Forum Docentis - Sección IN, Vol. 2024, Núm. 3 (2024)
ISSN: 2952-3052
doi: https://doi.org/10.33732/FD.v2024.n3.21
Recepción: 21/07/2024, Aceptación: 19/09/2024

Teoría de la Utilidad en Problemas de Decisión

Daniel Martín-Cudero^1*

¹ Departamento de Economía Financiera y Contabilidad, Área de Didáctica de la Matemática, Universidad Rey Juan Carlos, Madrid.

^*Autor de correspondencia: daniel.mcudero@urjc.es

© 2025 Los autores. Publicado por URJC. Distribuido en acceso abierto bajo los términos de la licencia CC BY 4.0.

Cómo citar este artículo: Martín-Cudero, D. (2025). Teoría de la Utilidad en Problemas de Decisión. Forum Docentis - IN vol. 2024, (3), e21, 2025

Índice

Introducción

1 Conceptos básicos

1.1 Elementos de un problema de decisión

1.2 Ambientes en un problema de decisión

2 Teoría de la Utilidad

2.1 Introducción

2.2 Utilidad monetaria

3 Ejercicios

3.1 Ejercicios resueltos

3.2 Ejercicios para practicar

Referencias

Introducción

Decidir es un acto que realizamos habitualmente; es una parte constituyente del comportamiento humano. Cada día llevamos a cabo distintos procesos de decisión en los que nos preguntamos qué opción elegir, buscando que sea la mejor alternativa a fin de conseguir un objetivo determinado. La Teoría de la Decisión analiza la forma de realizar dicha selección según unos principios de objetividad y racionalidad, es decir, se trata de una teoría que nos va ayudar en el proceso de adopción de nuestras decisiones.

Para poder aplicar esta teoría, es necesario valorar cuantitativamente las consecuencias de las decisiones que se tomen. Esta cuantificación es, a veces, muy necesaria, pues no siempre los resultados del problema de decisión van a ser numéricos y aunque lo fueran no van a tener el mismo valor para todas las personas pues, por ejemplo, recibir un premio de cien euros no va a tener el mismo valor para un trabajador que ingresa mil euros al mes que para otro que ingresa diez mil. Los resultados de las decisiones van a ser premios o penalizaciones, posiblemente de carácter cualitativo, a las que hay que atribuir una valoración subjetiva en base a las preferencias que establezca la persona encarga de tomar la decisión. En Teoría de la Decisión, a esta atribución se le denomina utilidad.

La Teoría de la Utilidad es actualmente uno de los sustentos principales del análisis y el pensamiento económico. Uno de los primeros matemáticos en investigar sobre esta teoría fue Daniel Bernouilli quien observó que, al tomar decisiones con un cierto grado de incertidumbre, las personas no siempre contemplaban la idea de maximizar su posible ganancia monetaria, sino que lo que intentaban maximizar era la .

Esta idea fue bien recibida por algunos matemáticos como Pierre-Simon Laplace y Jules Dupuit y fundamentalmente por las escuelas marginalistas de mediados del siglo XIX representadas por los economistas Carl Menger, León Walras o William Stanley Jevons, entre otros, cuyo principal aporte fue la ley de utilidad marginal decreciente. Según esta ley, el valor de un determinado bien, para quien lo posee, queda determinado por la atribución de la última unidad producida del bien, decreciendo su utilidad a medida que aumentan las unidades del bien. Esto es, cuanto mayor es la cantidad que consumimos de un bien, menor es la utilidad marginal que nos aporta cada nueva unidad del mismo.

En este sentido, queda claro que la noción de utilidad está estrechamente vinculada a los problemas de decisión. Por tanto, a modo de introducción, veremos la estructura que debe tener un problema de decisión y las distintas situaciones en las que este puede darse, prestando especial atención al ambiente de riesgo; marco principal en la teoría de la utilidad. Posteriormente, estudiaremos las bases sobre las que se asienta la teoría de la utilidad, centrándonos principalmente en las relaciones de preferencia y la utilidad monetaria. Por último, terminamos con la resolución de varios ejercicios prácticos que sirvan al lector como apoyo en el proceso de aprendizaje.

1. Conceptos básicos

1.1 Elementos de un problema de decisión

Un problema de decisión se compone de los siguientes elementos:

1. La persona o institución que toma la decisión y que denominamos decisor. Debe tener claro cuáles son los objetivos que quiere conseguir. Por ejemplo, en el contexto empresarial, las principales tomas de decisiones serán las de maximizar un beneficio o minimizar un coste.

2. Un conjunto $A$ de acciones o alternativas entre las cuales el decisor tiene que elegir aquella que le parezca más conveniente. Evidentemente, debe ser un conjunto completamente definido con todos sus elementos (mínimo dos) identificados.

3. Un conjunto $\Theta$ de estados de la naturaleza, que describen las circunstancias que pueden influir en las decisiones del decisor. Es decir, son los elementos que describen la situación de incertidumbre y que, por tanto, el decisor no puede controlar. En función de su ocurrencia, el resultado del problema de decisión será distinto.

4. El conjunto $R$ de las consecuencias o resultados de adoptar una acción $a\in A$ cuando el estado de la naturaleza es $\theta \in \Theta$. Dicho conjunto se define como la aplicación del producto cartesiano $\Theta \times A$ en el conjunto de los números reales, de acuerdo con la función $L:\Theta \times A\to ℝ$, que denominamos función de pérdida.

Según las circunstancias, cada uno de los conjuntos $A$ y $\Theta$ pueden ser finitos, continuos o arbitrariamente complejos. La pérdida $L(\theta ,a)$ puede ser positiva o negativa. Evidentemente una pérdida negativa se traduce en una ganancia para el decisor. Por tanto, el problema de decisión se podría plantear considerando la función de ganancia, $G(\theta ,a)=-L(\theta ,a)$, en lugar de la de pérdida. En cualquier caso, la diferencia radica en que, en un caso habría de minimizar la pérdida, y en el otro, maximizar la ganancia, a fin de conseguir la decisión más favorable para el decisor.

La estructura de cualquier problema de decisión puede resumirse en una tabla en la que las columnas representan los estados de la naturaleza, $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,...,{\theta }_k\}$, y las filas las alternativas consideradas por el decisor, $A=\{a_1,a_2,...,a_n\}$, tal y como se muestra en la tabla 1.

Se trata, por tanto, de establecer criterios para elegir, en función de las circunstancias, la mejor de las filas. Si $\Theta$ y $A$ no son conjuntos finitos, la presentación de los datos podría complicarse, pero el concepto es el mismo.

1.2 Ambientes en un problema de decisión

Existen diversas circunstancias que pueden alterar el resultado en un problema de decisión. Entre los ambientes que nos podemos encontrar se encuentran los siguientes:

1. Ambiente de certidumbre: El decisor conoce con exactitud el estado en el que se encuentra la naturaleza. Esto es, no existen elementos que puedan condicionar al decisor a la hora de tomar su decisión. Por tanto, cuando un estado de la naturaleza $\theta$ es conocido, la función de pérdida depende únicamente de la acción $a$ del decisor, es decir, $L(\theta ,a)=L\left(a\right)$. En consecuencia, la elección de la mejor alternativa se reduce a minimizar $L\left(a\right)$, esto es, ${\mathrm{\text{mín}}}_{a\in A}L\left(a\right)$.

2. Ambiente de riesgo: El decisor no sabe el estado elegido por la naturaleza, pero conoce como se distribuye la probabilidad con la que se elige. En este caso, para un estado de la naturaleza $\theta$ conocido, las pérdidas $L(\theta ,a_1),L(\theta ,a_2),...,L(\theta ,a_n)$ asociadas a cada una de las acciones posibles, se van a convertir en variables aleatorias $L\left(a_1\right),L\left(a_2\right),...,L\left(a_n\right)$ con función de distribución

$$F_{a_i}\left(x\right)=P\{L\left(a_i\right)\le x\},(x\in ℝ).$$

A este respecto, el problema de decisión se reduce a elegir la más favorable de las distribuciones $F_{a_i}$ o, equivalentemente, la más favorable de las variables $L\left(a_i\right)$. Si tomamos dos acciones $a\prime$ y $a^{*}$ del conjunto $A$, cuando $F_{a\prime }\left(x\right)\le F_{a^{*}}\left(x\right)$, para cualquier $x\in ℝ$, diremos que $a^{*}$domina estadísticamente a $a\prime$ y, por tanto, la acción $a^{*}$ es preferible a la acción $a\prime$, pues hay más probabilidad de obtener pérdidas inferiores a $x$ con $a^{*}$ que con $a\prime$. Sin embargo, puede ocurrir que las gráficas de $F_{a\prime }\left(x\right)$ y $F_{a^{*}}\left(x\right)$ se corten y, por tanto, no haya una acción que domine estadísticamente a la otra. En estos casos, pueden ser muy útiles parámetros de la distribución como pueden ser la media o la varianza. En este caso, lo más simple es elegir aquella acción con menor pérdida esperada, es decir, elegir $a^{*}$ antes que $a\prime$ cuando $E\left[L\left(a^{*}\right)\right]<E\left[L\left(a\prime \right)\right]$.

3. Ambiente de incertidumbre: El decisor no dispone de la distribución de probabilidad con la que se elige el estado de la naturaleza, ya sea porque se desconoce o porque no existe. En este caso, cada acción $a_i$ lleva asociada una función $L(\theta ,a_i)$, y se trata de elegir entre ellas la más favorable. Así, si tomamos dos acciones $a\prime$ y $a^{*}$ del conjunto $A$ y ocurre que $L(\theta ,a\prime )<L(\theta ,a^{*})$ para cualquier $\theta \in \Theta$, entonces diremos que $a\prime$ domina a $a^{*}$ y, por tanto, $a^{*}$ puede ser descartada. Se procede de la misma forma para cada par, pudiendo, en algunos casos, no descartarse ninguna acción, pues puede ocurrir que $L(\theta ,a\prime )=L(\theta ,a^{*})$. Para la elección de la alternativa más favorable de entre las no descartas, existen diversos criterios que pueden consultarse, por ejemplo, en o en [1] o en [2].

4. Decisión con experimentación: El decisor, antes de elegir su acción, puede llevar a cabo un conjunto de observaciones que le den información sobre el estado de la naturaleza, como puede ser la probabilidad de ocurrencia de cada observación. En general, el decisor observa el valor de una variable aleatoria multidimensional $𝐗=(X_1,X_2,...,X_n)$, que puede tomar valores $𝐱=(x_1,x_2,...,x_n)$ y cuya distribución $F_{\theta }\left(𝐱\right)$ depende del estado de la naturaleza $\theta \in \Theta$. En estas circunstancias, el problema de decisión se dice que es estadístico o con experimentación, pues se va a estudiar como estimar el valor de un cierto parámetro, en este caso, un estado de la naturaleza $\theta$, a partir de la observación de una muestra aleatoria $𝐗$, cuya distribución va a depender de $\theta$. En este caso, el problema ahora no va a consistir en elegir una acción en $A$, sino una regla de decisión que asigne un elemento de $A$ a cada valor de $𝐗$. Esto es, la función $d:𝐗\to A$, definida por $d\left(x\right)=a$. Cada regla de decisión $d$ lleva asociada una función de riesgo, definida por

$$R(\theta ,d)=E_{\theta }\left[L(\theta ,d\left(𝐗\right))\right],$$

que representa, para cada estado de la naturaleza, la pérdida esperada. Evidentemente, puede ocurrir que $R(\theta ,d)$ no exista o sea infinita para algunos valores de $\theta$; sin embargo, las reglas de decisión para las que ocurra esto no van a interesar. Por tanto, en un problema de decisión con experimentación la función de riesgo $R(\theta ,d)$ será nuestra nueva función de pérdida y se habrá de considerar el conjunto de todas las posibles reglas de decisión que tengan función de riesgo bien definida y finita.

2. Teoría de la Utilidad

2.1 Introducción

Partimos de un conjunto finito de $n$ elementos, $𝒫=\{P_i{\}}_{i=1}^n$, de premios o penalizaciones, posiblemente cualitativas. Por ejemplo, si un corredor popular tiene que decidir, entre distintas opciones de zapatilla, cuál es la mejor para su objetivo, que puede ser, por ejemplo, correr una maratón, el conjunto puede ser $P_1=\mathrm{\text{“buena amortiguzación y flexibilidad”}}$, $P_2=\mathrm{\text{“buena calidad del material”}}$, $P_3=\mathrm{\text{“buen agarre para mejorar la tracción”}}$, etc. A estos elementos de $𝒫$ se les va a atribuir una valoración o utilidad cuantitativa $u\left(P_i\right)\in ℝ$ en función de las preferencias del decisor, no sólo en cuanto a los elementos de $𝒫$, sino también en cuanto a las distribuciones de probabilidad sobre $𝒫$. A estas distribuciones de probabilidad se les denomina loterías y se especifican en una matriz de la forma

$$p=\left(\begin{array}{cccc}\hfill p_1\hfill & \hfill p_2\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill p_n\hfill \\ \hfill P_1\hfill & \hfill P_2\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill P_n\hfill \end{array}\right),$$

donde $p_1,...,p_n$ son las probabilidad con las que se consigue cada uno de los premios o penalizaciones $P_1,...,P_n$, siendo $p_i\in [0,1]$ y ${\sum }_{i=1}^n{p}_i=1$. Al conjunto de estas loterías lo denotamos $\widetilde{𝒫}$.

Nótese que para cualesquiera $p_1,\dots ,p_k\in \tilde{P}$ y escalares ${\alpha }_1,...,{\alpha }_k\ge 0$, con ${\sum }_{i=1}^k{\alpha }_i=1$, se verifica $\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{p}_i\in \tilde{P}$, donde

$$\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{p}_i=\left(\begin{array}{cccc}\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{p}_{i,1}& \sum _{i=1}^k{\alpha }_i{p}_{i,2}& \cdots & \sum _{i=1}^k{\alpha }_i{p}_{i,n}\\ P_1& P_2& \cdots & P_n\end{array}\right)$$

supuesto que $p_1,...,p_k$ se concentren sobre los mismos premios $P_1,...,P_n$.

Una utilidad sobre $\tilde{p}$ es una aplicación $u:\widetilde{𝒫}\to ℝ$ definida por

$$u\left(\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{p}_i\right)=\sum _{i=1}^k{\alpha }_{i}u\left(p_i\right),$$

para cualesquiera $p_1,...,p_{𝐤}\in \widetilde{𝒫}$ y ${\alpha }_1,...,{\alpha }_k\ge 0$, con ${\sum }_{i=1}^k{\alpha }_i=1$. Asi, si tenemos dos loterías $p_1$ y $p_2$ basta con que se satisfaga

$$u[\alpha p_1+(1-\alpha )p_2]=\alpha u\left(p_1\right)+(1-\alpha )u\left(p_2\right).$$

Por tanto, la valoración subjetiva de cualquier lotería $p\in \widetilde{𝒫}$ es

$$u\left(p\right)=\sum _{i=1}^n{p}_{i}u\left(P_i\right),$$

esto es, el valor esperado de las utilidades atribuidas a los premios o penalización $P_i\in 𝒫$, respecto a las probabilidades $p_i$ que definen la lotería $p$.

Relación de preferencia:

Una relación de preferencia $\preccurlyeq$ en $\widetilde{𝒫}$ es un preorden completo en $\widetilde{𝒫}$, esto es, se verifican las propiedades reflexiva, transitiva y completitud de cualquier relación binaria:

◾ Reflexiva: $p\preccurlyeq p$, para cualquier $p\in \widetilde{𝒫}$.

◾ Transitiva: Si $p_1\preccurlyeq p_2\preccurlyeq p_3$ entonces $p_1\preccurlyeq p_3$, para cualesquiera $p_1,p_2,p_3\in \widetilde{𝒫}$.

◾ Completitud: Si $p_1,p_2\in \widetilde{𝒫}$ se verifica que, o bien $p_1\preccurlyeq p_2$, o bien $p_2\preccurlyeq p_1$. Cuando se dan ambas simultáneamente, se dice que $p_1$ y $p_2$ son equivalentes y se denota $p_1\sim p_2$.

Nótese que $\sim$ es una relación de equivalencia, pues aparte de las propiedades reflexiva y transitiva, también es simétrica, esto es, si $p_1\sim p_2$, entonces $p_2\sim p_1$. Por otro lado, si $p_1\preccurlyeq p_2$ y $p_1\nsim p_2$, se escribe $p_1\prec p_2$.

En este sentido, la utilidad $u$ y la relación preferencia $\preccurlyeq$ diremos que son semejantes si se verifica la siguiente doble implicación:

$$p_1\preccurlyeq p_2\iff u\left(p_1\right)\le u\left(p_2\right).$$

Ahora bien, ¿qué relaciones de preferencia en $\widetilde{𝒫}$ tienen una utilidad a la que son semejantes? La respuesta que dieron John Von Neumann y Oskar Morgenster a esta pregunta es que basta que se verifiquen los siguientes dos axiomas (consultar [3]):

1. Axioma de continuidad: Si $p_1\prec p_2\prec p_3\in \widetilde{𝒫}$, existen $\alpha ,\alpha \prime \in (0,1)$ tal que

$$\alpha p_3+(1-\alpha )p_1\prec p_2\prec \alpha \prime p_3+(1-\alpha \prime )p_1.$$

Visto de otra forma, en el conjunto de resultados de $\widetilde{𝒫}$ ordenado de peor a mejor (o menor a mayor preferencia) $p_1\preccurlyeq p_2\preccurlyeq \cdots \preccurlyeq p_{𝐧}$, siendo $p_1\preccurlyeq p_{𝐧}$ y $p_1\preccurlyeq p_{𝐢}\preccurlyeq p_{𝐧}$, para cualquier resultado $p_{𝐢}\in \widetilde{𝒫}$, todo decisor racional está en condiciones de asignar una probabilidad $u\left(p_{𝐢}\right)\in [0,1]$ al mejor resultado de forma que

$$p_{𝐢}\sim \left(\begin{array}{cc}\hfill 1-u\left(p_{𝐢}\right)\hfill & \hfill u\left(p_{𝐢}\right)\hfill \\ \hfill p_1\hfill & \hfill p_{𝐧}\hfill \end{array}\right).$$

Si aplicamos el axioma a una lotería simple $p$, es claro que

$$P_i\sim \left(\begin{array}{cc}\hfill 1-u\left(P_i\right)\hfill & \hfill u\left(P_i\right)\hfill \\ \hfill P_1\hfill & \hfill P_n\hfill \end{array}\right).$$

2. Axioma de sustitución: Si $p_1,p_2,p_3\in \widetilde{𝒫}$ y $\alpha \in (0,1]$, se verifica

$$p_1\preccurlyeq p_2\iff \alpha p_1+(1-\alpha )p_3\preccurlyeq \alpha p_2+(1-\alpha )p_3.$$

Para una lotería simple $p$ se puede sustituir cada resultado $P_i$ por su lotería equivalente

$$P_i\sim \left(\begin{array}{cc}\hfill 1-u\left(P_i\right)\hfill & \hfill u\left(P_i\right)\hfill \\ \hfill P_1\hfill & \hfill P_n\hfill \end{array}\right).$$

Así, si ordenamos de menor a mayor preferencia los elementos de $𝒫$, esto es, $P_1\preccurlyeq P_i\preccurlyeq P_n$, para cualquier $P_i\in 𝒫$, al realizar la sustitución, cualquier lotería simple, se puede transformar en otra lotería con sólo dos resultados, el mejor y el peor:

$$p\sim \left(\begin{array}{cc}\hfill u\left(p_1\right)\hfill & \hfill u\left(p_{𝐧}\right)\hfill \\ \hfill P_1\hfill & \hfill P_n\hfill \end{array}\right),$$

siempre que se asigne probabilidad $u\left(p_1\right)={\sum }_{i=1}^n{p}_{i}u\left(P_i\right)$ al mejor resultado y probabilidad $u\left(p_{𝐧}\right)={\sum }_{i=1}^n{p}_i(1-u\left(P_i\right))$ al peor.

De estos dos axiomas resulta el siguiente teorema:

Teorema de Von Neumann-Morgensten:

Si una relación de preferencia $\preccurlyeq$ en $\widetilde{𝒫}$ verifica los axiomas de sustitución y continuidad, existe una utilidad $u$ en $\widetilde{𝒫}$, única salvo transformaciones lineales, semejante a $\preccurlyeq$ (consultar demostración en [1], p. 23).

Podemos deducir que si $u$ es semejante a $\preccurlyeq$, también lo será cualquier otra utilidad $v$ de la forma $v={\lambda }_{1}u+{\lambda }_2$, con ${\lambda }_1>0$ y ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in ℝ$. Ninguna otra utilidad que no se pueda expresar de esta forma, no puede ser semejante a $\preccurlyeq$.

2.2 Utilidad monetaria

Consideremos que el conjunto $𝒫$ está compuesto por premios de la forma $P\left(x\right)$ a los que se adjudica una función de utilidad $u\left(x\right)$, siendo $x$, la cantidad monetaria, positiva o negativa, que se recibe. El teorema de Von Neumann-Morgensten nos va a permitir transformar a utilidad las preferencias del decisor. De esta forma, suponiendo que el decisor indique sus preferencias atendiendo a los axiomas de sustitución y continuidad, el teorema asegura que se podrá definir la utilidad $u\left(x\right)$ que el decisor otorga a cada cantidad $x$.

Ejemplo:

Una rifa ofrece la posibilidad de ganar premios de $1.000$, $10.000$ y $50.000$ euros, o bien, no ganar nada. Uno de los participantes manifiesta las siguientes preferencias:

◾ Obtener $1.000$ euros de premio le es indiferente a obtener $50.000$ con probabilidad $0,1$ o no ganar nada con probabilidad $0,9$.

◾ Obtener $10.000$ euros de premio le es indiferente a obtener $50.000$ euros con probabiliad $0,3$ o bien no ganar nada con probabilidad $0,7$.

Un boleto $A$ ofrece probabilidades $(0,7;0,15;0,1;0,05)$ de ganar respectivamente cada premio y otro boleto $B$ cuyas probabilidades de ganar son $(0,6;0,25;0,08;0,07)$. Veamos cuánto estaría dispuesto a pagar el participante por cada uno de los boletos. Teniendo en cuenta las preferencias expresadas por el participante, se tiene que:

◾ Según la preferencia (a): $\left(\begin{array}{cc}\hfill 0,9\hfill & \hfill 0,1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 50.000\hfill \end{array}\right)\sim 1.000.$

◾ Según la preferencia (b): $\left(\begin{array}{cc}\hfill 0,7\hfill & \hfill 0,3\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 50.000\hfill \end{array}\right)\sim 10.000.$

Si asignamos utilidad $u\left(0\right)=0$ y $u\left(50.000\right)=1$, resulta que

$$\begin{array}{cc}\hfill & u\left(1.000\right)=0,9\cdot u\left(0\right)+0,1\cdot u\left(50.000\right)=0,1,\hfill \\ \hfill & u\left(10.000\right)=0,7\cdot u\left(0\right)+0,3\cdot u\left(50.000\right)=0,3.\hfill \end{array}$$

Por otro lado, las loterías de los boletos $A$ y $B$ son respectivamente

$$p_{𝐀}=\left(\begin{array}{cccc}\hfill 0,7\hfill & \hfill 0,15\hfill & \hfill 0,1\hfill & \hfill 0,05\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1.000\hfill & \hfill 10.000\hfill & \hfill 50.000\hfill \end{array}\right)\mathrm{\text{y}}{p}_B=\left(\begin{array}{cccc}\hfill 0,6\hfill & \hfill 0,25\hfill & \hfill 0,08\hfill & \hfill 0,07\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1.000\hfill & \hfill 10.000\hfill & \hfill 50.000\hfill \end{array}\right),$$

cuyas ganancias esperadas son

$$\begin{array}{cc}\hfill & E\left(p_A\right)=0,7\cdot 0+0,15\cdot 1.000+0,1\cdot 10.000+0,05\cdot 50.000=3.650\mathrm{\text{euros}},\hfill \\ \hfill & E\left(p_B\right)=0,6\cdot 0+0,25\cdot 1.000+0,08\cdot 10.000+0,07\cdot 50.000=4.550\mathrm{\text{euros}}.\hfill \end{array}$$

Asimismo, las utilidades de ambos boletos son

$$\begin{array}{cc}\hfill & u\left(A\right)=0,7\cdot u\left(0\right)+0,15\cdot u\left(1.000\right)+0,1\cdot u\left(10.000\right)+0,05\cdot u\left(50.000\right)=0,095,\hfill \\ \hfill & u\left(B\right)=0,6\cdot u\left(0\right)+0,25\cdot u\left(1.000\right)+0,08\cdot u\left(10.000\right)+0,07\cdot u\left(50.000\right)=0,119.\hfill \end{array}$$

Podemos interpolar las utilidades de los premios mediante una curva para obtener la función de utilidad $u\left(x\right)$ aproximada. Puede verse que el valor de $u\left(A\right)=0,095$ es muy próximo al de $u\left(1.000\right)=0,1$, por tanto, la cantidad que estaría dispuesto a pagar el participante por el boleto $A$ sería aproximadamente $950$ euros. Razonando de la misma forma para $u\left(B\right)$, la cantidad a pagar por el boleto $B$ sería de aproximadamente $1.200$ euros.

Supongamos ahora que $a<b$ son dos cantidades monetarias y que el decisor puede elegir qué lotería entre los premios $a$ y $b$ le resulta indiferente a $x\in (a,b)$, esto es, cual es el valor de $p$ para el cual se verifica

$$\left(\begin{array}{cc}\hfill 1-p\hfill & \hfill p\hfill \\ \hfill a\hfill & \hfill b\hfill \end{array}\right)\sim x.$$

En este caso, si fijamos $u\left(a\right)=0$ y $u\left(b\right)=1$ tenemos que

$$(1-p)u\left(a\right)+pu\left(b\right)=u\left(x\right)\Rightarrow u\left(x\right)=p.$$

Ahora bien, para $x>b$ si existe un valor $p\prime$ para el cual se satisface

$$\left(\begin{array}{cc}\hfill 1-p\prime \hfill & \hfill p\prime \hfill \\ \hfill a\hfill & \hfill x\hfill \end{array}\right)\sim b,$$

entonces ha de verificarse que

$$(1-p\prime )u\left(a\right)+p\prime u\left(x\right)=u\left(b\right)\Rightarrow p\prime u\left(x\right)=1\Rightarrow u\left(x\right)=1/p\prime .$$

De manera análoga, si para $x<a$ existe un valor $p^{*}$ para el que se sastisface

$$\left(\begin{array}{cc}\hfill 1-p^{*}\hfill & \hfill p^{*}\hfill \\ \hfill x\hfill & \hfill b\hfill \end{array}\right)\sim a,$$

entonces,

$$(1-p^{*})u\left(x\right)+p^{*}u\left(b\right)=u\left(a\right)\Rightarrow (1-p^{*})u\left(x\right)+p^{*}=0\Rightarrow u\left(x\right)=-p^{*}/(1-p^{*}).$$

De esta forma, disponemos de un procedimiento para determinar la función de utilidad monetaria $u\left(x\right)$ de cualquier decisor. Ahora bien, ¿qué características debería tener esta función? Enumeramos las siguientes:

1. Creciente, pues no es coherente pensar que pueda ser $u(x+h)<u\left(x\right)$ si $h>0$.

2. Continua, pues si $x\to \infty$ entonces $u\left(x\right)\to \infty$, es decir, no es razonable pensar que un aumento infinitesimal de $x$ pueda suponer un aumento no infinitesimal de $u\left(x\right)$. Además es claro que los resultados cuantitativos forman parte de un conjunto infinito, esto es, pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo.

3. Única salvo transformaciones lineales no negativas, pues dada cualquier función de utilidad $v\left(x\right)$ se verifica que $v\left(x\right)={\lambda }_{1}u\left(x\right)+{\lambda }_2$, con ${\lambda }_1>0$ y ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in ℝ$ (consecuencia del teorema de Von Neumann-Morgensten). Si todas las funciones de utilidad son transformaciones lineales no negativas de $u\left(x\right)$, también serán transformaciones lineales entre ellas. En efecto, sea

$$P_1\preccurlyeq P_i\sim \left(\begin{array}{cc}\hfill 1-u\left(P_i\right)\hfill & \hfill u\left(P_i\right)\hfill \\ \hfill P_1\hfill & \hfill P_n\hfill \end{array}\right)\preccurlyeq P_n.$$

Como $v$ es función de utilidad se verifica que

$$v\left(P_i\right)=[1-u\left(P_i\right)]v\left(P_1\right)+u\left(P_i\right)v\left(P_n\right)=v\left(P_1\right)+[v\left(P_n\right)-v\left(P_1\right)]u\left(P_i\right)$$

Si ${\lambda }_1=[v\left(P_n\right)-v\left(P_1\right)]>0$ por ser $v$ monótona creciente y ${\lambda }_2=v\left(P_1\right)$, con ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in ℝ$, entonces para cualquier resultado $P_i$ se verifica $v\left(P_i\right)={\lambda }_{1}u\left(P_i\right)+{\lambda }_2$.

4. Cóncava en el intervalo $I$ si $u\left[E\left(p\right)\right]\ge u\left(p\right)$, es decir

$$u[pa+(1-p)b]\ge pu\left(a\right)+(1-p)u\left(b\right),\forall a,b\in I,\forall p\in (0,1),$$

lo cual se traduce en aversión al riesgo, pues se prefiere la cantidad fija o valor esperado $E\left(p\right)=pa+(1-p)b$, a la lotería

$$p=\left(\begin{array}{cc}\hfill p\hfill & \hfill 1-p\hfill \\ \hfill a\hfill & \hfill b\hfill \end{array}\right).$$

En el caso de que $u\left(x\right)$ sea diferenciable, esta es cóncava en el intervalo $I$ si $\partial u/\partial x$ es decreciente en $I$, o bien si ${\partial }^{2}u/\partial x^2\le 0$ en $I$, en caso de que $u$ sea dos veces diferenciable.

5. Convexa en el intervalo $I$ si $u\left[E\left(p\right)\right]\le u\left(p\right)$, es decir

$$u[pa+(1-p)b]\le pu\left(a\right)+(1-p)u\left(b\right),\forall a,b\in I,\forall p\in (0,1),$$

lo cual se traduce en propensión al riesgo, pues se prefiere la lotería

$$p=\left(\begin{array}{cc}\hfill p\hfill & \hfill 1-p\hfill \\ \hfill a\hfill & \hfill b\hfill \end{array}\right),$$

a la cantidad fija o valor esperado $E\left(p\right)=pa+(1-p)b$. En el caso de que $u\left(x\right)$ sea diferenciable, esta es convexa en el intervalo $I$ si $\partial u/\partial x$ es creciente en $I$, o bien si ${\partial }^{2}u/\partial x^2\ge 0$ en $I$, en caso de que $u$ sea dos veces diferenciable.

Función de aversión al riesgo (o coeficiente de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo):

Cuando la función de utilidad sea continua y diferenciable es posible comparar el grado de aversión o propensión al riesgo que esta presenta. Esto lo podemos hacer a través de la función de aversión al riesgo

$$r\left(x\right)=-\frac{\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\left(x\right)}{\frac{\partial u}{\partial x}\left(x\right)}\mathrm{\text{para todo}}x\in I.$$

Esta función representa la variación de la pendiente de $u\left(x\right)$. Así, cuanto mayor sea esta, más pronunciada será la curvatura de $u\left(x\right)$. A este respecto,

◾ Un decisor es averso al riesgo si $r\left(x\right)>0$ para todo $x\in I$.

◾ Un decisor es propenso al riesgo si $r\left(x\right)<0$ para todo $x\in I$.

◾ Un decir es neutral al riesgo si $r\left(x\right)=0$ para todo $x\in I$.

Por otro lado, si $r\left(x\right)$ es creciente, diremos que el decisor se muestra muy precavido al aumentar la cantidad monetaria del premio. En cambio, si $u\left(x\right)$ es decreciente, diremos que se muestra menos cauteloso, pues, en este caso, lo que aumenta es la riqueza.

Observación:

Puede verse que si la función de pérdida de un problema de decisión viniera expresada en utilidades o en cantidades monetarias, la elección de la mejor alternativa en un ambiente de riesgo se limitaría a escoger la menor pérdida esperada.

Función de utilidad discreta:

Existen funciones de utilidad monetaria discontinuas, definidas por puntos $(x_i,u\left(x_i\right))$, que indican el valor $u\left(x_i\right)$ que se atribuye a cada resultado $x_i$ (premio o penalización). A diferencia de las funciones de utilidad continuas, la utilidad no va a estar definida para todos los posibles resultados, sino sólo para unos pocos y, por tanto, en algunos casos, no se va a poder obtener la utilidad del resultado esperado, aunque si se podrá realizar una estimación, al ser todas las funciones de utilidad crecientes.

Ejemplo:

Supongamos que una persona posee una función de utilidad discreta definida por los puntos $(-1.000,0)$, $(0,1/5)$, $(1.000,3/5)$, $(2.000,4/5)$ y $(3.000,1)$ esto es, $u(-1.000)=0$, $u\left(0\right)=1/5$, $u\left(1.000\right)=3/5$, $u\left(2.000\right)=4/5$ y $u\left(3.000\right)=1$. Se le plantea una operación en la que podría perder $1.000$ euros con probabilidad $1/4$, ganar $1.000$ con probabilidad $1/2$, o ganar $3.000$ con probabilidad $1/4$. Esta operación quedaría representada por la lotería

$$p_1=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1/4\hfill & \hfill 1/2\hfill & \hfill 1/4\hfill \\ \hfill -1.000\hfill & \hfill 1.000\hfill & \hfill 3.000\hfill \end{array}\right),$$

cuya utilidad y esperanza son

$$\begin{array}{cc}\hfill & u\left(p_1\right)=1/4\cdot u(-1.000)+1/2\cdot u\left(1.000\right)+1/4\cdot u\left(3.000\right)=11/20,\hfill \\ \hfill & E\left(p_1\right)=1/4\cdot (-1.000)+1/2\cdot 1.000+1/4\cdot 3.000=1.000.\hfill \end{array}$$

En este caso $u\left[E\left(p_1\right)\right]=u\left(1.000\right)=3/5$, lo que nos hace indicar que el decisor es averso al riesgo, pues $u\left[E\left(p_1\right)\right]>u\left(p_1\right)$. Sin embargo, supongamos que se le plantea otra operación en la que podría perder $1.000$ euros con probabilidad $2/3$ o ganar $1.000$ con probabilidad $1/3$. En este caso, la lotería es

$$p_2=\left(\begin{array}{cc}\hfill 2/3\hfill & \hfill 1/3\hfill \\ \hfill -1.000\hfill & \hfill 1.000\hfill \end{array}\right),$$

cuya utilidad y esperanza son

$$\begin{array}{cc}\hfill & u\left(p_2\right)=2/3\cdot u(-1.000)+1/3\cdot u\left(1.000\right)=1/5,\hfill \\ \hfill & E\left(p_2\right)=2/3\cdot (-1.000)+1/3\cdot 1.000=-333,33.\hfill \end{array}$$

Ahora, $u\left[E\left(p_2\right)\right]$ no puede saberse con certeza, pues $u(-333,33)$ no está definido en la función de utilidad discreta. Sin embargo, si conocemos que $u(-333,33)$ se encuentra entre $u(-1.000)=0$ y $u\left(0\right)=1/5$ al ser $u\left(x\right)$ una función creciente. En consecuencia, $u\left[E\left(p_2\right)\right]<u\left(p_2\right)$, y podemos concluir que, en este caso, el decisor es propenso al riesgo.

3. Ejercicios

3.1 Ejercicios resueltos

Ejercicio 1.

El gerente de una empresa manifiesta sus preferencias sobre un conjunto de resultados, en miles de euros, a través de la tabla 2, donde $u\left(x\right)$ representa una función de utilidad discreta. Se está planteando una operación donde la empresa podría perder $100$ euros con probabilidad $0,5$, ganar $300$ euros con probabilidad $0,3$ o no ganar ni perder con probabilidad $0,2$. A este respecto,

◾ ¿Qué actitud ante el riesgo tiene el gerente?

◾ ¿Cuál es la cantidad segura que como mínimo debería conseguir el gerente para no llevar a cabo la operación?

◾ Determina los valores de ${\lambda }_1$ y ${\lambda }_2$ para que $v\left(x\right)={\lambda }_{1}u\left(x\right)+{\lambda }_2$ sea también una función de utilidad que exprese las mismas preferencias del gerente, sabiendo que $v\left(300\right)=-v(-100)=k$, con $k>0$.

Solución:

(a) La lotería que se plantea el gerente es

$$p=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 0,5\hfill & \hfill 0,3\hfill & \hfill 0,2\hfill \\ \hfill -100\hfill & \hfill 300\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right),$$

La utilidad y la esperanza o valor esperado de esta lotería son respectivamente

$$\begin{array}{cc}\hfill & u\left(p\right)=0,5\cdot u(-100)+0,3\cdot u\left(300\right)+0,2\cdot u\left(0\right)=0,5\cdot 0+0,3\cdot 1+0,2\cdot 1/6=1/3,\hfill \\ \hfill & E\left(p\right)=0,5\cdot (-100)+0,3\cdot 300+0,2\cdot 0=40.\hfill \end{array}$$

Al ser una función de utilidad discreta, la utilidad no está definida para todos los posibles resultados y, por tanto, no puede obtenerse la utilidad del resultado esperado $E\left(p\right)=40$. Sin embargo, al ser $u\left(x\right)$ una función creciente, si puede determinarse que $u\left[E\left(p\right)\right]=u\left(40\right)\in (1/6,1/3)$. En consecuencia, es claro que $u\left[E\left(p\right)\right]<u\left(p\right)=1/3$, lo cual indica que el gerente es propenso al riesgo.

(b) Sea $c$ la cantidad monetaria que sería indiferente para el gerente con la lotería que se plantea. Es claro que $p\sim c$, de donde $u\left(p\right)=u\left(c\right)=1/3$. Por tanto, el valor de $c$ para el que la función de utilidad vale $1/3$ es $100$ (en miles de euros), justamente la cantidad segura que le permitiría al gerente no llevar a cabo la operación.

(c) Sea $v\left(x\right)={\lambda }_{1}u\left(x\right)+{\lambda }_2$, con ${\lambda }_1>0$ y ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in ℝ$. Tomando $x=-100$, se tiene que $v(-100)={\lambda }_{1}u(-100)+{\lambda }_2={\lambda }_2$, y tomando $x=300$ se tiene que $v\left(300\right)={\lambda }_{1}u\left(300\right)+{\lambda }_2={\lambda }_1+{\lambda }_2$, de donde $v\left(300\right)={\lambda }_1+v(-100)$. En consecuencia, ${\lambda }_1=v\left(300\right)-v(-100)=k-(-k)=2k$ y ${\lambda }_2=v(-100)=-k$. Por tanto, la función

$$v\left(x\right)=2k\cdot u\left(x\right)-k,(k>0),$$

es una función de utilidad que expresa las mismas preferencias del gerente.

Ejercicio 2

Mamen posee la función de utilidad discreta de la tabla 3 en la que se muestran los resultados de distintas opciones de inversión. Dadas las dos siguientes carteras de inversión, representadas por las loterías

$$p_1=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 0,25\hfill & \hfill 0,5\hfill & \hfill 0,25\hfill \\ \hfill -1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 3\hfill \end{array}\right)\mathrm{\text{y}}{p}_2=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 0,1\hfill & \hfill 0,2\hfill & \hfill 0,7\hfill \\ \hfill -1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 2\hfill \end{array}\right),$$

determinar la decisión óptima y la actitud ante el riesgo que tiene Mamen frente a tal decisión.

Solución:

Las utilidades de cada una de las loterías son

$$\begin{array}{cc}\hfill & u\left(p_1\right)=0,25\cdot u(-1)+0,5\cdot u\left(1\right)+0,25\cdot u\left(3\right)=0,25\cdot 0+0,5\cdot 0,6+0,25\cdot 1=0,55,\hfill \\ \hfill & u\left(p_2\right)=0,1\cdot u(-1)+0,2\cdot u\left(0\right)+0,7\cdot u\left(2\right)=0,1\cdot 0+0,2\cdot 0,2+0,7\cdot 0,8=0,6.\hfill \end{array}$$

Por tanto, la decisión óptima para Mamen es la segunda cartera de inversión, pues

$$\mathrm{\text{máx}}\{u\left(p_1\right),u\left(p_2\right)\}=u\left(p_2\right).$$

Ahora bien, el valor esperado, en miles de euros, de la utilidad asociada a la segunda cartera de inversión es

$$E\left(p_2\right)=0,1\cdot (-1)+0,2\cdot 0+0,7\cdot 2=1,3.$$

Como $u\left(x\right)$ es una función creciente, es claro que $u\left[E\left(p_2\right)\right]=u(1,3)\in (0,6;0,8)$ y, en consecuencia, $u\left[E\left(p_2\right)\right]>u\left(p_2\right)=0,6$, lo que indica que Mamen es aversa al riesgo ante tal decisión. Se puede llegar a la misma conclusión calculando la cantidad segura $c$ que le permitiría a Mamen no elegir la segunda cartera de inversión. Esto es, $p_2\sim c$, de donde $u\left(p_2\right)=u\left(c\right)=0,6$. El valor de $c$ para el que la función de utilidad vale $0,6$ es $1$ (en miles de euros). Nótese que $c=1<E\left(p_2\right)=1,3$, lo que nos hace confirmar su actitud de aversión al riesgo, pues Mamen preferirá el resultado esperado de la lotería $p_2$ a la decisión óptima.

Ejercicio 3.

Mamen se está planteando invertir en bolsa. Para ello, dispone de la siguiente función de utilidad $u\left(x\right)=12x-x^2$ (en miles de euros). Se plantea dos opciones de inversión: en la primera puede ganar $2.000$ euros con una probabilidad del $55\%$ o no ganar nada con una probabilidad del $45\%$, y con la segunda puede perder $500$ euros con una probabilidad del $30\%$ o ganar $1.500$ euros con una probabilidad del $70\%$. ¿Cuál es la decisión óptima para Mamen? ¿Qué cantidad segura debe darle a Mamen otra opción de inversión para que le resulte indiferente a la decisión óptima? ¿Cuál es la actitud ante el riesgo de Mamen?

Solución:

Primero hemos de comprobar si la función $u\left(x\right)$ es de utilidad y, por tanto, puede ser utilizada en la toma de decisiones. Recordemos que una función es de utilidad si es creciente, o al menos no decreciente. Esto ocurre cuando

$$\frac{\partial u}{\partial x}\left(x\right)=12-2x>0\Rightarrow x<6.$$

Ahora bien, las loterías que definen las dos opciones de inversión son

$$p_1=\left(\begin{array}{cc}\hfill 0,55\hfill & \hfill 0,45\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right)\mathrm{\text{y}}{p}_2=\left(\begin{array}{cc}\hfill 0,3\hfill & \hfill 0,7\hfill \\ \hfill -0,5\hfill & \hfill 1,5\hfill \end{array}\right).$$

que tienen utilidades

$$\begin{array}{cc}\hfill & u\left(p_1\right)=0,55\cdot u\left(2\right)+0,45\cdot u\left(0\right)=0,55\cdot 20+0,45\cdot 0=11,\hfill \\ \hfill & u\left(p_2\right)=0,3\cdot u(-0,5)+0,7\cdot u(1,5)=0,3\cdot (-6,25)+0,7\cdot 15,75=9,15.\hfill \end{array}$$

Por tanto, la decisión óptima para Mamen va a ser la primera opción de inversión, pues

$$\mathrm{\text{máx}}\{u\left(p_1\right),u\left(p_2\right)\}=u\left(p_1\right).$$

Ahora bien, la cantidad segura $c$ que debe darle a Mamen cualquier otra opción de inversión para que esta le resulte indiferente frente a $p_1$ es aquella para la que $p_1\sim c$, es decir, $u\left(p_1\right)=u\left(c\right)$. De esta igualdad resulta la ecuación $11=12c-c^2$, cuyo solución es $c_1=1$ y $c_2=11$. Tenemos que descartar la solución $c_2=11$, pues $x=11$ no se encuentra en el intervalo de definición de $u\left(x\right)$. Concluimos, por tanto, que $c=1.000$ euros. Así, si a Mamen se le presentase otra oportunidad de inversión con la que ganar $1.000$ euros con total seguridad, le daría lo mismo elegir entre esta o $p_1$.

Por último, al ser $u\left(x\right)$ continua y dos veces diferenciable, podemos calcular la función de aversión al riesgo $r\left(x\right)$. Esta es

$$r\left(x\right)=\frac{2}{12-2x},$$

que es positiva para todo $x<6$, lo cual indica que la actitud de Mamen es de aversión al riesgo.

Ejercicio 4.

En la situación del Ejercicio 3, Mamen se está planteando tomar la decisión lanzando un dado: si sale un número mayor a $4$ elegirá la primera opción de inversión y en caso contrario elegirá la segunda. Con esta decisión, ¿cuál es la cantidad segura que sería indiferente para Mamen con esta decisión?

Solución:

La lotería que define esta nueva opción de inversión es

$$p\prime =\left(\begin{array}{cc}\hfill 1/3\hfill & \hfill 2/3\hfill \\ \hfill p_1\hfill & \hfill p_2\hfill \end{array}\right).$$

La cantidad segura $c$ que deja indiferente a Mamen con esta decisión es aquella para la que $p\sim c$, es decir, $u\left(p\prime \right)=u\left(c\right)$. Esto es,

$$u\left(p\prime \right)=\frac{1}{3}\cdot u\left(p_1\right)+\frac{2}{3}\cdot u\left(p_2\right)=\frac{1}{3}\cdot 11+\frac{2}{3}\cdot 9,15=9,77=12c-c^2,$$

cuyas soluciones son $c_1=0,878$ y $c_2=11,122$. Obviamos $c_2$ pues no se encuentra en el intervalo que hace a $u\left(x\right)$ función de utilidad. Por tanto, concluimos que $c=878$ euros. Con lo cual a Mamen le daría lo mismo una inversión con un beneficio seguro de aproximadamente $878$ euros o lanzar un dado para decidir con cuál de las dos opciones de inversión $p_1$ o $p_2$ quedarse.

Ejercicio 5.

El ayuntamiento de Toledo, quiere organizar un festival de música en la ciudad. Para organizarlo, puede elegir entre dos empresas de gestión de eventos musicales: la empresa A, con una función de utilidad del beneficio de $u_A\left(x\right)=2x^2+3x$ , o la empresa B, con función de utilidad $u_B\left(x\right)=6x^2-x^3$, con $x$ en millones de euros. El ayuntamiento, antes de tomar una decisión, quiere conocer la actitud ante el riesgo de ambas empresas para beneficios comprendidos entre $0$ y $2$ millones de euros. ¿Cuál de las dos empresas es más propensa o aversa al riesgo?

Solución:

Primero veamos en que intervalos de $x$ las funciones $u_A$ y $u_B$ son de utilidad. En el caso de la empresa A:

$$\frac{\partial u_A}{\partial x}\left(x\right)=4x+3>0\Rightarrow x>-3/4,$$

y para la empresa B:

$$\frac{\partial u_B}{\partial x}\left(x\right)=12x-3x^2>0\Rightarrow 0<x<4.$$

Se comprueba así, que ambas funciones son crecientes en el intervalo $x\in (0,2)$ y, por tanto, de utilidad. Ahora bien, la función de aversión al riesgo de la empresa A verifica que

$$r_A\left(x\right)=\frac{-4}{4x+3}<0,\mathrm{\text{para todo}}x\in (0,2),$$

y la función de aversión al riesgo de la empresa B verifica que

$$r_B\left(x\right)=\frac{6x-12}{12x-3x^2}<0\mathrm{\text{para todo}}x\in (0,2).$$

Nótese que ambas empresas son propensas al riesgo para beneficios comprendidos entre $0$ y $2$ millones de euros. Para ver cuál de las dos empresas es más propensa al riesgo, analicemos las funciones $r_A\left(x\right)$ y $r_B\left(x\right)$ en el intervalo $x\in (0,2)$.

Como se puede apreciar en la figura 1, las funciones se cortan, dentro del intervalo $x\in (0,2)$, en $x=(\sqrt{57}-3)/4$. Para $x\in (0,(\sqrt{57}-3)/4)$, ocurre que $r_A\left(x\right)>r_b\left(x\right)$ y, por tanto, el grado de aversión al riesgo es mayor para la empresa $A$; en consecuencia, será la empresa $B$, en este caso, la más propensa al riesgo. Ahora bien, cuando $x\in ((\sqrt{57}-3)/4,2)$ ocurre lo contrario, el grado de aversión al riesgo es mayor para la empresa $B$, pues $r_B\left(x\right)>r_A\left(x\right)$, y por consiguiente será la empresa $A$ la que tiene mayor propensión al riesgo. Cuando $x=\left((\sqrt{57}-3)/4\right)$ las dos tendrían el mismo grado de aversión al riesgo, lo que hace indicar que su actitud ante el riesgo para un beneficio de $(\sqrt{57}-3)/4\cong 1,137$ millones de euros será igual de propensa.

Ejercicio 6.

Un empresario con un capital inicial de $40$ mil euros recibe la oferta de invertir en un negocio que, si tiene éxito, incrementaría su capital actual en $280$ mil euros con probabilidad $p\in [0,1]$, mientras que si fracasa, perdería $20$ mil euros. Si su función de utilidad es $u\left(x\right)=logx$, con $x>0$. Se pide:

◾ Calcular los valores de $p$ para los que el empresario decidirá invertir en el negocio.

◾ Calcular los valores de $p$ para los que el empresario decidirá renunciar al negocio por muy grande que fuese su capital inicial?

◾ Calcular la cantidad máxima que el empresario debe estar dispuesto a invertir en el negocio supuesto que tenga éxito con una probabilidad del $50\%$.

Solución:

(a) Antes de nada, es claro que $u\left(x\right)$ es de utilidad, pues es creciente en todo su dominio ($x>0$). El negocio queda representado por la siguiente lotería:

$$p=\left(\begin{array}{cc}\hfill p\hfill & \hfill 1-p\hfill \\ \hfill 320\hfill & \hfill 20\hfill \end{array}\right),$$

pues, si el negocio tiene éxito, cosa que ocurre con probabilidad $p$, habría que sumar la cantidad de $280$ mil euros a los $40$ mil euros iniciales de los que dispone, pero si el negocio fracasa, cuya probabilidad de ocurrencia es $1-p$, a esos $40$ mil euros habría que restar los $20$ mil euros que perdería. Entonces, la utilidad de la lotería es

$$\begin{array}{cc}\hfill u\left(p\right)& =p\cdot u\left(320\right)+(1-p)\cdot u\left(20\right)=plog\left(320\right)+(1-p)log\left(20\right)=\hfill \\ \hfill & =plog\left(320\right)-plog\left(20\right)+log\left(20\right)=plog\left(320/20\right)+log\left(20\right)=plog\left(16\right)+log\left(20\right).\hfill \end{array}$$

El empresario decidirá emprender el negocio si la utilidad de la lotería es mayor a la de su capital inicial, esto es

$$u\left(p\right)>u\left(40\right)\Rightarrow plog\left(16\right)+log\left(20\right)>log\left(40\right)\Rightarrow p>\frac{log\left(2\right)}{log\left(16\right)}=0,25.$$

Por tanto, el empresario invertirá en el negocio cuando la probabilidad de éxito sea mayor al $25\%$ y no lo hará en caso contrario.

(b) Supongamos que el capital inicial del empresario fuese de $C>40$, en miles de euros. La lotería, en este caso, es

$$p=\left(\begin{array}{cc}\hfill p\hfill & \hfill 1-p\hfill \\ \hfill C+280\hfill & \hfill C-20\hfill \end{array}\right),$$

cuya utilidad es

$$\begin{array}{cc}\hfill u\left(p\right)& =p\cdot u(C+280)+(1-p)\cdot u(C-20)=plog(C+280)+(1-p)log(C-20)=\hfill \\ \hfill & =plog(C+280)-plog(C-20)+log(C-20)=plog\left(\frac{C+280}{C-20}\right)+log(C-20).\hfill \end{array}$$

El empresario rechazaría invertir en el negocio si la utilidad de $p$ es menor a la de $C$, esto es

$$u\left(p\right)<u\left(C\right)\Rightarrow plog\left(\frac{C+280}{C-20}\right)+log(C-20)<log\left(C\right),$$

de donde

$$p<\frac{log\left(C\right)-log(C-20)}{log\left(\frac{C+280}{C-20}\right)}=\frac{log\left(\frac{C}{C-20}\right)}{log\left(\frac{C+280}{C-20}\right)}.$$

Ahora bien, cuanto más grande sea $C$, con menos seguridad invertirá el empresario en el negocio. Veamos que ocurre cuando $C\to \infty$:

$$\underset{C\to \infty }{lim}\frac{log\left(\frac{C}{C-20}\right)}{log\left(\frac{C+280}{C-20}\right)}=\underset{C\to \infty }{lim}=\frac{\frac{-20}{C(C-20)}}{\frac{-300}{(C-20)(C+280)}}=\underset{C\to \infty }{lim}\frac{20(C+280)}{300C}=\frac{1}{15}.$$

Concluimos que para valores de $p<1/15$, el empresario renunciaría al negocio por muy grande que fuese su capital inicial.

(c) Si llamamos $c$ a la cantidad máxima que el empresario debe estar dispuesto a invertir para emprender el negocio, la situación quedaría representada por la siguiente lotería:

$$p=\left(\begin{array}{cc}\hfill p\hfill & \hfill 1-p\hfill \\ \hfill 320-c\hfill & \hfill 20-c\hfill \end{array}\right),$$

pues a los $320$ mil euros a los que ascendería su capital si el negocio tiene éxito, habría que restarle la cantidad $c$ que invirtió por emprender, y lo mismo para los $20$ mil euros a los que descendería su capital inicial, si el negocio fracasara. Es claro que el capital a invertir ha de ser menor o igual que el capital inicial del empresario, esto es $c\le 40$.

La utilidad de la lotería es

$$u\left(p\right)=p\cdot u(320-c)+(1-p)\cdot u(20-c)=plog(320-c)+(1-p)log(20-c).$$

La inversión del empresario será rentable si $u\left(p\right)>u\left(40\right)$, esto es

$$plog(320-c)+(1-p)log(20-c)>log\left(40\right)\Rightarrow log{(320-c)}^p+log{(20-c)}^{1-p}>log40.$$

Tomando $p=0,5$ nos queda la inecuación

$$log{\left[(320-c)(20-c)\right]}^{0,5}>log\left(40\right)\Rightarrow (320-c)(20-c)>1.600,$$

cuya solución es

$$c\in (-\infty ,170-10\sqrt{241})\cup (170+10\sqrt{241},\infty ).$$

Como $c$ ha de estar entre $0$ y $40$, el intervalo que nos interesa es $0<c^{*}<170-10\sqrt{241}$. Por tanto, la cantidad máxima que el empresario debe estar dispuesto a invertir, suponiendo que el negocio tuviera éxito con probabilidad $0,5$, es de $170-10\sqrt{241}$ miles de euros, esto es $14.758,25$ euros.

Ejercicio 7:

Un coleccionista de obras de arte tiene una función de utilidad económica $u\left(x\right)=log\left(x\right)$, con $x>0$. A cada obra de arte le atribuye una utilidad en función de la satisfacción que le produce tenerla. Si el capital actual del coleccionista es de $50$ mil euros. Se pide:

◾ La cantidad máxima por la que compraría un cuadro al que atribuye una utilidad $2$.

◾ La cantidad por la que vendería dicho cuadro si fuese de su propiedad.

Solución:

(a) Si el coleccionista compra el cuadro por una cantidad $c$, su capital descendería a $50-c$. Por tanto, si atribuye una utilidad $2$ a dicho cuadro, la utilidad de lo que posee tras la venta es $u(50-c)+2$. Estaría dispuesto a comprar el cuadro en caso de que la utilidad tras la compra sea mayor a $u\left(50\right)$. Esto es

$$u(50-c)+2>u\left(50\right)\Rightarrow log(50-c)+2>log\left(50\right),$$

de donde

$$log\left(\frac{50-c}{50}\right)>-2\Rightarrow \frac{50-c}{50}>e^{-2}\Rightarrow c<50(1-e^{-2})\cong 43,23324.$$

Por tanto, la cantidad máxima por la que el coleccionista estaría dispuesto a comprar el cuadro es $43.233,24$ euros.

(b) Si el cuadro fuese suyo, la utilidad de su capital sería $u\left(50\right)+2$, pero si lo vendiese por una cantidad $c$, la utilidad pasaría a ser $u(50+c)$ (ganaría una cantidad $c$ y perdería la utilidad $2$ atribuida al cuadro). Para que el coleccionista esté dispuesto a vender, la utilidad tras la venta debería ser mayor a la utilidad del capital inicial. Esto es,

$$u(50+c)>u\left(50\right)+2\Rightarrow log(50+c)>log\left(50\right)+2,$$

de donde

$$log\left(\frac{50+c}{50}\right)>2\Rightarrow \frac{50+c}{50}>e^2\Rightarrow c>50(e^2-1)\cong 319,4528.$$

Por tanto, el coleccionista venderá el cuadro por cualquier cantidad superior a $319.452,8$ euros.

Ejercicio 8:

En la subasta de un cuadro participan únicamente dos personas $A$ y $B$, que atribuyen utilidades $u_A\left(x\right)=x/(x+10)$ y $u_B\left(x\right)=x/(x+8)$ a un capital de $x$ miles de euros. $A$ tiene un capital inicial de $60$ mil euros y valora en $0,15$ la utilidad del cuadro. Por su parte, $B$ tiene un capital de $50$ mil euros y da un valor al cuadro de $0,3$. El precio de salida de la subasta es de $25$ mil euros y cada puja debe aumentar en mil euros la anterior. Suponiendo que $A$ se adelanta pujando el precio de salida, determinar quién se adjudicará el cuadro y a qué precio.

Solución:

La máxima cantidad $c_A$ que estaría dispuesto a pagar $A$ por el cuadro es aquella para la cual

$$u_A(60-c_A)+0,15>u_A\left(60\right),$$

es decir, aquella que permite un aumento en la utilidad de $A$ tras la compra. Resolviendo la inecuación tenemos que

$$\frac{60-c_A}{70-c_A}+0,15>\frac{60}{70}\Rightarrow \frac{60-c_A}{70-c_A}>\frac{99}{140}\Rightarrow c_A<\frac{1470}{41}\cong 35,85366\mathrm{\text{(miles de euros)}}.$$

Razonando de manera análoga para $B$, la máxima cantidad $c_B$ que estaría dispuesto a pagar por el cuadro es aquella que satisface

$$u_B(50-c_B)+0,3>u_B\left(50\right),$$

de donde

$$\frac{50-c_B}{58-c_B}+0,3>\frac{50}{58}\Rightarrow \frac{50-c_B}{58-c_B}>\frac{163}{290}\Rightarrow c_B<\frac{5046}{127}\cong 39,73228\mathrm{\text{(miles de euros)}}.$$