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Forum Docentis - Sección AP, Vol. 2023, Núm. 1 (2023)
ISSN: 2952-3052
doi: https://doi.org/10.33732/FD.v2023.n1.18
Recepción: 24/01/2024, Aceptación: 13/02/2024

Teoría de conjuntos, funciones, familias y cardinalidad

Regino Criado^1,2

¹Departamento de Matemática Aplicada, CC. e Ingeniería de los Materiales y Tec. Electrónica, URJC

²Centro DCNC de la URJC

© 2023 Los autores. Publicado por URJC. Este es un artículo de acceso abierto con licencia CC BY.
Cómo citar este artículo: Criado, R. Teora de conjuntos, funciones, familias y cardinalidad; Forum Docentis - AP vol. 2023, (1), e18, 2023

Índice

Introducción

1Modelos matemáticos

1.1 Algo de historia

1.2 Matemáticas y Modelos matemáticos

2La axiomática de Zermelo-Fraenkel

3Producto cartesiano, grafos y funciones

3.1 Pares ordenados, productos cartesianos y grafos

3.2 Tipos de funciones

3.3 Familias subindicadas

3.4 Imágenes directas y recíprocas

4Equipotencia y cardinalidad de conjuntos

5Ejercicios

6Referencias

 

Las matemáticas están de moda. Como todos los temas que, de manera circunstancial, concentran la atención de gran parte de la sociedad, en determinados medios de comunicación se han dado difusión a preguntas relacionadas con este tema que no siempre se responden con la coherencia y profundidad adecuadas y necesarias. Algunas de dichas preguntas son “¿las matemáticas se crean o se descubren?”, y también, “¿no estaban ya todas las matemáticas necesarias inventadas?”. A este respecto, hay que decir con rotundidad que las matemáticas son un lenguaje, el lenguaje de la ciencia, y al igual que no tiene sentido preguntarse si “se han creado y/o escrito todas las obras literarias en prosa (o verso)”, tampoco tienen sentido alguno las dos preguntas enunciadas en primer lugar, así como que el lenguaje se puede emplear “bien” o “menos bien”. Dicho con otras palabras, las matemáticas se crean y, de hecho, se están creando continuamente (para comprobarlo, basta con hojear cualquier revista de investigación matemática publicada recientemente o no). Yendo un poco más allá, hay que dejar claro que, en el enfoque riguroso que vamos a presentar, todos los objetos matemáticos son conjuntos y que, al igual que utilizamos los ordenadores para albergar datos (documentos de identidad, fotografías,...) que físicamente están constituidos por una secuencia de unos y ceros, utilizando los “conjuntos matemáticos” podemos representar tanto “conjuntos intuitivos” como otros objetos y relaciones del mundo real.

Utilizando los conjuntos y los símbolos de este lenguaje podemos representar tantas situaciones y relaciones como nuestra intuición o talento nos permita.

Para ilustrar algunas de las afirmaciones anteriores, y a modo de ejemplos concretos, debe quedar claro que, si A y B son dos conjuntos, una vez establecido que el producto cartesiano de dos conjuntos es un conjunto (representado por A × B), una función es un conjunto f ⊂ A × B tal que si (a, b) ∈ f y (a, c) ∈ f , necesariamente b = c (es decir, no es correcto afirmar que es una “correspondencia” si no se ha definido previamente este concepto) y, por el mismo motivo, una sucesión de elementos de un conjunto A es una función x ⊂ ℕ × A, de manera que los primeros coeficientes de los pares ordenados de x indican el lugar y los segundos coeficientes de dichos pares el elemento de A que va en dicho lugar.

Dicho lo anterior, cabe también hacerse la pregunta de en qúe consiste el trabajo de los matemáticos. Sin entrar en la elegancia, la belleza y/o la profundidad de algunos teoremas o resultados matemáticos, creo que uno de los mejores ejemplos para ilustrar el hacer de los matemáticos es el siguiente: Imaginense que queremos saber el número total de partidos de tenis que se deben jugar en un torneo de tenis del estilo de Wimbledon o Roland Garros, en el que participan 256 tenistas y sólo pasa a la siguiente ronda el que gana el partido correspondiente. Una forma de hacerlo es contar los partidos que se juegan en cada ronda: 128 en la primera, en la que cada uno de los 256 jugadores se enfrenta con otro, 64 en la segunda, en la que se enfrentan los primeros 128 ganadores, 32 en la tercera, 16 en la cuarta, 8 en la quinta, 4 en la sexta, 2 en la septima y un último partido correspondiente a la final. En total 128+64+32+16+8+4+2+1= 255. Otra forma de razonar, más directa, consiste en “darse cuenta” de que en cada partido se elimina únicamente al perdedor del mismo, y que sólo puede haber un ganador, con lo que el número de partidos debe ser exactamente 255.

Otro ejemplo nos lo proporciona la tradicional anécdota referida al niño Carl Friedich Gauss, que formaba parte de la clase del colegio en el que el maestro les pidió que sumasen los primeros 100 números naturales. Al parecer, casi de inmediato, Gauss se dió cuenta de que 1+100 = 2+99 = 3+98 = ...y que todas estas sumas son iguales a 101, y que como en la suma solicitada aparecen 50 de dichos pares, el resultado de la suma 1+2+3+...+100 debía ser 50 × 101 = 5050.

1. Modelos matemáticos

1.1 Algo de historia

¿De qúe está compuesto el universo? Hacia el año 600 a.C. Tales de Mileto se planteó esta pregunta y dió una solución falsa: “Todas las cosas son agua”. Esta afirmación también incluía los cuerpos sólidos de la tierra. Esta deducción se apoyaba en su propia experiencia al viajar por Egipto, ver crecer el Nilo, ver retirarse las aguas, y comprobar la aparición de un suelo fértil rico y blando en el delta del Nilo. La conclusion era lógica: “Todo es agua”. Evidentemente, Tales vivía en un puerto de mar, Mileto, situada en la costa oriental del mar Egeo que actualmente pertenecería a Turquía. En esa época Mileto era la ciudad más próspera del mundo griego. Hay que señalar que esta idea ya había sido concebida anteriormente por la civilización babilónica, aunque en este caso concebían el agua como una colección de seres sobrenaturales, distinguiendo entre el dios del agua dulce (Apsu) y la diosa de agua salada (Tiamat). El mérito de Tales fue acercarse a la misma solución (“todo es agua”) desde una perspectiva completamente diferente: prescindiendo de dioses, diosas y batallas sobrenaturales, se limitó a afirmar que “Todas las cosas son agua”. Mientras los hombres tuviesen su mente en lo sobrenatural, atribuyendo fenómenos naturales al enojo o al capricho de diosas o dioses la idea de ciencia era imposible.

La idea de ciencia surgió de dos hipótesis fundamentales:

1. Existen leyes en la naturaleza que gobiernan el universo y que no varían.

2. El hombre puede esclarecer dichas leyes haciendo uso de su razón.

Estos dos supuestos constituyen la idea de ciencia. A partir de esta idea, es fácil entender la necesaria aparición de la lógica como herramienta y aliada de la ciencia, así como la necesidad de disponer de un lenguaje adecuado para describir los fenómenos y procesos del mundo real. En este punto hay que señalar que las matemáticas son el lenguaje de la ciencia, y como tal, este lenguaje nos permite hacer representaciones y modelos del mundo real y de los procesos y fenómenos que suceden en el mismo con tanta precisión y exactitud como nos permita nuestra creatividad, talento e imaginación, de manera que una de las tareas fundamentales del “hacer matemático” consistió en diseñar y elegir, entre los distintas representaciones de un proceso o fenómeno, aquella que resultase más adecuada y facilitase más el proceso de deducción. Era preciso tener un lenguaje simultáneamente preciso y general. Recapitulando y sintetizando, desde la formulación del trabajo de Euclides (“los elementos”) en el formato que se conoce como método axiomático hasta los trabajos de Cantor (1873), con los que consiguió crear un lenguaje adaptado a las nuevas investigaciones, transcurrieron varios siglos con muchos autores matemáticos destacados que realizaron diferentes esfuerzos para englobar, bajo un único lenguaje y cuerpo de doctrina, todos los conocimientos matemáticos conocidos. Tras el logro de conseguir fundamentar y unificar el lenguaje de las matemáticas bajo la recién nacida teoría de conjuntos, la aparición de paradojas en la misma a principios del siglo XX puso en crisis sus fundamentos. Tras varias tentativas tendentes a su eliminación, aparecieron varias escuelas de pensamiento. Curiosamente, la solución propuesta por Hilbert coincide con la que en su tiempo propuso Euclides para la geometría: el método axiomático, dando lugar a diferentes propuestas o axiomáticas para la teoría de conjuntos, entre las cuales posiblemente la más extendida sea la conocida como ZFC (Zermelo-Fraenkel + Axioma de Elección, Axiom of Choice).

1.2 Matemáticas y Modelos matemáticos

La ciencia tiene como gran aliada la observación del mundo real, y es obvio que un método efectivo para entender los procesos y fenómenos que nos rodean consiste en formular teorías a partir de observaciones particulares para comprender dichos fenómenos y procesos y extraer conclusiones que nos permitan hacer predicciones sobre los resultados de futuros experimentos.

Utilizando el lenguaje de las matemáticas es posible construir modelos matemáticos de fenómenos concretos que permiten describir matemáticamente un fenómeno concreto o proceso del mundo real, por lo que son más restrictivos que una teoría, y que, en la actualidad, están fuertemente ligados a los avances en computación y a la posibilidad de realizar simulaciones con el ordenador, así como obtener sucesivas mejoras a partir derefinamientos de los mismos a partir de las simulaciones realizadas. En cualquier caso, la esencia y la utilidad de los modelos matemáticos reside en las siguientes características:

1. Por una parte la necesaria simplificación que se realiza en los modelos permite analizar con claridad aspectos y relaciones que se presentan en el mundo real, prescindiendo de otras relaciones superfluas que ocultan y complican los aspectos objeto de estudio.

2. La segunda característica se refiere a la facilidad para hacer deducciones dentro del modelo. Es posible que una de las mayores dificultades del trabajo científico consista en elegir entre los distintos modelos o distintas representaciones del fenómeno objeto de estudio aquel modelo que más facilite la labor de deducción.

3. La última característica esencial de un modelo es extrínseca al mismo, a diferencia de las dos anteriores, y consiste en su capacidad predictiva, o lo que es lo mismo, el grado de coincidencia obtenido del contraste entre lo que estaba previsto dentro del modelo y lo que sucede en el mundo real. El método científico incorpora la experimentación para realizar dicho contraste.

Establecido lo anterior, está claro que las matemáticas (o el lenguaje matemático) se ocupan del estudio de la verdad o falsedad de sentencias que se refieren a objetos matemáticos, bien entendido que todos los objetos matemáticos (a partir de su fundamentación dentro de la teoría de conjuntos) son casos particulares de conjuntos. Ejemplos de objetos matemáticos son los polinomios, las matrices, los números reales o los determinantes. Ejemplos de sentencias referidas a objetos matemáticos son “Si x es un número real, necesariamente x² ≥ 0” o “el determinante de cualquier matriz cuadrada invertible es distinto de cero”. En general, a partir de una colección inicial de “verdades” asumidas desde el principio como punto de partida (axiomas) se van obteniendo, mediante reglas correctas de deducción, nuevas sentencias verdaderas (teoremas) (de hecho, cabe pensar que uno de los objetos principales de la lógica es el estudio sistemático de las condiciones generales de validez de estas deducciones).

El origen de la mayoría de los conceptos matemáticos se encuentra en el mundo real que nos rodea. Así por ejemplo, los números naturales surgieron de la necesidad de contar objetos.

Si asumimos, como primera aproximación, que una sentencia es verdadera si es verificable experimentalmente, resultará sencillo comprobar la validez de la sentencia

3 + 2 = 5

para lo cual se puede considerar suficiente coger tres peras y dos manzanas y contar el número de objetos obtenidos al reunirlas. Sin embargo, si ahora queremos comprobar experimentalmente la validez de la sentencia

3 · 10¹⁰ + 2 · 10¹⁰ = 5 · 10¹⁰

nos encontraremos ante un serio problema.

Está claro que para resolverlo necesitamos construir un modelo o representación abstracta de los números naturales de manera que la validez de la sentencia

3 · 10¹⁰ + 2 · 10¹⁰ = 5 · 10¹⁰

se pueda demostrar a partir de las propiedades que postulamos para la suma de números naturales en esa representación.

En cada una de las áreas de las matemáticas siempre se comienza con una serie de postulados, propiedades o axiomas que establecen una serie de propiedades básicas de los objetos matemáticos bajo estudio que se admiten como verdaderas.

Los axiomas se formulan a partir de las propiedades de los objetos o eventos del mundo real que estamos representando, o incluso a partir de las propiedades que nosotros entendemos que deberían tener. En todo caso, los axiomas deben ser:

i) compatibles: no debe poderse deducir lógicamente a partir de ellos que una cierta sentencia es simultáneamente verdadera y falsa;

ii) independientes: ningún axioma se debe poder demostrar a partir del resto; y

iii) suficientes para la descripción del fenómeno o proceso a modelar considerado: todas las propiedades que entendemos que deben satisfacer los objetos que estamos representando deben poderse deducir a partir de los axiomas.

Una vez establecidos los axiomas o propiedades básicas de cada área matemática, el resto de propiedades verdaderas o teoremas se obtienen mediante deducciones lógicas o demostraciones a partir de los propios axiomas o de otros teoremas previamente demostrados. Los términos lema, corolario y proposición se emplean para cierto tipo de teoremas. Un lema es un teorema más simple que se emplea para demostrar otro más complejo. Un corolario es un teorema que es consecuencia directa de otro teorema previo. El término proposición es sinónimo del término teorema. Se suele preferir la palabra teorema para los resultados más relevantes y la palabra proposición para resultados más secundarios.

Para finalizar esta sección señalaremos que todas las matemáticas (en particular la consistencia del lenguaje matemático) se pueden fundamentar en el método axiomático, concretamente . En las siguientes secciones abordaremos el estudio de la noción de conjunto a partir de la axiomática de Zermelo-Fraenkel.

2. La axiomática de Zermelo-Fraenkel

La lógica y la teoría de conjuntos están estrechamente relacionadas. De hecho, en un principio se pensó que toda propiedad tenía asociada un conjunto, el formado por los objetos (o elementos) que satisfacen dicha propiedad. De manera más específica, se aceptaba que toda propiedad P (x) dividía al universo de discurso en dos partes: la formada por los objetos que la satisfacen, y la formada por los objetos que no la satisfacen.

Así, afirmar que un objeto a satisface la propiedad P (x) o, lo que es lo mismo, que P (a) es verdadera es equivalente a afirmar que el objeto a es un elemento del conjunto {x|P (x)}, circunstancia que indicamos por a ∈ {x|P (x)}.

Para indicar que a no satisface la propiedad P (x) se escribe a ∉ {x|P (x)}. Teniendo en cuenta que los conjuntos son objetos matemáticos sobre los que también cabe postular propiedades, y que la pertenencia o no a un conjunto es una propiedad que se puede o no satisfacer, en 1903 Bertrand Russell propuso el siguiente ejemplo de conjunto A = {x|x ∉ x} junto con la pregunta ¿A ∈ A?.

Si A ∈ A, a partir de la definición de A llegamos a la conclusión de que A ∉ A (o, lo que es lo mismo, que A ∈ A). Si, por el contrario, A ∉ A, resulta que A satisface la condición que caracteriza a los elementos de A, por lo que A ∈ A. Es decir,

A ∈ A ⇔ A ∉ A

Este ejemplo puso en crisis la recién creada teoría de conjuntos y con ello la fundamentación de las matemáticas. La conclusión fue que no toda propiedad determina un conjunto, por lo que fue necesario limitar la clase de propiedades que definen conjuntos. El método axiomático es uno de los procedimientos empleados para limitar la clase de propiedades que definen conjuntos. En cualquier caso, hay que señalar que desde que Bertrand Rusell dió a conocer su paradoja en 1903 se han establecido, básicamente, tres formulaciones axiomáticas de la teoría de conjuntos:

1. la de Zermelo-Fraenkel (1922);

2. la de Von Neumann-Bernays (1937);

3. la de Gödel-Bernays (1940).

La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel toma como primitivos los conceptos de conjunto y de pertenencia y cada axioma (a excepción del primero) es una regla de construcción de conjuntos, con lo que, a partir de dichos axiomas, únicamente son conjuntos únicamente aquellos que son construibles mediante la aplicación de estas reglas.

De manera intuitiva, un conjunto es una colección de objetos de manera que dado un objeto x sea posible determinar si este objeto es un elemento del conjunto considerado A o no. Para indicar que x es un objeto (o elemento) del conjunto A escribiremos x ∈ A (se lee “x pertenece a A”), y para indicar que que x no es un objeto (o elemento) del conjunto A escribiremos x ∉ A. Por otra parte, si A y B son conjuntos tales que todos los elementos del conjunto A son también elementos del conjunto B escribiremos A ⊂ B y diremos que A es un subconjunto de B

La axiomática de Zermelo-Fraenkel consta de diez axiomas, de los cuales los seis primeros son los siguientes:

1. Axioma de extensión. Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si A ⊂ B y B ⊂ A. En otras palabras, si todo objeto perteneciente a A pertenece también a B, y todo objeto perteneciente a B pertenece también a A.

2. Axioma de existencia. ∅ es un conjunto.

3. Axioma de especificación. Para todo conjunto A y todo predicado P (x) existe un conjunto B cuyos elementos son los elementos de A que satisfacen la propiedad P (x).

En otras palabras, una propiedad por si sola no define un conjunto, pero permite crear un nuevo conjunto seleccionando los elementos de un conjunto existente que satisfacen dicha propiedad. Es importante señalar que, para no incurrir en contradicción con el axioma de especificación, es necesario asumir la no existencia del “conjunto universal” o “conjunto de todos los conjuntos”, ya que de lo contrario sería muy sencillo reproducir la paradoja de Russell. Al no existir el conjunto universal, tampoco es admisible el concepto de complementario de un conjunto. Sin embargo, si es posible considerar una versión “débil” de este concepto. Concretamente, si A y B son conjuntos, se denomina diferencia de A y B, y se denota por A − B al conjunto

A − B = {x ∈ A|x ∉ B}.

4. Axioma del par. Si A y B son conjuntos, entonces {A, B} es un conjunto. Es importante señalar que a partir de este axioma si A es un conjunto, {A, A} también es un conjunto, y, teniendo en cuenta la definición de igualdad de conjuntos, {A, A} = {A}. Por otra parte a partir de este axioma el número de conjuntos se hace ilimitado, pues

∅, {∅}, {{∅}}, ...

son conjuntos, y también lo son

{∅, {∅}}, {∅, {∅, {∅}}}, ...

De hecho, éste es el único tipo de conjuntos que podemos expresar explícitamente. Debe quedar claro, pues, que los axiomas anteriores no permiten construir los conjuntos intuitivos formados por “las palabras del diccionario de la Real Academia de la Lengua” o “las personas residentes en Santiago de Compostela cuyo nombre de pila comienza por A”. Sin embargo, podemos representar dichos conjuntos intuitivos por conjuntos matemáticos del tipo anterior. A este respecto señalaremos que al igual que un ordenador trabaja sobre una lista de unos y ceros, y con listas de dichos símbolos pueden representar objetos y relaciones del mundo real, utilizando los “conjuntos matemáticos” podemos representar tanto conjuntos ‘`ıntuitivos” como otros objetos y relaciones del mundo real. Por ejemplo, los objetos “lapicero” , “borrador” y “tiza” se pueden representar por los conjuntos {∅}, {{∅}} y {∅, {∅}}, y el conjunto intuitivo que surge de la agrupación de estos tres objetos por el conjunto {{∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}}. En la práctica, los razonamientos con conjuntos se hacen siempre de manera parecida a la siguiente “Sea {a, b, c} el conjunto formado por los objetos lapicero, borrador y tiza” y, al considerar la expresión anterior, nadie se pregunta por la naturaleza de a, b y c, sino por la de los objetos que representan. También es importante señalar que la intersección de conjuntos se puede definir facilmente a partir del axioma de especificación, pues si A y B son conjuntos, A ∩ B = {x ∈ A|x ∈ B} (que, de hecho, y a partir de que las proposiciones p ∧ q y q ∧ p son equivalentes, resulta que A ∩ B = {x ∈ A|x ∈ B} = {x ∈ B|x ∈ A}). Por otra parte, utilizando ahora la palabra “colección” como sinónima de conjunto para mayor claridad, tenemos definida la intersección de cualquier colección no vacía de conjuntos. En otras palabras, si A es una colección no vacía de conjuntos (dicho de otro modo, si A ≠ ∅) existe un conjunto C ∈ A. El conjunto intersección de la colección A se define entonces del siguiente modo:

∩A = {x ∈ C|∀A ∈ A x ∈ A}

Así por ejemplo ∩{{a, b, c}, {b, c, h}, {d, v, n, a, b, c}} = {b, c}}.

Sin embargo, para definir la unión de conjuntos necesitamos un nuevo axioma (donde, también para mayor claridad, utilizaremos la palabra “colección” como sinónima de conjunto):

5. Axioma de la unión. Para toda colección de conjuntos A existe un conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a algún conjunto de la colección A. A este conjunto se le denota por ∪A. Así pues, si A es cualquier colección de conjuntos,

∪A = {x|∃A ∈ A ..x∈ A}

Así, por ejemplo, si A = {{a, b, c}, {b, c, h}, {d, v, n, a, b, c}}, tendremos que ∪A = {a, b, c, h, d, v, n}.

6. Axioma de la potencia. Si A es un conjunto, existe un conjunto cuyos elementos son exactamente los subconjuntos de A. A dicho conjunto se le denomina partes de A y se le denota por P (A).

La teoría estándar de conjuntos se obtiene añadiendo a los axiomas anteriores el axioma de infinitud, el axioma de elección, el axioma de sustitución y el axioma de regularidad, sobre los que no vamos a entrar aquí. Únicamente señalaremos que el axioma de elección nos permite asegura que el producto cartesiano de una familia no vacía de conjuntos no vacíos es no vacía, y que el axioma de infinitud nos permite construir el conjunto de los números naturales N. Utilizando la axiomática anterior, y partiendo del conjunto de los números naturales ℕ, es posible construir los conjuntos ℤ, ℚ, ℝ y ℂ.

3. Producto cartesiano, grafos y funciones

3.1 Pares ordenados, productos cartesianos y grafos

De la definición de igualdad de dos conjuntos se sigue que los conjuntos {a, b} y {b, a} son iguales. Sin embargo, no es lo mismo decir que “6 es múltiplo de 2” que “2 es múltiplo de 6”. Para construir las matemáticas necesitamos un nuevo objeto (x, y) que satisfaga la siguiente propiedad:

(x, y) = (a, b) ⇔ x = a ∧ y = b.

Como se puede comprobar, si definimos el par ordenado (x, y) como el conjunto

(x, y) = {{x}, {x, y}},

este nuevo objeto satisface la propiedad requerida. Por otra parte, a partir de los pares ordenados (o 2-tuplas), podemos definir las (n-tuplas). Por ejemplo, las ternas (o 3-tuplas) se pueden definir del siguiente modo:

(x, y, z) = (x, (y, z)).

Si A y B son dos conjuntos, se define el producto cartesiano A × B como el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) tales que a ∈ A y b ∈ B. Es decir, A × B = {(a, b)| a ∈ A ∧ b ∈ B}. (Obsérvese que para explicitar el uso del axioma de especificación, podríamos poner A × B = {(a, b) ∈ P (P (A ∪ B))| a ∈ A ∧ b ∈ B}).

Un grafo G ⊂ A × B es un subconjunto de un producto cartesiano. Si A es un conjunto, una r relación (binaria) en A es un subconjunto R ⊂ A × A. Si G ⊂ A × B, se denomina dominio de G al conjunto

dom(G) = {x ∈ A|∃y ∈ B .. (x, y) ∈ G},

y rango de G al conjunto

ran(G) = {y ∈ B|∃x ∈ A .. (x, y) ∈ G}.

Así por ejemplo, si A es un conjunto, el grafo identidad de A es

Id_A = {(x, y) ∈ A × A|x = y}.

Si G ⊂ A × B es un grafo, se denomina grafo inverso de G, y se denota por G⁻¹ al grafo

G⁻¹ = {(y, x) ∈ B × A|(x, y) ∈ A × B}.

Si G ⊂ A × B y H ⊂ B × C, se denomina grafo composición de H y G en ese orden, y se denota por H ◦ G al grafo

H ◦ G = {(x, z) ∈ A × C|∃y ∈ B..(x, y) ∈ A × B ∧ (y, z) ∈ H}.

Así por ejemplo es fácil comprobar (hágase como ejercicio) que si G ⊂ A × B y H ⊂ B × C, entonces

1. G ◦ Id_A = G

2. Id_B ◦ G = G

3. (G⁻¹)⁻¹ = G

4. (H ◦ G)⁻¹ = G⁻¹ ◦ H⁻¹

Igualmente, no es difícil comprobar que si G ⊂ A × B, H ⊂ B × C y K ⊂ C × D, se verifica que K ◦ (H ◦ G) = (K ◦ H) ◦ G (comprúbese). Además, es importante observar que las comprobaciones (o demostraciones) anteriores consisten en verificar que los dos conjuntos situados a ambos lados de la igualdad son iguales o, lo que es lo mismo, que si un elemento pertenece al conjunto situado a la izquierda de la igualdad, también pertenece al conjunto situado a la derecha, y recíprocamente.

Una función de un conjunto A en un conjunto B es un conjunto de pares ordenados f ⊂ A × B tal que si (a, b) ∈ f y (a, c) ∈ f , necesariamente b = c.

Si ∀a ∈ A existe b ∈ B tal que (a, b) ∈ f , diremos que f es una función de A en B y escribiremos f : A → B. Finalmente, si f es una función y (a, b) ∈ f , es habitual indicar este hecho escribiendo f (a) = b, y afirmando que b es la imagen de a mediante la función f .

Algunos ejemplos de funciones son los siguientes:

1. Si A es un conjunto Id_A es una función, por lo que podemos escribir Id_A : A → A.

2. Si A es un subconjunto de X, x_A = {(x, y) ∈ X × {0, 1}|(x ∈ A → y = 1) ∧ (x ∉ A → y = 0)} es una función a la que se denomina función característica de A.

3. Si A y B son conjuntos, el grafo p₁ = {((x, y), z) ∈ (A × B) × A| z = x} es una función a la que se denomina proyección de A × B sobre A.

4. Una sucesión de números reales es una función x : ℕ → ℝ, de manera que a cada número natural n ∈ ℕ se le asocia un único número real x(n). En general a x(n) se le llama término n-ésimo de la sucesión y, tradicionalmente, se le representa por x_n. De la misma manera, la notación para representar la sucesión es ${\left(x_n\right)}_{n=1}^{\infty },\left(x_n\right),{\left\{x_n\right\}}_{n\in \mathbb{N}}$ o, incluso, {x_n}.

Se recomienda como ejercicio representar los ejemplos anteriores utilizando la notación tradicional para las funciones f : A → B indicando la imagen mediante f de un elemento genérico del dominio de f . Así, por ejemplo, algunos de los ejemplos anteriores se escribirían

$$\begin{array}{lllll}f\hfill & :\hfill & A\hfill & \to \hfill & B\hfill \\ \hfill & \hfill & x\hfill & \hookrightarrow \hfill & f\left(x\right)\hfill \\ I{d}_A\hfill & :\hfill & A\hfill & \to \hfill & A\hfill \\ \hfill & \hfill & x\hfill & \hookrightarrow \hfill & x\hfill \\ p_1\hfill & :\hfill & A\times B\hfill & \to \hfill & A\hfill \\ \hfill & \hfill & \left(\mathrm{(x},\mathrm{y)}\right)\hfill & \hookrightarrow \hfill & x\hfill \end{array}$$

3.2 Tipos de funciones

Se dice que una función f : A → B es inyectiva si se satisface la siguiente propiedad:

(∀x ∀x′ ∀y ( (x, y) ∈ f ∧ (x′, y) ∈ f ) ⇒ x = x′)

Se dice que una función f : A → B es sobreyectiva si ran(f) = B. Finalmente, se dice que f : A → B es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Siendo f : A → B y g : B → C no es difícil comprobar las siguientes afirmaciones:

1. f : A → B es biyectiva si y sólo si f⁻¹ ⊂ B × A es una función y dom(f⁻¹) = B. Además, en ese caso f⁻¹ : B → A es también una función biyectiva.

2. Si f y g son funciones, entonces g ◦ f también es una función denominada función compuesta de f y g. (De hecho, si x ∈ A, tendremos que (x, f (x)) ∈ f , y como f (x) ∈ dom(g), resultará que (f (x), g(f (x))) ∈ g. Pero entonces (x, g(f (x))) ∈ g ◦ f , es decir, g ◦ f (x) = g(f (x)).

3. Si f y g son inyectivas, entonces g ◦ f es inyectiva.

4. Si g ◦ f es inyectiva entonces f es inyectiva.

5. Si f y g son sobreyectivas, entonces g ◦ f es sobreyectiva.

6. Si g ◦ f es sobreyectiva entonces g es sobreyectiva.

7. Si f y g son biyectivas, entonces g ◦ f es biyectiva y (g ◦ f)⁻¹ = f ⁻¹ ◦ g⁻¹.

8. Si C = A, g ◦ f = Id_A y f ◦ g = Id_B, entonces f y g son biyectivas y g = f ⁻¹.

3.3 Familias subindicadas

Dados dos conjuntos X e I, llamaremos familia de elementos de X cuyos índices recorren I a cualquier función cuyo dominio sea I y cuyo rango esté contenido en X. El conjunto I es el conjunto de índices de la familia. Si

x : I →X

 i ↪x(i)

es usual denotar al elemento x(i) por x_i y a la familia por {x_i}_i∈I . Así, por ejemplo, para referirnos a una familia de subconjuntos de un conjunto X, en lugar de

A : I →P(X)

 i ↪A(i)

escribiremos {A_i}_i∈I . Por otra parte, dada una familia {A_i}_i∈I de subconjuntos de un conjunto X, se denomina unión de los elementos de dicha familia al conjunto

$${\text{⋃}}_{i\in I}{A}_i=\left\{x\in X|\exists i\in I\mathrm{..}x\in A_i\right\}$$

y se denomina intersección de los elementos de dicha familia al conjunto

$${\cap }_{i\in I}{A}_i=\left\{x\in X|\forall i\in I\mathrm{..}x\in A_i\right\}$$

No es difícil comprobar que si {A_i}_i∈I es una familia no vacía (i.e., si I /= ∅) de subconjuntos de X, y A ⊂ X, entonces se satisfacen las siguientes igualdades:

1. A − ⋂_i∈IA_i = ⋃_i∈I(A − A_i)

2. A − ⋃_i∈IA_i = ⋂_i∈I(A − A_i)

A modo de ejercicio, comprúbese que dada la familia de intervalos abiertos de números reales ${\left\{\left(\frac{-1}{n},\frac{1}{n}\right)\right\}}_{n\in \mathbb{N}}$ se verifica que ${\cap }_{n\in \mathbb{N}}\left(\frac{-1}{n},\frac{1}{n}\right)=\left\{0\right\}$.

3.4 Imágenes directas y recíprocas

Dada una función f : A → B, y un subconjunto C ⊂ A, se denomina imagen directa de C mediante f al conjunto

f (C) = {y ∈ B|∃x ∈ C .. y = f (x)}

De manera análoga, si D ⊂ B, se denomina imagen recíproca de D mediante f al conjunto

f ⁻¹(D) = {x ∈ A| f (x) ∈ D}

Obsérvese que utilizando esta notación, si x ∈ A entonces f (x) es la imagen de x mediante f , pero si C ⊂ A resulta que f (C) es la imagen directa de C mediante f.

Si f : X → Y es una función, A, A′ ⊂ X, B, B′ ⊂ Y , {A_i}_i∈I es una familia de subconjuntos de X, y {B_i}_i∈I es una familia de subconjuntos de Y , se verifica que (comprúbese):

1. A ⊂ A′ ⇒ f (A) ⊂ f (A′)

2. B ⊂ B′ ⇒ f ⁻¹(B) ⊂ f ⁻¹(B)

3. f (A ∪ A′) = f (A) ∪ f (A′)

4. f ⁻¹(B ∪ B′) = f ⁻¹(B) ∪ f ⁻¹(B′)

5. f (⋃_i∈IA_i) = ⋃_i∈If (A_i)

6. f⁻¹ (⋃_i∈IB_i) = ⋃_i∈If⁻¹ (B_i)

7. f (A ∩ A′) ⊂ f (A) ∪ f (A′)

8. f (⋂_i∈IA_i) ⊂ ⋂_i∈If (A_i)

9. f⁻¹ (⋂_i∈IB_i) ⊂ ⋂_i∈If⁻¹ (B_i)

10. A ⊂ f ⁻¹(f (A))

11. f (f ⁻¹(B)) ⊂ B

12. Si f es inyectiva entonces A = f ⁻¹(f (A)) y f (A ∩ A′) = f (A) ∪ f (A′)

4. Equipotencia y cardinalidad de conjuntos

Se dice que dos conjuntos A y B son equipotentes (o coordinables), si existe una función biyectiva f : A → B. En ese caso se dice que A y B tienen el mismo cardinal, circunstancia que se representa por A = B o también por card(A) = card(B). Se dice que un conjunto A es finito si ∃n ∈ ℕ, tal que A es equipotente a {1, ..., n}. Si A y B son conjuntos finitos equipotentes a {1, ..., n}, basta componer las correspondientes funciones biyectivas para comprobar que también son equipotentes entre si. Se dice entonces que A y B tienen n elementos, o también que A = n = B. Un conjunto es infinito si no es finito. Se dice que es numerable si es equipotente a ℕ, y se dice que es contable si es finito o numerable. Intuitivamente, un conjunto es contable si “podemos poner todos sus elementos en una fila sin dejarnos ninguno”. Si la fila termina es finito, y si no termina es numerable. Una característica importante de los conjuntos infinitos es que son equipotentes a un subconjunto propio de sí mismos. Por otra parte, se dice que un conjunto A es de potencia o de cardinal menor o igual que B si existe una aplicación inyectiva f : A → B, circunstancia que se representa por card(A) ≤ card(B) (o también por A ≤ B).

El siguiente resultado, conocido como teorema de Cantor-Bernstein es un resultado técnico importante (cuya demostración no incluiremos aquí):

Teorema. Si A y B son conjuntos tales que card(A) ≤ card(B) y card(B) ≤ card(A), entonces A y B son equipotentes y, en consecuencia card(A) = card(B).

No es difícil comprobar lo siguiente:

1. Si X es contable, y A ⊂ X, entonces A es contable.

2. Si A no es contable, y A ⊂ X, entonces X no es contable.

3. Si X es infinito, entonces ∃A ⊂ X tal que A es numerable y propio.

Al cardinal del conjunto de los números naturales (y, en consecuencia, al de todos los conjuntos numerables) se le denota por ℵ₀. En otras palabras, card(ℕ) = ℵ₀. A partir de los puntos anteriores, obtenemos directamente que, por ejemplo, siendo ℙ el conjunto de los números naturales pares, ℙ es numerable (puesto que no es finito y es un subconjunto de ℕ), es decir card(ℙ) = ℵ₀.

El conjunto ℤ también es numerable, puesto que la función f : ℕ → ℤ definida por

$$f\left(n\right)=\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{ccc}\frac{n}{2}& \text{si}& n=2p\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\frac{1-n}{2}& \text{si}& n=2p+1\end{array}\end{array}\right.$$

es biyectiva. De hecho, colocando las imágenes de f ordenadas por el número natural del que son imágenes en forma de sucesión, tendríamos 0, 1, −1, 2, −2, Por consiguiente card(ℤ) = ℵ₀.

Por otra parte, el conjunto ℕ × ℕ también es numerable, puesto que la función

f : ℕ × ℕ → ℕ

  (n,m) ↪f(n,m)= 2ⁿ3^m

es inyectiva, puesto que si 2ⁿ3^m = 2^p3^q necesariamente n = p ∧ m = q, con lo que card(ℕ × ℕ) ≤ card(ℕ). Por otra parte la función

g : ℕ → ℕ × ℕ

  n ↪g(n)= (1,n)

es inyectiva, con lo que card(ℕ) ≤ card(ℕ × ℕ) y, a partir de estas dos desigualdades, por el teorema de Cantor Bernstein, card(ℕ) = card(ℕ × ℕ). En otras palabras, card(ℕ × ℕ) = ℵ₀. Como conclusión directa, también se obtiene que el producto cartesiano de dos conjuntos numerables es numerable.

A partir de este punto, es fácil comprobar que muchos conjuntos son contables o numerables. Por ejemplo, el conjunto de los números racionales

$$\mathbb{Q}=\left\{x\in ℝ|\exists p,q\in \mathbb{Z},q\ne 0\mathrm{..}x=\frac{p}{q}\right\}$$

es numerable, pues una vez demostrado que ℤ es numerable y, en consecuencia, ℤ × ℤ es numerable, es inmediato encontrar una función inyectiva f : ℤ × ℤ → ℚ. También obtenemos de manera directa que, por ejemplo, los siguientes conjuntos son numerables ℤ × (ℤ × ℤ) = ℤ³, ℚ⁴ y un largo etcétera.

Finalizaremos esta sección demostrando los dos resultados siguientes:

◾ Si {A_n}_n∈ℕ es una sucesión de conjuntos numerables, entonces el conjunto A = ⋃_n∈ℕA_n también es numerable: Teniendo en cuenta que ∀n ∈ ℕ A_n es numerable, podemos imaginar sus elementos colocados en una sucesión {a_n1, a_n2, ..., a_nk, ...}. Ahora bien, la función f : A → ℕ × ℕ definida por f (a_nk) = (n, k) es inyectiva, y como ℕ × ℕ es numerable, obtenemos que A también lo es.

◾ ℝ no es numerable (es decir, card(ℝ) > ℵ₀). Vamos a comprobar que el conjunto de los números reales comprendidos entre 0 y 1, es decir, el intervalo abierto (0, 1) no es numerable. Razonamos por reducción al absurdo: si (0, 1) fuese numerable, podríamos disponer todos los números de dicho intervalo en una sucesión {x₁, x₂, ..., x_n, ..}. Por otra parte, considerando sus desarrollos decimales ∀n ∈ ℕ x_n = 0, a_n1a_n2a_n3..., donde ∀n, k ∈ ℕ a_nk ∈ {0, ..., 9}. Consideremos el siguiente número b = 0, b₁b₂b₃... donde

$$b_m=\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{ccc}0& \text{si}& a_{mm}=1\end{array}\\ \begin{array}{ccc}1& \text{si}& a_{mm}\ne 1\end{array}\end{array}\right.$$

Evidentemente b ∈ (0, 1). Pero esto es una contradicción, puesto que b no aparece en la sucesión {x₁, x₂, ..., x_n, ..} ya que difiere de x₁ en la primera cifra decimal, de x₂ en la segunda cifra decimal y, en general, de x_m en la m-ésima cifra decimal.

5. Ejercicios

1. Realizar todos los ejercicios y comprobaciones enunciadas en las páginas anteriores de este tema.

2. Busca en distintas referencias sobre estos temas una demostración del siguiente teorema (Teorema de Cantor): Para cualquier conjunto X, se verifica que card(X) < card(P (X)).

3. Demuestra que el conjunto de las partes finitas de ℕ definido por

P_F (ℕ = {A ⊂ ℕ| A es finito}

es numerable.

6. Referencias

1. R. Criado, A. Bujosa, C. Vega & R. Banerjee, Fundamentos Matemáticos I: Álgebra y ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, Ed. Centro de Estudios Ramón Areces (1998).

2. R. Criado, A. Bujosa & M.A. Hernández, Álgebra lineal: Método, fundamentos y algoritmos, Ed. AC (1993).

3. C.C. Pinter, Set Theory, Addison-Wesley(1971).

4. P.R. Halmos, Teoría intuitiva de los conjuntos, Ed. C.E.C.S.A. (1973).