Resumen

En este tema, propio de un curso de introducción (de un cuatrimestre de duración) a la Topología General, vamos estudiar algunas propiedades de los espacios topol\'ogicos compactos, ciertas caracterizaciones que aparecen si se dan ciertas condiciones adicionales, así como (fundamental) su comportamiento con respecto a las funciones continuas definidas en ellos (en particular las funciones continuas que tienen codominio $\mathbb{R}$, para las que la compacidad garantiza la existencia de extremos, es decir puntos en los que dichas funciones alcanzan sus valores máximo y mínimo). La compacidad es un concepto fundamental en topolog\'ia pues tiene muchas propiedades muy \'utiles. Por ejemplo, si un conjunto está sumergido en $\mathbb{R}$ o $\mathbb{R}^n$, entonces la propiedad de ser compacto es equivalente a la de ser un conjunto cerrado y acotado, es decir, un conjunto que contiene a todos sus puntos l\'imite y tal que todos sus puntos están a una distancia finita entre sí. Otra propiedad llamativa es que un conjunto compacto en un espacio $T_2$ se comporta como un punto. Finalmente señalaremos que, aunque la definición más operativa es la de que un espacio topol\'ogico es compacto si y s\'olo si todo recubrimiento abierto del espacio tiene un subrecubrimiento finito, resulta intuitivamente m\'as clara la que resulta de pasar al complementario: Un espacio topológico es compacto si y sólo si cualquier colección de conjuntos cerrados $\{C_i\}_{i \in I}$ del mismo tal que $\cap _{i \in I}C_i=\emptyset$, posee una subcolección finita cuya intersección es también $\emptyset$}