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La recta real y el conjunto de los números reales ℝ

David Aleja^1,3, Miguel Romance del Río^1,2,3

¹Departmento de Matemática Aplicada, CC. e Ingeniería de los Materiales y Tec. Electrónica, URJC, España

²Center for Computational Simulation (CCS), UPM-URJC, España

³Centro DCNC de la URJC, España

Introducción

Abordamos el estudio de los números reales a partir de las propiedades que constituyen su definición axiomática [1–3]. A destacar que ℝ es el único cuerpo ordenado (axiomas 1 al 15) que satisface el axioma del supremo (axioma 16). Otras propiedades y resultados, como la propiedad arquimediana o el principio de los intervalos encajados se deducen de los axiomas de cuerpo ordenado y del supremo.

1. Números reales

Partimos de la representación intuitiva y geométrica de los números reales como puntos de la denominada “recta real” para, a partir de ella, derivar la axiomática que permite definir los números reales y formalizar los conceptos así como trabajar con ellos con rigor. Es importante tener presente desde este apartado que esas 16 propiedades o axiomas caracterizan la estructura de los números reales y que, por consiguiente, el resto de propiedades se pueden deducir (y demostrar) a partir de estas 16. Distinguimos tres tipos de propiedades de naturaleza distinta que satisfacen los números reales en nuestra visión intuitiva:

1.1 Propiedades algebraicas

Los números reales se pueden sumar y multiplicar. Tenemos que incorporar en nuestro modelo de los números reales dos operaciones básicas: la suma (+) y el producto (·) (que generalmente denotaremos como una simple yuxtaposición). Estas operaciones satisfacen las siguientes propiedades:

1. Propiedad asociativa de la suma: ∀ a, b, c ∈ ℝ, a + (b + c) = (a + b) + c.

2. Propiedad conmutativa de la suma: ∀ a, b ∈ ℝ, a + b = b + a.

3. Existencia de elemento neutro para la suma: ∃ 0 ∈ ℝ | ∀ a ∈ ℝ, a + 0 = 0 + a = a.

4. Elemento opuesto: ∀ a ∈ ℝ ∃ −a ∈ ℝ| a + (−a) = − a + a = 0. (Obsérvese que a − b = a + (−b)).

5. Propiedad asociativa del producto: ∀ a, b, c ∈ ℝ, a(bc) = (ab)c.

6. Propiedad conmutativa del producto: ∀ a, b ∈ ℝ, ab = ba.

7. Existencia de elemento neutro para el producto: ∃ 1 ∈ ℝ| ∀ a ∈ ℝ, 1a = a.

8. Elemento inverso: ∀ a ∈ ℝ, a ≠ 0, ∃ a ⁻¹ ∈ ℝ| a · a⁻¹ = a⁻¹ · a = 1. (Obsérvese que a-1=1a y ab=ab-1).

9. Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: ∀ a, b, c ∈ ℝ, a(b + c) = ab + ac.

Por satisfacer estas propiedades (axiomas) se dice que el conjunto ℝ tiene estructura de cuerpo respecto de la suma y producto habituales, o también que la 3-tupla (ℝ, +, ·) es un cuerpo. Las propiedades anteriores, que constituyen los primeros 9 axiomas de la definición axiomática de ℝ, permiten obtener otras propiedades. Algunas de estas son las siguientes (en lo sucesivo omitiremos el cuantificador universal al emplear una variable que representa a un número real genérico):

◾ Si x + x = x necesariamente x = 0. En efecto, si x + x = x, entonces (−x) + (x + x) = (−x) + x de donde, por la propiedad (axioma) 1, obtenemos que (−x + x) + x = 0 , es decir 0 + x = 0 y, en definitiva, x = 0.

◾ ∀a ∈ ℝ se verifica que 0a = 0. En efecto, 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a, por lo que, haciendo uso de la propiedad anterior 0a = 0.

◾ El elemento opuesto de un número es único (es por eso por lo que podemos utilizar (−a) para referirnos al (único) elemento opuesto de a). Para demostrarlo, supongamos que hubiese dos elementos b, c ∈ ℝ tales que b + a = 0 y c + a = 0. En ese caso, por la propiedad conmutativa de la suma de números reales (axioma 2) también sucede que a + b = 0 = a + c, es decir, (utilizando la propiedad asociativa en sucesivas igualdades) b = b + 0 = b + (a + c) = (b + a) + c = 0 + c = c.

◾ El elemento inverso de un número a ≠ 0 es único (es por eso por lo que podemos utilizar a⁻¹ para referirnos al (único) elemento inverso de a). Supongamos que b, c ∈ ℝ son tales que ba = 1 = ca. En ese caso, por la propiedad conmutativa del producto, también tendremos que ab = 1 = ac. Razonando de manera similar al caso anterior tendremos que b = b · 1 = b(ac) = (ba)c = 1 · c = c.

◾ (−1)a = −a. En efecto, a + (−1)a = 1a + (−1)a = (1 + (−1))a = 0a = 0 por lo que teniendo en cuenta la unicidad del elemento opuesto obtenemos que (−1)a = −a.

◾ Si ab = 0 y a ≠ 0, entonces b = 0. En efecto, si a ≠ 0, entonces podemos multiplicar los dos lados de la igualdad por a⁻¹, obteniendo a⁻¹ab = a⁻¹0, o 1b = 0, es decir, b = 0.

◾ La ecuación ax + b = 0 tiene una única solución, siempre que a ≠ 0.

En efecto, sumando el opuesto de b a ambos lados de la igualdad:

ax + b + (−b) = 0 + (−b)

Por la propiedad asociativa de la suma b + (−b) = 0 y 0 + (−b) = −b, por lo que, simplificando, obtenemos que

ax = −b

Multiplicando ahora a ambos lados por el inverso de a (que existe, puesto que a ≠ 0) :

a⁻¹ax = a⁻¹(−b)

y, de nuevo simplificando, teniendo en cuenta que 1x = x, obtenemos que:

$$x=a^{-1}(-b)=\frac{-b}{a}$$

1.2 Propiedades de orden

En el conjunto de los números reales se considera una relación de orden ≤ que tiene las siguientes propiedades:

10. ∀ a ∈ ℝ, a ≤ a.

11. ∀ a, b ∈ ℝ, si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b.

12. ∀ a, b, c ∈ ℝ, si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c.

13. ∀ a, b ∈ ℝ, si a, b ∈ ℝ, entonces o a ≤ b o b ≤ a (relación de orden total)

14. ∀ a, b, c ∈ ℝ, si a ≤ b y c ∈ ℝ, entonces a + c ≤ b + c (compatibilidad con las operaciones algebraicas).

15. ∀ a, b, c ∈ ℝ, si a ≤ b y 0 ≤ c, entonces ac ≤ bc

NOTACIÓN: Hay que tener en cuenta los otros tres símbolos de orden:

◾ a ≥ b quiere decir b ≤ a.

◾ a < b quiere decir a ≤ b y a ≠ b.

◾ a > b quiere decir b < a.

A partir de estas propiedades podemos definir los siguientes conjuntos: ℝ⁺ = {x ∈ ℝ : 0 < x}, y ℝ⁻ = {x ∈ ℝ : x < 0}, los números positivos y los números negativos, respectivamente. Obviamente ℝ = ℝ⁺ ∪ {0} ∪ ℝ⁻. Además, si a ≤ b, necesariamente −b ≤ −a, pues si a ≤ b, entonces por la propiedad (axioma) 14 tendremos que a + (−b) ≤ b + (−b), es decir, a + (−b) ≤ 0, con lo que, utilizando de nuevo dicha propiedad, (−a) + a + (−b) ≤ −a, es decir, −b ≤ −a. Por otra parte las propiedades anteriores nos dicen que si a, b ∈ ℝ⁺ entonces a + b, ab ∈ ℝ⁺, puesto que si a, b ∈ ℝ⁺ , entonces a > 0, b > 0, y a + b > 0 + b > 0 (el otro resultado es consecuencia directa de la propiedad establecida para el producto de números positivos). A partir de estas definiciones se tiene, intuitivamente, que: a ≤ b ⟺ ∃x ∈ ℝ⁺ ∪ {0}/ a + x = b (pues a ≤ b ⟺ 0 ≤ b + (−a) = b − a = x y, obviamente, a + (b − a) = b).

Figura 1. La recta real

Figura 2. Vamos colocando los números reales sobre la recta real

1.3 Intervalos

Si a, b ∈ ℝ y a < b, entonces se definen:

◾ el intervalo abierto de extremos a y b como el conjunto (a, b) = {x ∈ ℝ : a < x < b}.

◾ el intervalo cerrado de extremos a y b como el conjunto [a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}.

◾ [a, b) = {x ∈ ℝ : a ≤ x < b}

◾ (a, b] = {x ∈ ℝ : a < x ≤ b} (en algunos textos llaman a estos intervalos semiabiertos o semicerrados).

◾ (−∞, b) = {x ∈ ℝ : x < b}.

◾ (−∞, b] = {x ∈ ℝ : x ≤ b}.

◾ (a, +∞) = {x ∈ ℝ : a < x}.

◾ [a, +∞) = {x ∈ ℝ : a ≤ x}.

◾ (−∞, +∞) = ℝ.

Se dice que un subconjunto A ⊂ ℝ está acotado superiormente si podemos encontrar un número M de manera que cualquier x ∈ A siempre verifica que x ≤ M. A un número M que verifica esto se le llama cota superior de A. Asímismo, se dice que A ⊂ ℝ está acotado inferiormente si podemos encontrar un número m de manera que para cualquier x ∈ A se verifica que m ≤ x. A un número m que verifica esto se le llama cota inferior de A. Finalmente, el conjunto A está acotado si lo está superior e inferiormente.

Gráficamente, un subconjunto A ⊂ ℝ se representa como un conjunto (más o menos complicado) de la recta real contenido en uno o varios “trozos” de dicha recta o en su totalidad. Una cota superior de A es un punto de la recta que se encuentra a la derecha de todos los puntos del conjunto A o, si se prefiere, tal que todos los puntos del conjunto A están a su izquierda. Una cota inferior de A es un punto de la recta que deja a todo el conjunto A a su derecha.

Figura 3. Utilizando lupas y microscopios

Por ejemplo, siendo a, b ∈ ℝ con a ≤ b, los cuatro primeros ejemplos de intervalos son conjuntos acotados (escribe sus cotas superiores e inferiores), mientras que los cinco últimos ejemplos no lo son. Veamos otros ejemplos:

Consideremos el conjunto A = {1 + 1/n | n ∈ ℕ}. Este conjunto está acotado, ya que si n ∈ ℕ, sabemos que n ≥ 1, con lo que 0 < 1/n ≤ 1 por lo que, por la propiedad (axioma) 14, se verifica que 1 + 1/n ≤ 1 + 1 = 2 con lo que 2 es cota superior de A. Del mismo modo, ∀n ∈ ℕ, se verifica que 0 < 1/n ≤ 1 por lo que 0 + 1 < 1 + 1/n ≤ 1 + 1, es decir, 1 < 1 + 1/n ≤ 2 y, en definitiva 1 es una cota inferior de A.

Examinemos ahora el conjunto A = {1 − 1/n | n ∈ ℕ}. Este conjunto está acotado, ya que si n ∈ ℕ, sabemos que n ≥ 1, con lo que 0 < 1/n y, por la propiedad (ya demostrada) que afirma que si 0 ≤ a entonces −a ≤ 0 (propiedad de la que se deduce fácilmente que si 0 < a entonces −a < 0) tendremos además −1/n < 0 por lo que 1 − 1/n < 1 con lo que 1 es cota superior de A. Por otra parte, dado cualquier n ∈ ℕ, como 1/n ≤ 1, entonces 0 ≤ 1 − 1/n, con lo que 0 es una cota inferior del conjunto.

Consideremos, finalmente, el conjunto B = {x ∈ ℝ|x > 0 ∧ x² < 2}. Este conjunto está acotado superiormente por, por ejemplo, el número 2 (aunque esta cota se puede afinar, por ejemplo, también sirve 1′6 o 1′5), e inferiormente por 0.

Entre los dos primeros ejemplos y el último hay una diferencia muy importante. En el conjunto A es fácil encontrar “la mejor” cota superior, que es 1, en el sentido de que cualquier número más pequeño que 1 ya no es cota superior del conjunto. Sin embargo, al intentar hacer esto con el conjunto B, resulta que la cota superior más pequeña debería ser un número b de manera que b² = 2, y ninguna fracción (cociente de dos números enteros) satisface esta propiedad, aunque por otra parte parezca razonable que exista el número $\sqrt{2}$, puesto que es una longitud que podemos calcular.

Es precisamente la existencia de estas cotas superiores mínimas la propiedad que distingue los números racionales y los reales. Antes de enunciarla vamos a dar una definición:

Sea A ⊂ ℝ con A ≠ ∅. Se llama supremo de A, cuando existe, al número sup A que verifica las siguientes propiedades:

◾ sup A es una cota superior de A.

◾ Si M es una cota superior de A, entonces sup A ≤ M

Un conjunto A que no esté acotado superiormente no tendrá supremo (ni siquiera tiene cotas superiores). En este caso a veces se escribe que sup A = +∞. Si A = ∅, cualquier número es cota superior de A, y no tiene sentido buscar la cota superior mínima.

Con esto podemos enunciar la propiedad del supremo de los números reales: si A ⊂ ℝ es un conjunto no vacío y acotado superiormente, entonces existe un número real α ∈ ℝ tal que α = sup A.

1.4 Axioma del supremo

A las quince propiedades anteriores le añadimos la siguiente (existencia de supremo de un conjunto no vacío) para “cerrar” la axiomática de los números reales:

16. Todo subconjunto de los números reales no vacío y acotado superiormente tiene supremo.

Por satisfacer esta última propiedad (axioma) se dice que el conjunto de los números reales es un cuerpo ordenado y completo.

Hay que señalar que las consecuencias derivadas del axioma del supremo son más profundas de lo que pueden parecer a primera vista pues, como veremos, este axioma nos permitirá considerar números como los siguientes $2^{\sqrt{2}}$, ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}},(\sqrt{3}{)}^{\pi },{\pi }^{\sqrt{5}},{\pi }^e,e^{\sqrt{7}}$, … de tal manera que podamos, ciertamente, identificar cada número real con un punto de la recta que hemos denominado “recta real”.

El axioma anterior también tiene como consecuencia que “todo subconjunto de los números reales no vacío y acotado inferiormente tiene ínfimo”, ya que si A está acotado inferiormente, (−A) = {−x| x ∈ A} está acotado superiormente, y ínf A = sup(−A).

Por su utilidad, en este punto es importante señalar que si A es un subconjunto de ℝ no vacío y acotado superiormente, se verifica que α = sup A si y sólo si satisface las dos propiedades siguientes:

1. α es una cota superior de A.

2. ∀ɛ > 0 ∃x ∈ A/ α − ɛ < x ≤ α

Y, recíprocamente, si A es un subconjunto de ℝ no vacío y acotado inferiormente, se verifica que α = ínf A si y sólo si satisface las dos propiedades siguientes:

1. α es una cota inferior de A.

2. ∀ɛ > 0 ∃x ∈ A/ α < x ≤ α + ɛ.

1.5 Construcción de los números reales

Es importante señalar que, aunque hemos utilizado una definición axiomática para establecer nuestro “modelo de los números reales” para, a continuación, definir como subconjuntos suyos los números naturales, enteros y racionales, en realidad todos los objetos con los que trabajamos en el ámbito de las matemáticas son conjuntos, y estos objetos, es decir, los conjuntos, están en la base de todas las matemáticas. Por ello, para comprobar que existe un conjunto que satisface las propiedades anteriores, habría que construirlo (en este caso, a partir de la axiomática o conjunto de axiomas establecidos que constituyen la base y el fundamento de la teoría de conjuntos). Por ello, para construir el conjunto de los números reales desde esta perspectiva, habría que pasar por la construcción del conjunto de los números naturales en primer lugar y, a partir de ellos, construir sucesivamente los números enteros y racionales para, finalmente, construir los números reales (por ejemplo, como clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales). Es decir, a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos, deberíamos definir los conjuntos numéricos en el orden inverso, definiendo primero ℕ, y luego, sucesivamente, el resto de conjuntos numéricos.

2. Números naturales, enteros y racionales

2.1 Inclusión de los números naturales, enteros y racionales en la recta real

Los tres conjuntos numéricos más conocidos son los siguientes:

◾ Los números naturales ℕ = {1, 2, 3, . . .}.

◾ Los números enteros ℤ = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.

◾ Los números racionales $\mathbb{Q}=\{\left[\frac{m}{n}\right]:m,n∊\mathbb{Z},n\ne 0\}$, donde $\left[\frac{m}{n}\right]$ es la clase de equivalencia o conjunto de todas las fracciones que representan dicho número racional. En otras palabras, $\left[\frac{m}{n}\right]$ está formada por la fracción $\frac{m}{n}$ y por todas las fracciones $\frac{s}{t}$ tales que $\frac{m}{n}=\frac{s}{t}$ (es importante darse cuenta de que no es lo mismo una fracción que un número racional pues, por ejemplo todas las fracciones siguientes $\frac{1}{3},\frac{2}{6},\frac{(-2)}{(-6)}$ representan el mismo número racional y, por ello, se dice que son fracciones equivalentes).

En particular, los números racionales satisfacen las quince primeras propiedades (axiomas) que hemos establecido para el conjunto de los números reales. Además, los racionales contienen a los enteros, y los enteros a los naturales. En notación conjuntista ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Los números racionales tienen una expresión con coma decimal finita (o periódica a partir de una cifra concreta) resultante de desarrollar cualquiera de las fracciones que los representan. Desde la expresión decimal se puede recuperar la expresión en forma de fracción (fracción generatriz). Por ejemplo, si queremos obtener la representación como cociente de dos números enteros del número racional $5,273262626\dots =5,273\widehat{26}$ basta con hacer lo siguiente: $x=5,273\widehat{26}⟹100,000x=527,326,\widehat{26},\text{ y }1,000x=5,273,\widehat{26}$ con lo que, restando ambas ecuaciones obtenemos que 99,000x = 522,053, es decir, $x=\frac{522,053}{99.000}$.

En cualquier caso no es difícil representarlos gráficamente en la recta real, colocando los positivos a la derecha y los negativos a la izquierda.

También podemos recordar que si realizamos la división entre el numerador y el denominador de una fracción obtenemos la expresión decimal de un número racional, y sabemos que ésta es, o bien exacta, o bien un decimal ilimitado pero periódico.

Pero, ¿qúe sucede con los decimales cuyas cifras decimales no se repiten periódicamente a partir de una cifra decimal concreta?

3. Los números irracionales

El primer problema con las fracciones apareció en la Grecia antigua, en particular, en la escuela pitagórica. Ante el convencimiento intuitivo de que cualquier cantidad (o longitud) puede ser expresada como una fracción de la unidad, utilizaron medios geométricos para encontrar estas fracciones, descubriendo (para gran sorpresa e ira de algunos) que cantidades muy sencillas como la diagonal de un cuadrado de lado unidad ($\sqrt{2}$) no podían ser expresadas como fracciones.

En particular, la ecuación x² − 2 = 0 no tiene ninguna solución en el contexto de los números racionales. Las consecuencias de usar sólo números racionales son mucho peores: los teoremas básicos del análisis real descansan en la estructura de dichos números y la gran mayoría serían falsos si consideramos sólo números racionales.

El problema que tenemos es geométricamente claro: si consideramos la representación gráfica de los números racionales, estos dejan muchísimos huecos en la recta real. De hecho, se puede decir que hay muchos más números “no racionales” (o huecos) que números racionales en la recta real. Para arreglar esto tendremos que introducir otros números (los números irracionales) y las propiedades que les distinguen de los racionales.

Por ejemplo, ¿tiene sentido considerar el resultado de la “operación” $2^{\sqrt{2}}$? Sí, pues considerando el conjunto $A=\{2^{\frac{p}{q}}∊\mathbb{R}|\frac{p}{q}∊\mathbb{Q}\Lambda \frac{p}{q}\le \sqrt{2}\}$, que es un conjunto que está acotado superiormente, resultará que $2^{\sqrt{2}}=sup(A)$ (Recúerdese que $a^{\frac{p}{q}}=(\sqrt[q]{a}{)}^p$. En general, dados x, y ∈ ℝ, con x > 0, se define x^y del siguiente modo:

◾ Si x > 1 entonces x^y = sup{x^r|r ∈ ℚ}.

◾ Si x < 1 entonces x^y = ínf {x^r|r ∈ ℚ}.

4. Propiedades topológicas de los números reales

4.1 Propiedad arquimediana

Llegar a definir de una manera clara y operativa la diferencia entre números reales y racionales ha llevado más de 2000 años, lo que, en consecuencia, ha llevado a un estudio pormenorizado de ciertas propiedades de los números reales. Una de estas propiedades es la que se conoce como propiedad arquimediana cuyo enunciado es el siguiente: “El conjunto de los números naturales no está acotado superiormente en ℝ”. Supongamos que, por el contrario, ℕ estuviese acotado. Como este conjunto no es vacío, existirá el supremo de ℕ, digamos p. Ahora bien, como p es una cota superior mínima de ℕ, el número p − 1 no puede ser una cota superior, con lo que debe haber algún número natural n ∈ ℕ, de manera que p − 1 < n ≤ p. Pero, en ese caso, sumando 1 a n, tendríamos que p < n + 1, con n + 1 ∈ ℕ, con lo que p no puede ser el supremo de ℕ. Llegamos, pues, a una contradicción, con lo que resulta que no hay supremo de ℕ, por lo que, dado que el conjunto ℕ es no vacío, dicho conjunto no puede estar acotado. Por ello, dado cualquier número real x ∈ ℝ existe un número natural n ∈ ℕ tal que x < n. A partir de esta propiedad se siguen consecuencias muy importantes que permiten relacionar los naturales, enteros y racionales con los números reales:

◾ Propiedad arquimediana de los números reales. Si x, y ∈ ℝ con 0 < x, ∃n ∈ ℕ de manera que y < nx.

En efecto, consideremos el número real $\frac{y}{x}$. Como los naturales no están acotados en ℝ, existirá algún número natural n de manera que $\frac{y}{x}<n$, y multiplicando ambos lados de la desigualdad por x llegamos a que y < nx.

◾ Dado un número real x > 0 podemos encontrar un natural n de manera que 1/n < x.

En efecto, basta usar el resultado anterior para encontrar un número natural n de manera que 1 < nx, con lo que es suficiente multiplicar por a ambos lados de la desigualdad anterior por el inverso de n, n⁻¹ ∈ ℝ.

4.2 “Principio” de los intervalos encajados

Otra propiedad topológica de que merece la pena destacar está relacionada con el encaje de intervalos cerrados. Supongamos que tenemos [a₁, b₁], [a₂, b₂], . . . , [a_n, b_n], . . . con n ∈ ℕ infinitos intervalos cerrados. Estos intervalos están encajados cuando se verifica que [a_n, b_n] ⊂ [a_n−1, b_n−1], es decir, cuando cada intervalo está contenido en el anterior. Cuando tenemos infinitos intervalos cerrados encajados ocurre algo muy importante que se conoce como “Principio de intervalos encajados de Cantor”: Si [a₁, b₁], [a₂, b₂], . . . , [a_n, b_n], . . . son infinitos intervalos encajados, entonces hay al menos un punto común a todos los intervalos ya que, si consideramos el conjunto A = {a_n | n ∈ ℕ } formado por todos los extremos izquierdos de los intervalos, al estar todos los intervalos encajados, resulta que:

a₁ ≤ a₂ ≤ . . .≤ a_n ≤ a_n+1 ≤ . . .

De la misma manera resulta que a_n ≤ b_m para cualesquiera m, n ∈ ℕ, ya que en caso contrario los intervalos dejarían de estar encajados.

En particular, el conjunto A es acotado. Sea a = sup A. Por un lado a_n ≤ a, ya que es una cota superior de A. Por otro lado, como cualquier b_n es cota superior de A, por lo que el supremo será menor, es decir, a ≤ b_n. Esto quiere decir que sea cual sea n, a ∈ [a_n , b_n], y por tanto a es un punto común a todos estos intervalos.

4.3 Densidad de ℚ en ℝ

Entre dos números reales distintos cualesquiera siempre existe un número racional (de hecho, infinitos). Concretamente:

◾ Densidad de ℚ en ℝ: ∀x, y ∈ ℝ, x < y, ∃r ∈ ℚ tal que x < r < y. Veámoslo: Si x, y ∈ ℝ con x < y, resulta que 0 < (y − x) y, por la propiedad arquimediana aplicada a los números 1 e (y − x) > 0 tendremos que ∃n ∈ ℕ de manera que 1 < n(y − x) por lo que (1 + nx) < ny. Si p ∈ ℤ es la parte entera de nx, es decir, p ≤ nx < (p + 1) tendremos que nx < p + 1 ≤ nx + 1 < ny y, en particular, que nx < p + 1 < ny. Así pues, siendo $r=\frac{p+1}{n}$ que, obviamente, es un número racional, obtenemos que x < r < y .

Para concluir que entre dos números reales cualesquiera existen infinitos números racionales, basta ir aplicando el razonamiento anterior a los números x, r ∈ ℚ sucesivamente…

Por último, si nos dan la expresión decimal de dos números reales ¿Cómo podríamos encontrar, a simple vista, un número racional concreto entre ellos?.

4.4 Valor absoluto de un número real

Dado un número real x ∈ ℝ se define su valor absoluto como $|x|=\mathit{max}\{x,-x\}=\{\begin{array}{cl}x& \text{si }x\ge \mathrm{0,}\\ -x& \text{si }x<\mathrm{0,}\end{array}$.

Obviamente, ∀x ∈ ℝ |x| = | − x|, por lo que ∀x, y ∈ ℝ |x − y| = |y − x|. Además, dados x, a ∈ ℝ, se verifica que |x| ≤ a si y sólo si − a ≤ x ≤ a, ya que si |x| ≤ a, entonces x ≤ a y −x ≤ a. Por otra parte ∀x, y ∈ ℝ |x · y| = |x| · |y| (Comprúebese distinguiendo los diferentes casos, ver ejercicios). Por otra parte, como ∀x ∈ ℝ 0 ≤ |x|, es evidente que ∀x ∈ ℝ − |x| ≤ x ≤ |x|, lo que nos permite obtener la propiedad conocida como “desigualdad triangular del valor absoluto”: ∀x, y ∈ ℝ |x + y| ≤ |x| + |y|. Para verlo, dados x, y ∈ ℝ consideremos las desigualdades −|x| ≤ x ≤ |x| y −|y| ≤ y ≤ |y|. Al sumarlas (miembro a miembro) obtenemos −|x| − |y| ≤ x + y ≤ |x| + |y|, es decir, − (|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y|, con lo que la desigualdad triangular es válida para cualquier par de números reales.

4.5 Entornos, puntos interiores, puntos adherentes, puntos de acumulación

Dado un número real x ∈ ℝ, se denomina entorno de x a cualquier intervalo abierto (a, b) tal que x ∈ (a, b). Habitualmente se suelen considerar entornos centrados en el punto x, de manera que si ɛ > 0, (x − ɛ, x + ɛ) es un entorno de x. También se considera lo que se denomina “entorno reducido” del punto x, que es cualquier entorno de x en el que se ha eliminado el propio punto x, por ejemplo, (x − ɛ, x) ∪ (x, x + ɛ) = (x − ɛ, x + ɛ) − {x}. Dado ahora A ⊂ ℝ se dice que:

◾ x ∈ A es un punto interior de A si existe un entorno de x completamente contenido en A, es decir, si existe ɛ > 0 tal que (x − ɛ, x + ɛ) ⊂ A.

◾ x ∈ ℝ es un punto de adherente de A si en cualquier entorno de x hay puntos de A, es decir, si ∀ɛ > 0 se verifica que (x − ɛ, x + ɛ) ∩ A ≠ ∅.

◾ x ∈ ℝ es un punto de acumulación de A si en cualquier entorno reducido de x hay puntos de A, es decir, si ∀ɛ > 0 se verifica que ((x − ɛ, x + ɛ) − {x}) ∩ A ≠ ∅.

Dado ahora A ⊂ ℝ,

◾ al conjunto Å formado por todos los puntos interiores de A se le denomina interior de A. Obviamente Å ⊂ A. Si Å = A se dice que el conjunto A es abierto.

◾ Al conjunto Ā formado por todos los puntos adherentes de A se le denomina adherencia de A. Evidentemente A ⊂ Ā. Si Ā = A se dice que el conjunto A es cerrado.

No es difícil comprobar que ℝ es un conjunto abierto y cerrado, y lo mismo sucede con el conjunto ∅ (de hecho, son los únicos subconjuntos de la recta real que son simultáneamente abiertos y cerrados, pero la demostración de este resultado requiere de otros conceptos en los que ahora no vamos a entrar).

5. Principio de inducción. Conjuntos finitos y numerables

5.1 El principio de inducción

¿Cómo se puede demostrar que una propiedad p(n) es cierta para todos los números naturales? Por ejemplo, 1 + 3 = 4 = 2², 1 + 3 + 5 = 9 = 3², 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4², ¿Será cierto que la suma de los n primeros números impares es igual a n²? El principio de inducción se apoya en lo que se puede entender como un “efecto dominó”: siendo n ∈ ℕ y dada una propiedad p(n), si p(1) es cierta y, para cualquier n ∈ ℕ, siempre que p(n) es cierta, se verifica que p(n+1) es cierta, entonces se puede afirmar que la sentencia ∀n ∈ ℕ, p(n) es cierta. A la suposición de que p(n) es cierta se la conoce como “hipótesis de inducción”, y a la comprobación de que p(1) es cierta, base de inducción. Veamos cómo utilizar el principio de inducción para demostrar la propiedad anterior: Base de inducción Si n = 1, 1 = 1 (es decir, p(1) es cierta). Hipótesis de inducción: Supongamos cierto que $\sum _{i=0}^n(2i-1)=n^2$. Bajo esa suposición tenemos que comprobar que $\sum _{i=0}^{n+1}(2i-1)=(n+1{)}^2$. Veámoslo: $\sum _{i=0}^{n+1}(2i-1)=\sum _{i=0}^n(2i-1)+2(n+1)-1$ = (utilizando aqúı la hipótesis de inducción)= n² + 2(n + 1) − 1 = n² + 2n + 1 = (n + 1)².

5.2 Conjuntos finitos y numerables

Se dice que dos conjuntos A y B son equipotentes o coordinables si es posible definir una función biyectiva f : A → B entre dichos conjuntos. Si un conjunto A es equipotente con el subconjunto de los números naturales {1, 2, 3, . . . , n}, se dice que el cardinal de A es n y se escribe |A| = n. Por ejemplo, |{x ∈ ℕ/ 3 ≤ x ≤ 7}| = 5. Si ∃n ∈ ℕ tal que A es equipotente con {1, 2, 3, . . . , n}, se dice que A es finito. Por otra parte, si A es coordinable con el conjunto ℕ, se dice que A es numerable. Por ejemplo, el conjunto de los números pares {n ∈ ℕ|∃p ∈ ℕ .. n = 2p} y el conjunto de los números impares {n ∈ ℕ|∃p ∈ ℕ .. n = 2p − 1} son conjuntos infinitos numerables. También lo es el conjunto ℤ de los números enteros, puesto que la función f : ℤ → ℕ definida por $f(n)=\{\begin{array}{cc}2n& \text{si }n\ge \mathrm{0,}\\ -2n-1& \text{si }n<\mathrm{0,}\end{array}$ es biyectiva. También se podrá demostrar, a partir de un desarrollo más pormenorizado, que el conjunto ℚ de los números racionales también es numerable.

6. Ejercicios

1. Si A ⊂ ℝ, se denomina máximo de A, si existe, al número M ∈ A tal que para cualquier a ∈ A se verifica que a ≤ M.

a) Define el mínimo de un conjunto.

b) Comprueba que si A es un conjunto de números enteros contenido en un intervalo (a, b), con a, b ∈ ℝ entonces tiene máximo o mínimo. ¿Cómo podrías encontrar dicho número?

2. Encuentra el ínfimo, mínimo, máximo y supremo (en el caso de que existan) de los siguientes subconjuntos de ℝ:

a) A = {2, 2,2, 2,22, 2,222, ...} = $\left\{\sum _{i=0}^n(2·{10}^{-i})\right|n\in \mathbb{N}\}$

b) B = $\{(-1{)}^n+\frac{1}{n}|n\in \mathbb{N}\}$

c) C = {x ∈ ℝ | x² − 5x − 6 ≤ 0

d) D = {(2) ⁻ⁿ + (3) ⁻ⁿ | n ∈ ℕ}

3. Demuestra que entre dos números reales distintos siempre puedes encontrar un número racional. Prueba que esto nos lleva a poder encontrar infinitos números racionales entre los dos números originales.

4. Sabemos por aritmética elemental que la suma, la resta, el producto y la división de dos números racionales es un número racional. ¿Qúe pasa si operamos con un racional y un irracional? ¿Y si operamos con dos irracionales? Encontrar dos números irracionales tales que su suma y su producto sean números racionales.

5. Hallar la expresión con coma decimal de los siguientes números: 10^–(1!), 10^−(2!), 10^−(3!), 10^−(4!). Consideremos ahora la expresión con coma decimal del número:

$$\underset{n⟶\infty }{lim}\left(\sum _{i=1}^n{10}^{-(i!)}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{10}^{-(i!)}$$

¿es un número racional? Encontrar otro número irracional del que se conozcan explícitamente todas sus cifras decimales.

6. Demuestra que si x ≥ 0 es un número real que verifica que x ≤ 1/n para cualquier número natural n, entonces x = 0.

7. Demuestra que $\sqrt{2}$ no es un número racional. [Indicación: este resultado es un resultado muy conocido y aparece en muchos textos de matemáticas, incluyendo algunos textos de bachillerato.].

8. Encuentra un conjunto A ⊂ ℝ de manera que:

a) Tenga máximo y supremo.

b) No tenga máximo y no tenga supremo.

c) Tenga máximo y no tenga supremo.

9. Si A ⊂ ℝ es un conjunto acotado inferiormente se define su ínfimo, ínf A, como la cota inferior máxima del conjunto (si existe).

a) Si −A = {−a| a ∈ A}, demuestra que ínf A = − sup(−A).

b) Demuestra que todo conjunto de números reales no vacío y acotado inferiormente tiene ínfimo.

c) ¿Qúe relación tiene el mínimo de un conjunto con el ínfimo?

d) Si A = {x ∈ ℝ : x ≥ 0, x² < 2} y a = sup A, demuestra que a² = 2.

10. Demostrar que:

a) ∀x, y ∈ ℝ |x · y| = |x| · |y|

b) ∀x, a ∈ ℝ |x| ≤ a si y sólo si −a ≤ x ≤ a

c) {x ∈ ℝ/|x − a| ≤ ɛ} = (a − ɛ, a + ɛ) .

11. Expresar como una unión de intervalos los subconjuntos de números reales siguientes

a) A = {x ∈ ℝ| |x − 2| < 8}

b) B = {x ∈ ℝ| |x + 4| ≥ 3}

12. Demostrar que $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}|\frac{1}{x^2+4}+\frac{1}{|x|+2}|\le \frac{3}{4}$.

13. Demostrar que A ⊂ ℝ es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos de acumulación.

14. Representar los siguientes conjuntos en la recta real, y hallar el interior, la adherencia y los puntos de acumulación de los siguientes subconjuntos de ℝ:

a) ℚ.

b) (− 1, 1).

c) (− 2, 5] ∩ ℚ.

d) ([1, 3) ∩ ℚ) ∪ {0} ∪ (5, 6).

e) ([−2, 3)∩ ℝ − ℚ) ∪ {0} ∪ ((9,+∞) ∩ ℝ − ℚ).

15. Demostrar que ∀n ∈ ℕ, $\mathrm{\forall }n∊\mathbb{N},1^3+2^3+\dots +n^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$.

16. Demostrar que ∀n ∈ ℕ, 1³ + 2³ + . . . + n³ = (1 + 2 + · · · + n)² .

17. Demostrar la desigualdad de Bernouilli: Dados x ∈ ℝ, x ≥ −1 y n ∈ ℕ se verifica que (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx.

Referencias

¹ R. Bartle y D. Sherbert, Introducción al Análisis Matemático de una variable (Ed. Limusa-Noriega, 1996).

² M. Protter y C. Morrey, Análisis real (Ed. AC, 1986).

³ W. Rudin, Principios de Análisis Matemático (Ed. McGraw-Hill, 1976).