ≥ 0 y, por lo tanto, por la definición de la función de valor absoluto, |x - y| = x - y . Por lo tanto,

$\frac{x + y + | x - y |}{2} = \frac{x + y + x - y}{2} = \frac{2 x}{2} = x .$

Caso 2: Supongamos que x < y. Entonces x – y < 0 y, por lo tanto, por la definición de la función de valor absoluto, |x − y| = −(x − y) = y − x. Por lo tanto,

$\frac{x + y + | x - y |}{2} = \frac{x + y + y - x}{2} = \frac{2 y}{2} = y .$

Juntando ambos casos, tenemos que para todo x, y ∈ ℝ,

$\frac{x + y + | x - y |}{2} = {\begin{cases} x, & si x \geq y \\ y, & si x < y . \end{cases}$

Por lo tanto, $\frac{x + y + | x - y |}{2}$ satisface la definición de máx{x,y}.

Entonces, ¿cuándo debes considerar una prueba por casos? A veces verás que no tienes más opción. En esta ilustración, por ejemplo, no tenemos muchas opciones; los valores de máx{x,y} son diferentes dependiendo de si x ≥ y o x < y , así que tenemos que manejar estos casos por separado. En otras situaciones, puede que no sea necesario usar una prueba por casos, pero podría ser conveniente de todos modos porque hay algún tipo de división natural, quizás entre números positivos y negativos (como en la definición de la función de valor absoluto), o entre pares e impares. Finalmente, podría valer la pena comenzar una prueba por casos si crees que puedes construir un argumento para algunos de los objetos a los que se aplica el teorema pero no para otros. Un comienzo es mejor que nada y, una vez que tengas un argumento escrito para un caso, es posible que al reflexionar sobre él se te ocurran ideas sobre cómo continuar.

Un último consejo es que, si has producido una prueba por casos, o si estás mirando una producida por alguien más, podría ser una buena idea preguntarse si se podría reducir el número de casos. No tienes que hacer esto, por supuesto - si tu prueba es válida como está, está bien. Pero recuerda que los matemáticos también valoran la elegancia, y la brevedad contribuye a la elegancia, por lo que es un objetivo valioso.

El siguiente tipo de prueba del que queremos hablar es la demostración por contradicción. Este es un tipo de prueba indirecta, llamada así porque no procedemos directamente de las premisas a la conclusión. En cambio, hacemos una suposición temporal de que nuestra conclusión deseada (o alguna parte de ella) es falsa, y mostramos que esto nos lleva a una contradicción. De esto podemos deducir que la suposición temporal debe haber sido errónea, y por lo tanto que la conclusión deseada es verdadera. Esto suena bastante complicado, pero estás acostumbrado a hacer este tipo de argumento informalmente en la vida cotidiana. Aquí tienes un caso sencillo:

Tu amigo: Daniel estuvo en casa en Vicálvaro todo el fin de semana.
Tú: No, lo vi en Alcorcón el sábado por la tarde.

Aquí estás usando implícitamente una prueba por contradicción. La suposición temporal es que Daniel estaba en Vicálvaro. Tu argumento dice que si hacemos esa suposición, entonces podemos deducir que no estaba en Alcorcón (si quieres, esto usa el “teorema” de que la gente no puede estar en dos lugares a la vez). Pero esto contradice el hecho de que lo viste en Alcorcón. Así que la suposición de que estaba en Vicálvaro debe haber sido errónea.

A continuación, veremos un ejemplo matemático, que involucra la definición de número racional. La notación ℚ denota el conjunto de todos los números racionales y ℤ denota el conjunto de números enteros. Introducimos esta definición aquí:

Definición: x ∈ ℚ si y solo si ∃p, q ∈ ℤ (con q ≠ 0) tal que x = p/q.

El teorema y la demostración a continuación usan el símbolo ∉ para significar “no es un elemento de”, y en este caso y ∉ ℚ significa que y es un número irracional. El teorema y la demostración asumen implícitamente que todos los números con los que estamos trabajando son reales (esto es común en el trabajo temprano con números racionales e irracionales). Como con cualquier teorema y demostración, debes leer todo cuidadosamente, asegurándote de entender lo que está pasando en cada paso.

Teorema: Si x ∈ ℚ e y ∉ ℚ entonces x + y ∉ ℚ.

Demostración: Sea x ∈ ℚ, entonces ∃p, q ∈ ℤ (con q ≠ 0) tal que x = p/q. Sea y ≠ ℚ. Supongamos por contradiction que x + y ∈ ℚ. Esto significa que ∃r, s ∈ ℤ (con s ≠ 0) tal que $x + y = \frac{r}{s}$ . Pero entonces

$y = \frac{r}{s} - x = \frac{r}{s} - \frac{p}{q} = \frac{r q - p s}{s q} .$

Ahora rq − ps ∈ ℤ y sq ∈ ℤ porque p, q, r, s ∈ ℤ. Tambiúen sq ≠ 0 porque q ≠ 0 y s ≠ 0. Por lo tanto y ∈ ℚ. Pero esto contradice la premisa del teorema. Por lo tanto, debe ser el caso que x + y ∉ ℚ.

En esta demostración, la suposición temporal es esta:

Supongamos por contradicción que x + y ∈ ℚ.

Hacer esa suposición temporal nos lleva, mediante un uso razonable de definiciones y álgebra, a esta línea:

Por lo tanto, y ∈ ℚ.

Esto (como se afirma) contradice la premisa del teorema, por lo que nos permite concluir que nuestra suposición temporal debe haber sido errónea, como esto:

Por lo tanto, debe ser el caso que x + y ∉ ℚ.

Debe quedar claro que para comprender adecuadamente una demostración como esta, debes hacer más de lo que habrías tenido que hacer en matemáticas anteriores. En la escuela secundaria, la mayor parte de tu lectura matemática habrá consistido en verificar algo de álgebra. Aquí, tienes que ser más sofisticado. Ciertamente debes comprobar para asegurarte de que puedes ver cómo funciona el álgebra y que no hay errores. Pero eso no es realmente donde está la acción en una demostración como esta. Para entenderla completamente, necesitas entender su estructura global. Debes ser capaz de identificar qué suposiciones se hacen dónde, identificar dónde surge la contradicción y qué es exactamente lo que se contradice, y comprender cómo todo encaja para demostrar que el teorema es verdadero.

El último tipo estándar de prueba que queremos discutir es la prueba por inducción. Dependiendo de tu experiencia previa, es posible que ya te hayas encontrado con esto. Si es así, lo habrás usado para demostrar cosas como esta:

$P (n) \sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} .$

Si no, es posible que no hayas visto esta notación, así que aquí hay una explicación rápida. El símbolo ∑ se llama “sigma” y es una letra griega mayúscula S, utilizada aquí para denotar una suma de i = 1 a i = n. Escrito de forma extendida, el lado izquierdo de lo anterior significa

$\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2}$

Lo que hemos hecho aquí es sustituir i = 1, luego i = 2, luego i = 3, y así sucesivamente, hasta i = n, donde nos detenemos.

Por lo tanto, nuestra expresión original en realidad captura infinitas proposiciones:

$P (1) 1^{2} = \frac{1 (1 + 1) (2 + 1)}{6}$

$P (2) 1^{2} + 2^{2} = \frac{2 (2 + 1) (4 + 1)}{6}$

$P (3) 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} = \frac{3 (3 + 1) (6 + 1)}{6}$

$P (4) 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} = \frac{4 (4 + 1) (8 + 1)}{6}, y así sucesivamente .$

Tener un teorema que captura infinitos casos no es inusual; muchos de los otros teoremas que hemos visto hacen lo mismo. La diferencia aquí es que la forma del enunciado nos permite poner las proposiciones en una lista ordenada P (1), P(2), P (3), P (4), . . .

La prueba por inducción funciona de la siguiente manera. Primero demostramos P (1). Esto suele ser fácil. Luego hacemos algo inteligente. No intentamos demostrar ninguna de las otras proposiciones directamente. En cambio, tomamos un número general k y demostramos que si P (k) es verdadero, entonces P(k +1) también debe ser verdadero. Esto nos da P(1) ⇒ P(2) y, como ya hemos demostrado P(1), podemos concluir que P(2) también es verdadero. También nos da P(2) ⇒ P(3), por lo que podemos concluir que P(3) también es verdadero. Ya entiendes la idea. Hemos hecho una cadena infinita de proposiciones, que son todas verdaderas porque la primera es verdadera y las implicaciones son todas verdaderas:

P(1) ⇒ P(2) ⇒ P(3) ⇒ P(4) ⇒ ….

La prueba por inducción es una de esas ideas que los estudiantes suelen encontrar intuitivamente sencillas cuando se explica en abstracto. Sin embargo, a menudo les resulta difícil de usar en cualquier caso particular, por lo que analizaremos detenidamente el ejemplo con el que comenzamos. En ese ejemplo, es fácil demostrar que P(1) es verdadero:

$1^{2} = 1 y 1 = \frac{1 (1 + 1) (2 + 1)}{6} .$

Demostrar que la implicación P(k) ⇒ P(k + 1) es un poco más difícil. Nos gustaría asumir que P(k) es verdadero y usar esto para demostrar que P(k + 1) también es verdadero. Comenzaríamos haciendo algún trabajo preliminar en este punto, escribiendo algo como esto:

Asumiremos P (k), lo que significa $\sum_{i = 1}^{k} i^{2} = \frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} .$

Queremos demostrar P(k + 1), lo que significa

$\sum_{i = 1}^{k + 1} i^{2} = \frac{(k + 1) ([k + 1] + 1) (2 [k + 1] + 1)}{6}$

lo que, al reescribir el lado izquierdo, significa que queremos

$(\sum_{i = 1}^{k} i^{2}) + (k + 1)^{2} = \frac{(k + 1) ([k + 1] + 1) (2 [k + 1] + 1)}{6},$

lo que, por la suposición sobre P(k), significa que queremos

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + (k + 1)^{2} = \frac{(k + 1) ([k + 1] + 1) (2 [k + 1] + 1)}{6} .$

Entonces solo tengo que hacer un poco de álgebra para mostrar que las últimas dos cosas son, de hecho, iguales (puedes intentar hacerlo).

Sin embargo, esta es definitivamente una situación en la que la forma en que piensas construir una prueba no es necesariamente la misma que la forma en que debes escribirla. El pensamiento anterior es completamente lógico, pero presentarlo de esa manera no funcionaría muy bien porque no coincide con la estructura de lo que estamos tratando de demostrar. Cuando escribimos una prueba de que P(k) ⇒ P(k + 1), realmente queremos que nuestra prueba comience con una clara suposición de P(k) y proceda a través de una deducción clara y ordenada hasta P(k + 1).

Para las pruebas por inducción, favorecemos un diseño que haga que esa estructura sea muy clara. Escribiríamos algo como esto:

Teorema: $\forall n ∊ ℕ, \sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ .

Demostración (por inducción): Sea P(n) el enunciado $\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ .

Obsérvese que $1^{2} = 1 = \frac{1 (1 + 1) (2 + 1)}{6}$ por lo que P(1) es verdadero.

Ahora sea k ∈ ℕ arbitrario y supongamos que P(k) es verdadero, es decir, que

$\sum_{i = 1}^{k} i^{2} = \frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} .$

Entonces

$\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{k + 1} i^{2} & = (\sum_{i = 1}^{k} i^{2}) + (k + 1)^{2} \\ = \frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + (k + 1)^{2} (por la suposicón) \\ = \frac{k (k + 1) (2 k + 1) + 6 (k + 1)^{2}}{6} \\ = \frac{(k + 1) (2 k^{2} + 7 k + 6)}{6} \\ = \frac{(k + 1) (k + 2) (2 k + 3)}{6} \\ = \frac{(k + 1) ([k + 1] + 1) (2 [k + 1] + 1)}{6} . \end{aligned}$

Por lo tanto ∀k ∈ ℕ, P(k) ⇒ P(k + 1). En consecuencia, por inducción matemática, P(n) es verdadero ∀n ∈ ℕ.

Hay un par de cosas a notar sobre esto. Primero, la demostración contiene solo unas pocas palabras, pero estas ayudan a que la estructura sea clara. Segundo, todo el álgebra está en una sola cadena de igualdades que comienza con el lado izquierdo del enunciado de P(k + 1) y termina con el lado derecho. Puedes pensar por qué tiene sentido hacer las manipulaciones en este orden, dado que sabemos lo que buscamos. También puedes pensar por qué la última expresión de la cadena no es necesaria, pero podría ser útil para un lector que quiera vincular la prueba al teorema.

La confusión tiende a surgir con las demostraciones por inducción porque hay muchas cosas en las que pensar. Descubrimos que los estudiantes a menudo se confunden en el punto en el que escribimos: “Supongamos que P(k) es verdadero”. Los estudiantes suelen leer esto y pensar: “Pero eso es lo que queremos demostrar, ¿cómo es que se nos permite suponerlo?” De hecho, en esa etapa de la demostración, no estamos demostrando que P(k) es verdadero, estamos demostrando que P(k) ⇒ P(k+1). Asegúrate de ver la diferencia. Además, los estudiantes a veces se confunden, generalmente porque han permitido que ambigüedades se filtren en su redacción al usar la palabra “eso” en frases como “así que eso verdadero para n”. Hay muchos posibles candidatos para el significado de “eso” en una demostración típica por inducción, por lo que deberías ser más específico. Escribir “Así que P(n) es verdadero” es una forma de hacerlo. (Observa que la demostración anterior no incluye la palabra “eso”; somos muy específicos sobre lo que hemos deducido en cada etapa).

Entonces, ¿cuándo deberías usar una demostración por inducción? En algunos casos esto será obvio, porque es probable que tengas una sección sobre esto en al menos un curso. También te encontrarás con casos en los que deseas demostrar que algo es verdadero para todo n ∈ ℕ, lo cual es una pista de que vale la pena intentar la inducción. Sin embargo, ten en cuenta que los problemas para los cuales la inducción es útil pueden variar bastante. Primero, no hay ninguna razón particular para que una demostración por inducción comience en n = 1. Podrías ser solicitado a demostrar que algo es verdadero para cada n ∈ ℕ tal que n > 4, por ejemplo. En ese caso, simplemente puedes hacer que P(5) sea tu caso base y proceder como antes, excepto que en algún punto, tal vez en el paso de inducción (el punto en la demostración donde aplicas la suposición de que P(k) es verdadero, conocido como la hipótesis de inducción), encontrarás que necesitas n > 4 para justificar alguna manipulación que deseas hacer. Segundo, aunque algunos de los primeros problemas que encuentres involucren trabajar con una suma, la demostración por inducción es útil para muchos otros tipos de problemas. Todo lo que realmente necesitamos es una situación en la que tengamos infinitas declaraciones que puedan ser enumeradas en el orden de los números naturales, lo cual puede suceder de muchas maneras. Por ejemplo, considera estas tareas:

Demuestra que para cada número natural n > 10, 2ⁿ > n³.
Demuestra que para todo n ∈ ℕ, 5³ⁿ + 2ⁿ⁺¹ es divisible por 3.

Para la primera tarea, escribiríamos

Sea P(n) la afirmación de que 2ⁿ > n³.

Luego probaríamos directamente que P(11) es verdadero, es decir, que 2¹¹> 11³. Después, trabajaríamos para demostrar que si k > 10 y 2^k > k³, entonces 2^k+1 > (k + 1)³.

Para la segunda tarea, escribiríamos

Sea P(n) la afirmación de que 5³ⁿ + 2ⁿ⁺¹ es divisible por 3.

Luego probaríamos directamente que P(1) es verdadero, es decir, que 5³ + 2² es divisible por 3. Después, trabajaríamos para demostrar que si 5^3k + 2^k+1 es divisible por 3, entonces 5^3(k+1) + 2^(k+1)+1 es divisible por 3. Observa, en este caso, que la afirmación P(k) no es simplemente “5^3k + 2^k+1”. De hecho, 5^3k + 2^k+1 no es una afirmación en absoluto; no podríamos demostrarlo porque es solo una expresión (para cualquier k en particular, es un número; no puedes “demostrar” un número, y no tiene sentido decir que un número implica otro). La afirmación es “5^3k + 2^k+1 es divisible por 3”.

En nuestra experiencia, comenzar con una declaración clara de P(n) a menudo marca la diferencia entre el éxito y el fracaso al construir una demostración por inducción, especialmente cuando se trata de un tipo de problema nuevo. Esto no es tan sorprendente, por supuesto: antes de comenzar cualquier problema, siempre debes asegurarte de tener claro lo que estás tratando de hacer. En cualquier caso, no siempre te dirán qué método usar, por lo que debes estar atento a casos menos familiares como estos, y debes entrenarte para notar cuándo la demostración por inducción podría ser útil.

Algunos consejos

Anteriormente dijimos que un estudiante nunca debe sentarse frente a un problema y pensar: “No sé qué hacer”. Siempre hay cosas que intentar y, para ser un buen estudiante, debes estar dispuesto a intentarlas. De hecho, debes estar dispuesto a intentar cosas que resulten no funcionar. En nuestra experiencia, a veces los estudiantes no están dispuestos a hacer esto, por tres razones principales.

Primero, a algunos estudiantes no les gusta la inseguridad de no saber exactamente qué hacer. Eso los pone nerviosos. Quieren saber de antemano qué va a funcionar, y a veces piden la garantía del profesor sobre esto (“¿Es esta la forma correcta de hacerlo?”). El problema de buscar siempre esta garantía es que nunca descubres qué podrías haber hecho si lo hubieras intentado, lo que significa que nunca obtienes más confianza, lo que te lleva a un círculo vicioso, teniendo que pedir apoyo todo el tiempo.

Segundo, algunos estudiantes no quieren perder tiempo. Entendemos esto: obviamente nadie quiere pasar mucho tiempo en una sola cosa, especialmente cuando hay tantas cosas interesantes que hacer en la universidad. Pero es un gran error pensar que intentar algo que no funciona es una pérdida de tiempo. El tiempo dedicado a aprender nunca es tiempo perdido. Si intentas un método que no funciona, siempre que reflexiones sobre ello, aprendes por qué no funciona, lo que significa que sabes algo nuevo sobre la aplicabilidad del método. Y podrías ganar alguna idea sobre el problema para tener una mejor idea de qué intentar a continuación. Por supuesto, es un error seguir insistiendo en un método que claramente no está funcionando; la investigación muestra que los buenos solucionadores de problemas se detienen con frecuencia para reevaluar si su enfoque actual parece estar llevándolos a algún lado. Pero es un error aún mayor no empezar.

Tercero, algunos estudiantes no quieren desordenar su papel. Quieren saber que una vez que comiencen a escribir, podrán seguir escribiendo y llegar a una solución correcta, ordenada y nítida. Si esto te aplica, entonces nos tememos que tendrás que superarlo. El verdadero pensamiento matemático no es ordenado. Está lleno de comienzos en falso e intentos parciales y de realizaciones de que lo que parece no estar funcionando aquí sería, de hecho, una parte útil de una solución si se juntara con algo que falló hace diez minutos, o ayer, o la semana pasada. Es muy importante aceptar esto si deseas seguir mejorando como solucionador de problemas matemáticos. Necesitas tener intentos de soluciones parciales en papel por la simple razón práctica de que tu cerebro no puede manejar muchas cosas a la vez. Tienes una enorme cantidad de conocimiento almacenado en lo que se conoce como tu memoria a largo plazo, pero tu memoria de trabajo, donde realmente haces el nuevo pensamiento, tiene una capacidad seriamente limitada. No será lo suficientemente grande como para contener toda la información sobre un problema matemático complicado mientras simultáneamente trabajas en cómo resolverlo. Cuando escribes definiciones, teoremas o cálculos que podrían ayudarte a resolver un problema o construir una demostración, estás usando el papel para complementar tus capacidades cognitivas, extendiendo efectivamente la capacidad de tu memoria de trabajo. Así que no te preocupes por escribir cosas que están mal o que resultan no ser útiles. Siempre puedes redactar una versión ordenada de tu solución o demostración más tarde.

Tus profesores explicarán demostraciones que son largas y lógicamente complicadas. También explicarán demostraciones que dependen de alguna idea realmente ingeniosa. Esto tiende a preocupar a los estudiantes. Piensan: “Bueno, de acuerdo, puedo ver cómo funciona eso, pero yo nunca habría pensado en eso”. Esto los hace preguntarse si son lo suficientemente buenos en matemáticas. Pero no deberías preocuparte, porque no se supone que puedas reinventar toda la matemática moderna teniendo todas las ideas originales tú mismo. Incluso a un estudiante de doctorado en matemáticas no se le esperaría tener muchas ideas totalmente originales. Como estudiante de grado, cuando te enfrentas a una demos- tración como esta, tu tarea es apreciar la idea ingeniosa, entender por qué funciona, pensar en cómo las modificaciones de la misma podrían funcionar en circunstancias ligeramente diferentes, y relacionarla con ideas utilizadas en otras partes del curso o en tu especialidad. Para tranquilizarte más, aquí hay una lista de cosas que se espera que hagas.

Primero, se espera que realices cálculos matemáticos rutinarios similares a los que has visto en matemáticas de nivel inferior. Como dijimos al principio de esta introducción, debes estar preparado para que estos cálculos sean más largos y más complicados que los que has experimentado antes, y debes estar preparado para tener que adaptar el procedimiento de cálculo si un paso en él no es válido para un nuevo caso.

Segundo, se espera que adaptes demostraciones que has visto a casos estrechamente relacionados. Por ejemplo:

▪ Habiendo visto la demostración de que (2, 5) es un conjunto abierto, se podría esperar que demuestres que cualquier intervalo de la forma (a, b) es un conjunto abierto.

▪ Habiendo visto la demostración de que $máx {x, y} = \frac{x + y + | x - y |}{2}$ , se podría esperar que encuentres una fórmula, usando el valor absoluto, para expresar la función

$ɸ (x) = {\begin{cases} x, & si x \geq 0, \\ 0, & si x < 0 . \end{cases}$

En tales casos, a menudo podrás tratar la demostración que has visto como un modelo, y cambiar algunos números de manera adecuada. Sin embargo, para reiterar uno de los puntos principales de esta introducción, no deberías hacer esto sin pensar; debes asegurarte de que cada paso de la demostración realmente funcione para los nuevos casos, y estar listo para hacer ajustes menores si no es así. Es importante tener cuidado en casos donde algún número podría ser cero, por ejemplo, o cuando divides ambos lados de una desigualdad por un número que podría ser negativo.

Tercero, se espera que adaptes demostraciones que has visto a casos que están relacionados, pero no tan estrechamente. Por ejemplo:

▪ Habiendo visto la demostración de que para todo $n ∊ ℕ, Σ_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ , se podría esperar que demuestres que $a^{n} - b^{n} = (a - b) Σ_{i = 1}^{n} a^{n - i} b^{i - 1}$

▪ Habiendo visto la demostración de que (2, 5) es un conjunto abierto, se podría esperar que demuestres que A = {x ∈ ℝ : x² − 1 < 0} es abierto.

En casos como estos, la demostración que has visto será ciertamente útil, pero no podrás tratarla como un modelo. Podrías ser capaz de construir una demostración que sea muy similar en su estructura básica, pero tendrás que pensar más para averiguar exactamente qué necesita cambiarse.

Cuarto, se espera que demuestres que las definiciones se cumplen. A veces se espera que hagas esto con definiciones que no has visto antes, si tu profesor cree que son lo suficientemente sencillas.

Quinto, se espera que construyas demostraciones de teoremas para los cuales no has visto un modelo estrechamente relacionado, o que resuelvas problemas que no has visto a tu profesor resolver en clase. Como hemos dicho, el mayor error que podrías cometer aquí sería sentarte pensando: “No nos han mostrado cómo hacer esto”. Nadie te pedirá que hagas cosas que estén completamente fuera de tu alcance.

Sexto y finalmente, en un examen podrías ser solicitado a resolver algunos problemas desafiantes. A veces, una pregunta podría guiarte a través de una solución en pasos, o podría ofrecer una pista bastante grande para ayudarte con una idea clave o truco útil. A veces, podría simplemente preguntar de forma directa, lo que significa que tendrás que ser capaz de recordar las ideas clave o los trucos útiles tú mismo y hacer el resto. Para hacerlo, necesitarás haber leído y comprendido efectivamente el material en tus apuntes de clase.

_______________________________

^* Por ejemplo, ¿es una “mesa” de 10 metros de altura en una exposición de arte una mesa? más o menos, pero no cumpliría con criterios funcionales como ser una superficie plana sobre la que puedas descansar cosas: nadie podría alcanzar, y de todos modos probablemente no se permitiría tocar la exhibición.